考向04基本不等式及應用

【2021?全國?高考真題】已知月，歹2是橢圓C：7+的兩個焦點，點M在C上，則I阿H加匐的最大

值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由題，"=9萬=4,則網+皿=2a=6,

所以周引/幽士四］=9（當且僅當|崢|=|吟|=3時，等號成立）.

I2J

故選：C.

【2022年新高考全國II卷】（多選題）若心y滿足f+y2一孫=i,貝u（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】因為吟上（a,*R）,由Y+y2-xy=l可變形為，（尤+?一1=3孫43］亨:，

解得-2Wx+yW2,當且僅當X=y=-1時，x+y=-2,當且僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B

正確；

22

由/+/-盯=1可變形為（爐+/）_1=孫4工解得f+y2<2,當且僅當尤=y=±l時取等號，所以

C正確；

因為Y+;/-邛=1變形可得+^y2=1,設x-5=cos。,,1=sin。，所以

］2222522111

x=cos0+—j=sin0,y=~^=sin0,因止匕%+y=cos0+—sin0+-j=sin0cos0=1+-j=sincos+

=?sin［20-口/，］,所以當人更丫=-3時滿足等式，但是Y+y221不成立，所以D錯誤.

33V6；L3J3-3

故選：BC.

1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數，如果有負數則考慮變形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側不能還含有核心變量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立(彼此不沖突)

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+3(a>0)的函數求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數的

x

單調性求解.

2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面

的問題：

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；

(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；

(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足

使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數或加上一個

數，“1”的代換法等.

1.幾個重要的不等式

（1）a2>0（ae7?）,Va>0（a>0）,|a|>0（ae7?）.

（2）基本不等式：如果a,6eR+,則2必（當且僅當“a=b”時取

特例：a>0,a+->2;-+->2（a/同號）.

aba

（3）其他變形：

①/+。2（溝通兩和（+人與兩平方和?2+b2的不等關系式）

2,12

②ab4巴廣（溝通兩積ab與兩平方和a2+b2的不等關系式）

③（溝通兩積ab與兩和a+Z?的不等關系式）

④重要不等式串：J拓W-W即

—+-2V2

ab

調和平均值〈幾何平均值〈算數平均值（平方平均值（注意等號成立的條件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），則孫=「（當且僅當“x=y”時取即“和為定值，積有最大值”.

（2）如果孫=尸（定值），則x+y?2歷=26（當且僅當“無=y"時取"=”）.即積為定值，和有最小值”.

3.常見求最值模型

模型一：mx+—>2y[nm（m>0,ri>0）,當且僅當x=時等號成立；

xVm

模型二：mx-\——--=m（x—a）-\——-——Fma>2y1mn+ma（m>0,n>0）,當且僅當時等號成立；

x—ax—aVm

模型三：丁」——=——1———（a>0,c>0）,當且僅當X―歸時等號成立；

ax+bx+cax+^+￡_2\lac+bVa

x

模型四：x（“一如）=*3〈工?（絲上S）2=W（機>0,〃>0,0<x<3）,當且僅當》=△時等號成

mm24mm2m

1.基本不等式

如果a>0,6>0,那么，而〈巴也，當且僅當a=b時，等號成立.其中，把叫作°,b的算術平均數，而

22

叫作a,b的幾何平均數.即正數a,b的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

基本不等式1：若a,beR,則々2+^2>2成，當且僅當&=人時取等號；

基本不等式2：若a,beR+,則*2，石（或a+622而），當且僅當a=6時取等號.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定

值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續使用不等式要注意取得一致.

1.（2022?全國?模擬預測）已知正數。，8滿足a+勸=1,貝：/+2戶+1的最小值為

ab

【答案】4石+4##4+46

【解析】

【分析】

根據題意得“2+2〃+1=/+2〃+（"+2°了,再化簡整理利用基本不等式求解即可.

abab

【詳解】

a2+2Z?2+1_a2+2b2+(tz+2Z?)2_2a1+4ab+6b2

ababab

?---------[2a_6b

=—+—+4>2.—-—+4=4A/3+4,當且僅當-T,

baa[a+2b=l

即a=2粗-3,人=2-百時取得等號.

