微專題4天體運動與航天類型一對雙星系統的理解1．雙星模型如圖所示，宇宙中有相距較近、質量可以相比的兩個星球，它們離其他星球都較遠，因此其他星球對它們的萬有引力可以忽略不計．在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，這種結構叫作“雙星”．2．雙星模型的特點(1)兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點．(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供．(3)兩星的運動周期、角速度都相同．(4)兩星的運動軌道半徑之和等于它們之間的距離，即r1＋r2＝L.【例1】(多選)圖甲是一對相互環繞旋轉的質量不等的雙黑洞系統，其示意圖如圖乙所示．雙黑洞A、B在相互之間的萬有引力的作用下，繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若雙黑洞的質量之比mA∶mB＝n∶1，則()A．黑洞A、B做圓周運動的角速度之比為1∶1B．黑洞A、B做圓周運動的向心力大小之比為n2∶1C．黑洞A、B做圓周運動的半徑之比為1∶nD．黑洞A、B做圓周運動的線速度之比為1∶n2[解析]由于二者繞連線上同一點做勻速圓周運動，二者角速度相等，又由彼此間的萬有引力提供向心力，二者做圓周運動的向心力之比為1∶1，故有mArAω2＝mBrBω2，解得eq\f(rA,rB)＝eq\f(mB,mA)＝eq\f(1,n)，故A、C正確，B錯誤；由線速度與角速度的關系可知，當角速度相同時，二者做圓周運動的線速度與半徑成正比，故二者線速度之比為1∶n，故D錯誤．[答案]AC【例2】如圖所示，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側，引力常量為G.(1)求A星球做圓周運動的半徑R和B星球做圓周運動的半徑r；(2)求兩星球做圓周運動的周期；(3)如果把星球A質量的eq\f(1,2)搬運到B星球上，并保持A和B兩者中心之間距離仍為L.則組成新的穩定雙星后星球A半徑和周期如何變化？[解析](1)令A星的軌道半徑為R，B星的軌道半徑為r，則由題意有L＝r＋R兩星做圓周運動時的向心力由萬有引力提供，則有Geq\f(mM,L2)＝mReq\f(4π2,T2)Geq\f(mM,L2)＝Mreq\f(4π2,T2)，可得eq\f(R,r)＝eq\f(M,m)，又因為L＝R＋r所以可以解得R＝eq\f(M,M＋m)L，r＝eq\f(m,M＋m)L；(2)根據(1)可以得到Geq\f(mM,L2)＝meq\f(4π2,T2)R，R＝eq\f(M,M＋m)L兩式聯立解得T＝eq\r(\f(4π2L3,（M＋m）G))＝2πeq\r(\f(L3,G（M＋m）))；(3)根據R＝eq\f(M,M＋m)L，知M變大，R變大根據T＝eq\r(\f(4π2L3,（M＋m）G))＝2πeq\r(\f(L3,G（m＋M）))，知周期不變．[答案](1)eq\f(M,M＋m)Leq\f(m,M＋m)L(2)2πeq\r(\f(L3,G（M＋m）))(3)半徑變大周期不變[針對訓練1]宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統．設某雙星系統中A、B兩星繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示．若A星軌道半徑較大，則()A．星球A的質量大于B的質量B．星球A的線速度大于B的線速度C．星球A的角速度大于B的角速度D．星球A的周期大于B的周期解析：選B.根據萬有引力提供向心力有mAω2rA＝mBω2rB，因為rA＞rB，所以mA＜mB，即A的質量一定小于B的質量，故A錯誤；雙星角速度相等，則周期相等，根據v＝ωr可知，vA＞vB，故B正確，C、D錯誤．[針對訓練2](多選)經長期觀測，人們在宇宙中已經發現了“雙星系統”，“雙星系統”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的大小遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體．兩顆星球組成的雙星A、B，A、B的質量分別為m1、m2，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動．現測得兩顆星之間的距離為L，質量之比為m1∶m2＝3∶2.則可知()A．A與B做圓周運動的角速度之比為2∶3B．A與B做圓周運動的線速度之比為2∶3C．