專題06銳角三角函數重點銳角三角函數的概念，特殊角的三角函數值，利用計算器求銳角三角函數值難點銳角三角函數之間的關系易錯混淆特殊角的三角函數值銳角三角函數概念熟記銳角三角函數的概念，可以簡記為“正弦等于對比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對比鄰”.【例1】如圖，點A為邊上的任意一點，作于點C，于點D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．銳角三角函數之間的關系同一銳角的三角函數之間的關系：（1）;（2）.【例1】已知為銳角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．三、30°，45°，60°角的三角函數值及有關計算熟記特殊角的銳角三角函數值是進行銳角三角函數計算的關鍵.【例1】在中，，，則的值為（

）．A． B． C． D．【例2】如圖，在一塊直角三角板中，，則的值是（

）A． B． C． D．四、利用計算器求銳角三角函數值或銳角化簡形如的式子時，先轉化為|a|的形式，再根據a的符號去絕對值．【例1】若用我們數學課本上采用的科學計算器計算，按鍵順序正確的是（）A． B．C． D．【例2】用我們數學課本上采用的科學計算器求的值，按鍵順序正確的是（

）．A． B．C． D．五、對概念本質理解不透銳角三角函數值的本質是一個比值，它的大小只與銳角A的大小（即度數）有關，與所在的直角三角形的邊的長度無關，即只要銳角A確定，其三角函數值也隨之確定.【例1】在中，如果各邊長度都擴大為原來的倍，則銳角的余弦值A．擴大為原來的3倍 B．沒有變化C．縮小為原來的 D．不能確定一、單選題1．如圖，在中，，點是的中點，交于點，，則的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點C和點D是⊙O上位于直徑AB兩側的點，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．3．如圖，點在第二象限，與軸負半軸的夾角是，且，則點的坐標為（）

A． B． C． D．4．如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長為（）A． B．π C．π D．π5．如圖，地面上點A和點B之間有一堵墻MN（墻的厚度忽略不計），在墻左側的小明想測量墻角點M到點B的距離．于是他從點A出發沿著坡度為=1：0.75的斜坡AC走10米到點C，再沿水平方向走4米到點D，最后向上爬6米到達瞭望塔DE的頂端點E，測得點B的俯角為40°．已知AM=8米，則BM大約為（

）米．（參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.76．如圖，面積為24的?ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BD交BC的延長線于點E，DE＝6，則sin∠DCE的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．將放置在的正方形網格中，頂點、、在格點上．則的值為______．8．如圖，邊長為1的小正方形網格中，點均在格點上，半徑為2的與交于點，則____________．三、解答題9．計算：（1）2cos230°﹣2sin60°?cos45°；

（2）10．如圖，，，是半徑為2的上三個點，為直徑，的平分線交于點，過點作的垂線，交的延長線于點，延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．一、單選題1．關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則銳角等于（

）A． B． C． D．2．如圖，在邊長為1的正方形網格中，連結格點，和，，與相交于點，則的值為（

）A． B． C． D．13．如圖，在菱形中，，E是上一點，連接，將沿AE翻折，使點B落在點F處，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．4．在中，，都是銳角，，，則對的形狀最確切的判斷是（

）A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．如圖，已知直線l：，過點作y軸的垂線交直線l于點B，過點B作直線l的垂線交y軸于點；過點作y軸的垂線交直線l于點，過點作直線l的垂線交y軸于點；；按此作法繼續下去，則點的坐標為（）A． B． C． D．6．如圖，正方形的對角線相交于點O，點F是上一點，交于點E，連接交于點P，連接．則下列結論：①；②；③四邊形的面積是正方形面積的；④；⑤若，則．其中正確的結論有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題7．計算：______．8．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點，平分，交于點，與交于點，連接，．若，，，則的值為________．三、解答題9．計算：(1)；(2)．10．如圖，在矩形中，，，對角線、交于點O，點M為線段上一點，聯結，在內部作射線分別與線段、線段交于點N（不與點A、點D重合）、點P且．(1)當時，求的正切值；(2)射線交射線與點Q，若，求的長；(3)設線段，，寫出y關于x的函數解析式，并寫出定義域．專題06銳角三角函數重點銳角三角函數的概念，特殊角的三角函數值，利用計算器求銳角三角函數值難點銳角三角函數之間的關系易錯混淆特殊角的三角函數值銳角三角函數概念熟記銳角三角函數的概念，可以簡記為“正弦等于對比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對比鄰”.【例1】如圖，點A為邊上的任意一點，作于點C，于點D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，，；故正確的是B選項；故選：B．【例2】已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴可設，則，∴，故選：D．銳角三角函數之間的關系同一銳角的三角函數之間的關系：（1）;（2）.【例1】已知為銳角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，為銳角，∴，∴．故選：A．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故選C．三、30°，45°，60°角的三角函數值及有關計算熟記特殊角的銳角三角函數值是進行銳角三角函數計算的關鍵.【例1】在中，，，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：中，，，∴,故選：A【例2】如圖，在一塊直角三角板中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴．故選：B．四、利用計算器求銳角三角函數值或銳角化簡形如的式子時，先轉化為|a|的形式，再根據a的符號去絕對值．【例1】若用我們數學課本上采用的科學計算器計算，按鍵順序正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：科學計算器計算，按鍵順序是故選：D．【例2】用我們數學課本上采用的科學計算器求的值，按鍵順序正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：采用科學計算器計算，按鍵順序正確的是B選項中的順序．故選：B．五、對概念本質理解不透銳角三角函數值的本質是一個比值，它的大小只與銳角A的大小（即度數）有關，與所在的直角三角形的邊的長度無關，即只要銳角A確定，其三角函數值也隨之確定.【例1】在中，如果各邊長度都擴大為原來的倍，則銳角的余弦值A．擴大為原來的3倍 B．沒有變化C．縮小為原來的 D．不能確定【錯解】A【錯因分析】誤認為直角三角形各邊的長度都擴大為原來的3倍，則∠A的正弦值也擴大為原來的3倍.【解析】設原來三角形的各邊分別為a，b，c，則cosA=，若把各邊擴大為原來的3倍，則各邊為3a，3b，3c，那么cosA==，所以余弦值不變．故選B．【正解】B一、單選題1．如圖，在中，，點是的中點，交于點，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接BE，∵D是AB的中點，∴BD=AD=AB∵∠C=∠BDE=90°，在Rt△BCE和Rt△BDE中，∵，∴△BCD≌△BDE，∴BC=BD=AB．∴∠A=30°．∴tanA=即，∴AD=3，∴AB=2AD=6．故選C．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點C和點D是⊙O上位于直徑AB兩側的點，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半徑是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故選D．3．如圖，點在第二象限，與軸負半軸的夾角是，且，則點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】過點P作PA⊥x軸于A，∵，∴，∴=4，∵點在第二象限，∴點P的坐標是（-3,4）故選：B.4．如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長為（）A． B．π C．π D．π【答案】D【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴，即，∵tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直線DE與⊙O相切于點C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半徑為2，∴的長為：＝π，故選：D．5．如圖，地面上點A和點B之間有一堵墻MN（墻的厚度忽略不計），在墻左側的小明想測量墻角點M到點B的距離．于是他從點A出發沿著坡度為=1：0.75的斜坡AC走10米到點C，再沿水平方向走4米到點D，最后向上爬6米到達瞭望塔DE的頂端點E，測得點B的俯角為40°．已知AM=8米，則BM大約為（