故答案為：4A/3+4.

2.（2022?福建龍巖?模擬預測）若正實數a,b滿足工+1=族+1,則而的最小值為.

ab

【答案】1

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得疝+122、b，以而為整體求解.

Vab

【詳解】

??--+->2.^,當且僅當。=6時等號成立

abVab

即+122，^,貝+V^F-2>0

：.4ab>1^4ab<-2（舍去），BPab>\

故答案為：1.

3.（2022?江蘇?南京市江寧高級中學模擬預測）已知實數〃力滿足lna+ln〃=ln（a+4〃），則時的最小值是

【答案】16

【解析】

【分析】

根據對數定義和運算可得ab=a+4b,a>Q,b>Q,利用基本不等式a+4b>代入整理計算.

【詳解】

a>Q

b>0

]na+]nb=]nab=ln（a+4b）,則可得《

a+4b>0

ab=a+4b

ab=a-\-4b,a>0,b>0

ab=a+4b>2y1a-Ab=4y[ab當且僅當a=8,。=2時等號成立

ab>16

故答案為：16.

12

4.（2022糊南?長郡中學模擬預測）已知〃，人為正實數，直線,=辦+》將圓（x-2）2+（尸1）2=1平分，則—十7

ab

的最小值是.

【答案】8

【解析】

【分析】

根據圓的性質，結合基本不等式進行求解即可.

【詳解】

因為直線y=ax+6過圓心(2,1),所以l=2a+Z?,

因為。、b為正實數，

所以_L+2=(_L+2](2a+/7)=2+2+2+超24+2、g@=8,當且僅當？=學時取等號，即2a=b=1時

abyab)ab\abab2

取等號，

故答案為：8

1.(2022?廣東茂名?二模)已知從=3。2-236eR),則|3a-切的最小值為()

A.0B.1C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】

llu=y/3a+b

由〃2=34—2可得+b)(—力=2,令＜廣，表示出再由

v=\l3a-b

(3a-bf=9a2-6ab+&2=(1-^)//2+(1+v2+//v,結合不等式知識，即可求得答案.

【詳解】

由/=3/一2可得：3?！?故(回+))(瘋一)=2,

a=%-(〃+")

〃=+b

令＜則

v=y[3a-b

71Z、

b=-^-v)

因為(3a"=9o2_6ab+62="

當且僅當(1-等)/=(1+2|2〃=豆+1_卜//=—1—6

>即I-或彳時等號成立,

V=y]3-lV=1-#f

所以|3。-勿22,即|3。-6的最小值為2,

故選：C.

2.(2022?浙江湖州?模擬預測)已知“>0力>。，定義”(a,b)=maxk+2”,；+2〃1,則H(0,b)的最小值是

()

A.5B.6C.8D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

H(a,b)>a+22b

利用定義得到9，兩個不等式相加后利用基本不等式可求出結果.

H(a,b)2—+限

a

【詳解】

H(a,b)>a+22~b

由定義H(aM=max]a+22H：+2"],得,

g

H(a,b)>-+2b

a

oo

所以2"(〃,加之Q+22"+—+2"=〃+—+224+2”22+2也6-2b=6+4=10,

aa

9

Q=—a=3

當且僅當a,即X時,取等號.

22~b=2b

所以H(Q,Z?)\5,即"(。力)的最小值為5.

故選：A

3.(2022?全國?模擬預測(文))若實數九，,滿足2、+4,=2心，則x+2y的最小值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由條件結合基本不等式求1+2y的最小值.

【詳解】

因為2'+4V=2X+22y＞2y/2x+2y，又2工+4'=2x+2y

所以2*+2＞技2^^+’

所以X+2”2,當且僅當x=l,y=g時取等號，

所以x+2y的最小值為2,

故選：C.

14

4.（2022?江西萍鄉?三模（文））已知正實數工，丁滿足lg%+lgy=2,則—+一的最小值為（）

1y

1248

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知可得呼=100,利用基本不等式即可求出.

【詳解】

由lgx+lgy=lg沖=2,則町7=100,

141~4~。14

所以上+222、3=；,當且僅當一=一，即x=5,y=20時等號成立，

尤y\xy5xy

142

所以一+一的最小值為

xy5

故選：B.