A做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)LD．B做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)L解析：選BC.雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，相等的時間內轉過相同的角度，則角速度相等，故A錯誤；向心力大小相等，有：m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因為質量之比為m1∶m2＝3∶2，則軌道半徑之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)L，B做圓周運動的半徑為eq\f(3,5)L，故C正確，D錯誤；根據v＝ωr，角速度相等，雙星的線速度比等于半徑比為2∶3，故B正確．類型二衛星變軌問題衛星在運動中的“變軌”有兩種情況：離心運動和向心運動．當萬有引力恰好提供衛星所需的向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)時，衛星做勻速圓周運動；當某時刻速度發生突變，所需的向心力也會發生突變，而突變瞬間萬有引力不變．(1)制動變軌：衛星的速率變小時，使得萬有引力大于所需向心力，即Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，衛星做近心運動，軌道半徑將變?。砸剐l星的軌道半徑變小，需開動反沖發動機使衛星做減速運動．(2)加速變軌：衛星的速率變大時，使得萬有引力小于所需向心力，即Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，衛星做離心運動，軌道半徑將變大．所以要使衛星的軌道半徑變大，需開動反沖發動機使衛星做加速運動．【例3】2021年10月16日，我國“神舟十三號”載人飛船入軌后順利完成與“天和”核心艙的交會對接(如圖)．假設核心艙與“神舟十三號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現飛船與核心艙的對接，下列措施可行的是()A．使飛船與核心艙在同一軌道上運行，然后飛船加速追上核心艙實現對接B．使飛船與核心艙在同一軌道上運行，然后核心艙減速等待飛船實現對接C．飛船先在比核心艙半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近核心艙，兩者速度接近時實現對接D．飛船先在比核心艙半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近核心艙，兩者速度接近時實現對接[解析]使飛船與核心艙在同一軌道上運行時，若使飛船加速，飛船所需向心力大于萬有引力，做離心運動，偏離原來的軌道，不可能與核心艙對接，相反，若減速做向心運動，也不可能實現對接，故A、B錯誤；飛船先在比核心艙半徑小的軌道上加速，則其做離心運動，可使飛船逐漸靠近核心艙，兩者速度接近時實現對接，故C正確；飛船先在比核心艙半徑小的軌道上減速，則其做向心運動，不可能與核心艙實現對接，故D錯誤．[答案]C【例4】2021年6月17日，“神舟十二號”載人飛船與“天和”核心艙完成對接，航天員聶海勝、劉伯明、湯洪波進入“天和”核心艙，標志著中國人首次進入了自己的空間站．對接過程如圖所示，“天和”核心艙處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ，“神舟十二號”飛船沿著半徑為r1的圓軌道Ⅰ運動到Q點時，通過一系列變軌操作，沿橢圓軌道Ⅱ運動到P點與“天和”核心艙對接．已知“神舟十二號”飛船沿圓軌道Ⅰ運行周期為T1，則下列說法正確的是()A．“神舟十二號”飛船沿軌道Ⅰ運行的周期大于“天和”核心艙沿軌道Ⅲ運行的周期B．“神舟十二號”飛船在軌道Ⅰ的Q點需要加速才能進入軌道ⅡC．“神舟十二號”飛船沿軌道Ⅱ運動到對接點P點的過程中，其速度不斷增大D．“神舟十二號”飛船沿軌道Ⅱ從Q到P運動時間為t＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))3)[解析]根據開普勒第三定律，軌道Ⅰ的軌道半徑小于軌道Ⅲ的軌道半徑，則飛船沿軌道Ⅰ運行的周期小于“天和”核心艙沿軌道Ⅲ運行的周期，故A錯誤；由低軌道進入高軌道，即由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要加速做離心運動，故B正確；“神舟十二號”載人飛船沿軌道Ⅱ運動到對接點P的過程中，根據開普勒第二定律，速度越來越小，故C錯誤；根據開普勒第三定律eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(（\f(r1＋r3,2)）3,Teq\o\al(2,2))，解得T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))\s\up12(3))，從Q到P運動時間為t＝eq\f(T2,2)＝eq\f(T1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))\s\up12(3))，故D錯誤．