）米．（參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.7【答案】B【詳解】如圖，過E點作DF⊥AB于F點，過C點作CG⊥AB于G點，∵AC=10，坡比為=1：0.75，∴CG=8，AG=6，∴EF=ED+DF=6+8=14，又∠B=40°，∴BF===16.7，又GM=AM-AG=2，∴AF=AM-FG-GM=2，∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，故選B.6．如圖，面積為24的?ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BD交BC的延長線于點E，DE＝6，則sin∠DCE的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接AC，過點D作DF⊥BE于點E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝，∴AC=6，∵ABCD的面積為24，∴，∴BD＝8，∴＝＝5，設CF＝x，則BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝，∴DF＝，∴sin∠DCE＝．故選：A．二、填空題7．將放置在的正方形網格中，頂點、、在格點上．則的值為______．【答案】【詳解】解：如圖所示：連接，，，，，，．故答案為：．．8．如圖，邊長為1的小正方形網格中，點均在格點上，半徑為2的與交于點，則____________．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴在中，∴．故答案為：三、解答題9．計算：（1）2cos230°﹣2sin60°?cos45°；

（2）【答案】（1）；（2）1-2．【詳解】解：（1）原式＝2×（）2﹣2××＝；（2）原式＝﹣＝﹣＝﹣（+1）＝1﹣2．10．如圖，，，是半徑為2的上三個點，為直徑，的平分線交于點，過點作的垂線，交的延長線于點，延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】解：（1）證明：連接，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵中，，，∴根據勾股定理得，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴在中，．一、單選題1．關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則銳角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意可得：，解得，可得，故選：B2．如圖，在邊長為1的正方形網格中，連結格點，和，，與相交于點，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】解：連接格點，如圖所示：則四邊形是平行四邊形，和都是等腰直角三角形，∴，，，，∴，∴，故選：A．3．如圖，在菱形中，，E是上一點，連接，將沿AE翻折，使點B落在點F處，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設與的交點為，設，則由菱形的性質可得，，由折疊的性質可得，，則，∴為等腰直角三角形，，∴，即，在中，，，∴，，，故選：D4．在中，，都是銳角，，，則對的形狀最確切的判斷是（

）A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】B【詳解】解：由，，得，．．則對形狀的判斷最確切的是等腰直角三角形．故選：B．5．如圖，已知直線l：，過點作y軸的垂線交直線l于點B，過點B作直線l的垂線交y軸于點；過點作y軸的垂線交直線l于點，過點作直線l的垂線交y軸于點；；按此作法繼續下去，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵直線l的解析式為，設直線l與x軸的夾角為，∴，即，∴直線l與x軸的夾角為，∵軸，∴，∵，軸，∴∴，∵，且∴，∴，∴，∵∴軸，∴，∴∵，且，∴∴∴，∴∴點的坐標為．故選：C．6．如圖，正方形的對角線相交于點O，點F是上一點，交于點E，連接交于點P，連接．則下列結論：①；②；③四邊形的面積是正方形面積的；④；⑤若，則．其中正確的結論有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【詳解】解：在正方形中，，，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，即，故①正確；∵，∴點四點共圓，∴，∴，又∵，∴，故②正確；在正方