[答案]B[針對訓練3]一人造衛星繞地球做勻速圓周運動，假如該衛星變軌后仍做勻速圓周運動，速度大小減小為原來的eq\f(1,2)，則變軌前后衛星的()A．周期之比為1∶8B．角速度大小之比為2∶1C．向心加速度大小之比為4∶1D．軌道半徑之比為1∶2解析：選A.根據萬有引力充當衛星繞地球運動的向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，衛星的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，由題知，速度大小減小為原來的eq\f(1,2)，則軌道半徑增大到原來的4倍，即變軌前后軌道半徑之比為1∶4；衛星的角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\r(\f(GM,r3))，可得變軌前后角速度大小之比為8∶1；衛星的向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(GM,r2)，可得變軌前后向心加速度大小之比為16∶1；衛星的周期T＝eq\f(2π,ω)，可得變軌前后周期之比為1∶8，故B、C、D錯誤，A正確．[針對訓練4]2021年6月7日，搭載“神舟十二號”載人飛船的運載火箭，在酒泉衛星發射中心點火發射．“神舟十二號”飛船入軌后，成功與“天和”核心艙對接，3名航天員順利進入“天和”核心艙，標志著中國人首次進入自己的空間站．飛船運動過程的簡化示意圖如圖所示，飛船先進入圓軌道1做勻速圓周運動，再經橢圓軌道2，最終進入圓軌道3完成對接任務．軌道2分別與軌道1、軌道3相切于A點、B點．則飛船()A．在軌道1的運行周期大于在軌道3的運行周期B．在軌道2運動過程中，經過A點時的速率比B點大C．在軌道2運動過程中，經過A點時的加速度比B點小D．從軌道2進入軌道3時需要在B點處減速解析：選B.根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πreq\r(\f(r,GM))，可知飛船在軌道1的運行周期小于在軌道3的運行周期，故A錯誤；根據開普勒第二定律可知，飛船在軌道2運動過程中，經過A點時的速率比B點大，故B正確；根據a＝eq\f(GM,r2)可知飛船在軌道2運動過程中，經過A點時的加速度比B點大，故C錯誤；飛船從軌道2進入軌道3時需要在B點處加速，故D錯誤．[A級——合格考達標練]1．如圖所示，一顆人造衛星原來在橢圓軌道1繞地球運行，在P點變軌后進入軌道2做勻速圓周運動．下列說法正確的是()A．不論在軌道1還是在軌道2運行，衛星在P點的速度都相同B．不論在軌道1還是在軌道2運行，衛星在P點的加速度都相同C．衛星在軌道1的任何位置都具有相同加速度D．衛星在軌道2的任何位置都具有相同速度解析：選B.從軌道1變軌到2，需要加速逃逸，A錯誤；根據公式Geq\f(Mm,R2)＝ma可得a＝Geq\f(M,R2)，故只要到地心距離相同，加速度則相同，由于衛星在軌道1做橢圓運動，到地心距離、引力的方向均在變化，所以運行過程的加速度在變，B正確，C錯誤；衛星在軌道2做勻速圓周運動，過程中的速度方向時刻在變，所以不同位置處速度不同，D錯誤．2．如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運行的3顆人造衛星，下列說法正確的是()A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度B．a衛星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大C．c加速可以追上同一軌道上的b，b減速可以等候同一軌道上的cD．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度解析：選B.人造衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，設衛星的質量為m、軌道半徑為r、地球質量為M，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，解得衛星線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，由圖可知，ra＜rb＝rc，則b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度，故A錯誤；由v＝eq\r(\f(GM,r))知，a衛星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大，故B正確；c加速要做離心運動，不可以追上同一軌道上的b；b減速要做近心運動，不可以等候同一軌道上的c，故C錯誤；由向心加速度a＝eq\f(GM,r2)知，b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故D錯誤．3．(多選)圖為兩顆人造衛星繞地球運動的軌道示意圖，Ⅰ為圓軌道，Ⅱ為橢圓軌道，AB為橢圓的長軸，兩軌道和地心都在同一平面內，C、D為兩軌道交點．已知軌道Ⅱ上的衛星運動到C點時速度方向與AB平行，則下列說法正確的是()A．兩顆衛星的運動周期相同B．衛星在Ⅰ軌道的速率為v0，衛星在Ⅱ軌道B點的速率為vB，則v0<vBC．兩個軌道上的衛星運動到C點時的加速度相同D．兩個軌道上的衛星運動到C點時的向心加速度大小相等解析：選AC.由軌道Ⅱ上的衛星運動到C點時速度方向與AB平行可知CD為橢圓短軸的兩個端點，由于圓的圓心與橢圓的左焦點重合，則由幾何關系可知圓的半徑與橢圓的半長軸相等，故由開普勒第三定律可知兩衛星運行周期相等，A正確；設有一個與橢圓相切于B點、以地球為圓心的圓軌道Ⅲ，衛星在軌道Ⅱ上從B點進入該圓軌道Ⅲ則需要加速，而由v＝eq\r(\f(GM,r))可知衛星在軌道Ⅲ的速度必小于在軌道Ⅰ上的速度，故v0>vB，B錯誤；衛星在C點時的加速度(不是向心加速度)由牛頓第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，即加速度a＝Geq\f(M,r2)與衛星質量無關、與軌道形狀無關，C正確；衛星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，加速度即為向心加速度；衛星在橢圓軌道Ⅱ上運動，在C點，其加速度沿垂直于速度方向上的分量才是向心加速度，故衛星在軌道Ⅱ上C點的向心加速度小于衛星在軌道Ⅰ上C點的向心加速度，D錯誤．4．如圖所示，在赤道發射場發射地球同步衛星的過程中，衛星首先進入橢圓軌道Ⅰ，然后在Q點通過改變衛星速度，讓衛星進入地球同步軌道Ⅱ，則()A．該衛星在P點的速度大于11.2km/sB．衛星在軌道Ⅱ上的運行速度大于7.9km/sC．衛星在Q點需要適當加速，才能夠由軌道Ⅰ進入軌道ⅡD．衛星在軌道Ⅱ上經過Q點時的加速度大于在軌道Ⅰ上經過Q點時的加速度解析：選C.11.2km/s是衛星脫離地球束縛的最小發射速度，由于同步衛星仍然繞地球運動，則在P點的速度小于11.2km/s，故A錯誤；7.9km/s是衛星在地球表面飛行的環繞速度，根據萬有引力提供向心力，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，衛星在軌道Ⅱ上，半徑變大，則運行速度小于7.9km/s，故B錯誤；衛星需要加速，讓衛星做離心運動，才能由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，故C正確；根據eq\f(GMm,r2)＝ma可知a＝eq\f(GM,r2)，則衛星在軌道Ⅱ上經過Q點時的加速度等于在軌道Ⅰ上經過Q點時的加速度，故D錯誤．5．宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至因為萬有引力的作用而吸引到一起．如圖所示，某雙星系統中A、B兩顆天體繞O點做勻速圓周運動，它們的軌道半徑之比rA∶rB＝1∶2，則兩顆天體的()A．質量之比mA∶mB＝2∶1B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2C．線速度大小之比vA∶vB＝2∶1D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1解析：選A.雙星繞連線上的一點做勻速圓周運動，其角速度相同，周期相同，兩者之間的萬有引力提供向心力，有F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，B、D錯誤，A正確；由v＝ωr可知，線速度大小之比vA∶vB＝1∶2，C錯誤．6．宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用而互相繞轉，稱之為雙星系統．設某雙星系統中的A、B兩星球繞其連線上的某固定點O做勻速圓周運動，如圖所示．現測得兩星球球心之間的距離為L，運動周期為T，已知引力常量為G，若RA>RB，則()A．兩星球的總質量等于eq\f(4π2L3,GT3)B．星球A的向心力大于星球B的向心力C．星球A的線速度一定小于星球B的線速度D．雙星的質量一定，雙星之間的距離減小，其轉動周期減小解析：選D.由題可知，雙星的角速度相等，根據v＝ωr，且RA>RB，則vA>vB，C錯誤；雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，根據牛頓第三定律知它們的向心力大小相等，B錯誤；根據萬有引力提供向心力，對A有Geq\f(MAMB,L2)＝MAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)RA，對B有Geq\f(MAMB,L2)＝MBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)RB，其中L＝RA＋RB，解得T＝eq\r(\f(4π2L3,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(MA＋MB))))，MA＋MB＝eq\f(4π2L3,GT2)，故當雙星的質量一定，雙星之間的距離減小時，其轉動周期減小，D正確，A錯誤．7.如圖，甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠的三顆恒星，甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行，若三顆星質量均為M，引力常量為G，則()A．甲星所受合外力為eq\f(5GM2,4R2)B．乙星所受合外力為eq\f(GM2,R2)C．甲星和丙星的線速度相同D．甲星和丙星的加速度相同解析：選A.運動的甲與丙都是在其余兩顆星的引力作用下圍繞乙做圓周運動的，所受合力F＝eq\f(GM2,R2)＋eq\f(GM2,（2R）2)＝eq\f(5GM2,4R2)，A正確；乙星在甲與丙的作用下保持靜止，合力為零，B錯誤；由于甲與丙二者的連線始終通過圓心時才能保證合力充當向心力，故二者必在任意時刻都處于同一直徑的端點，即角速度相同、線速度與加速度的大小相等，方向相反，C、D錯誤．[B級——等級考增分練]8．2021年10月16日“神舟十三號”載人飛船與空間站對接的情景可近似如圖所示，半徑為r的圓形軌道Ⅰ為空間站運行軌道，半長軸為a的橢圓軌道Ⅱ為載人飛船的運行軌道，飛船在兩個軌道相切點A與空間站交會對接，已知飛船與空間站均繞地球運動，引力常量為G，地球質量為M，下列說法中正確的是()A．空間站的運行速度大于第一宇宙速度B．在A點對接時飛船應沿運行速度方向噴氣C．飛船與空間站運行周期之比為eq\r(\f(r3,a3))D．飛船在軌道Ⅱ經過A點，噴氣變軌前一刻的速度小于eq\r(\f(GM,r))解析：選D.第一宇宙速度是物體繞地球做圓周運動的最大速度，所以空間站的運行速度不可能大于第一宇宙速度，故A錯誤；載人飛船與空間站對接需向高軌道做離心運動，則需要向后點火加速，即飛船應沿運行速度相反方向噴氣，故B錯誤；設飛船的運行周期為T1，空間站的運動周期為T2，根據開普勒第三定律得eq\f(a3,Teq\o\al(2,1))＝eq\f(r3,Teq\o\al(2,2))，則eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(a3,r3))，故C錯誤；以r為半徑做圓周運動的物體，根據萬有引力提供向心力得Geq\f(mM,r2)＝meq\f(v2,r)，得以r為半徑做圓周運動的物體的速度為v＝eq\r(\f(GM,r))，飛船在軌道Ⅱ經過A點后做近心運動，噴氣變軌前一刻的速度小于eq\r(\f(GM,r))，故D正確．9．北斗導航系統又被稱為“雙星定位系統”，具有導航、定位等功能．“北斗”系統中兩顆工作衛星均繞地心O做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻兩顆工作衛星分別位于軌道上的A、B兩位置(如圖所示)．若衛星均順時針運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R.不計衛星間的相互作用力．則以下判斷正確的是()A．這兩顆衛星的加速度大小相等，均為eq\f(Rg,r)B．衛星1向后噴氣就一定能追上衛星2C．衛星1由位置A運動到位置B所需的時間為eq\f(πr,3R)eq\r(\f(r,g))D．衛星1中物體的速度為eq\r(gr)解析：