5.（2022?江西?南昌市八一中學三模（文））已知實數a,b滿足各+占=1,且。＞?,貝］"2+4”的最小

值為（）.

A.1B.2A/2C.4D.4拒

【答案】C

【解析】

【分析】

對已知等式進行變形，然后利用基本不等式進行求解即可.

【詳解】

由———I——=1=a（b+1）+b（a+1）=（o+1）0+1）n08=1,

a+1b+\

a2+4b2（a-2b）、4ab~4_f二4“

--------=-------------=a-2b+------>2（a-2b）----------=4,

a-2ba-2ba-2btVa-2b

4

當且僅當Q—2b=——時取等號，即〃—2b=2時取等號，

故選：c

6.（2022?遼寧實驗中學模擬預測）己知實數。，6滿足片+log.6=l,（0<。<1）,則:logf一"的最小值為

（）

A.0B.-1C.1D.不存在

【答案】A

【解析】

【分析】

由題設條件可得log.b=l-/,從而利用換底公式的推論可得10gzi。=上，代入要求最小值的代數式中，

1-a

消元，利用均值不等式求最值

【詳解】

a2+logfo=l=>logZ>=l-?2=>loga=—

aflfc1-a

又則

_logfea—a-=—[------v-+(1-er)-122/-------xfl—a*j—1=0

4&b4(1-/)I)V4(l-a2)I)

1,2歷

當且僅當40_片）=1一°一即。=彳時取等號

故選：A

7.（2022?山東泰安?模擬預測）已知4/+9//+2丫4=1,貝I]5爐+3y2的最小值是（）

125

A.2B.—C.—D.3

72

【答案】A

【解析】

【分析】

對原式因式分解得（4必+〉2）（f+2>2）=1,然后利用基本不等式即可求解.

【詳解】

[S4x4+9xy+2/=l,得（4x2+y2）（x2+2y2）=lw「x+y；x+2y^5x+3y,

=

23

即4V（5/+3/），所以5/+3/22,當且僅當4d+寸=/+？/,即丁=3/=亍時，等號成立，所以

5d+3y2的最小值是2.

故選：A.

8.（2022.安徽?合肥市第八中學模擬預測（文））已知無>0,y>0,滿足f+2孫一1=。，則3尤+2y的最小

值是（）

A.&B.73C.273D.2應

【答案】D

【解析】

【分析】

將給定等式變形為y=二匚，0<x<l,再代入并結合均值不等式求解作答.

2x

【詳解】

1_?

由f+2孫一1=0,得丫=----,ffnx>0,y>0,貝I]有0<x<l,

2x

因此，3x+2y=3x+i—^=2X+->2.￡^-=2A/2,當且僅當2x=工，即％=變時取“=”，

xx\xx2

所以3尤+2〉的最小值為20.

故選：D

9.（2022?浙江?鎮海中學模擬預測）若正實數無，y滿足孫（x+y）=4,則2x+y的最小值為（）

A.3B.2.72C.2A/3D.3蚯

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用關系式的恒等變換和基本不等式的應用即可求解.

【詳解】

4

因為正實數x,y滿足孫（x+y）=4,所以尤（x+y）=1.

所以（2x+y）2=y2+4x（x+y）=y2+—=y2+—+—>3-^64=12,

yyy

88

y2=———即卜二石一1時等號成立,

當且僅當yy

b=2

孫(％+y)=4

所以2x+y的最小值是2VL

故選：C.

10.（2022?江蘇?南京市天印高級中學模擬預測）已知正實數a,6滿足。+6=1,則下列結論不正確的是（）

A.有最大值:B.一■H丁的最小值是8

/ab

C.若o>b,則，■<&D.log?a+log?b的最大值為-2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及對數的運算，不等式的性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】

對A：a>0,b>0,l=a+bN2而，，猴弓,當且僅當a=6=g時，等號成立，故A正確；

14門4、b4a12

對B：—+工=—+不（a+?=5+—+丁29,當且僅當2a=b,即時，等號成立，故B錯誤；

ab\abJab33

對C：a>b>0,a2>b29~~v<~~v>故C正確；

ab

對D：由A可知0<ab4,，故log,a+log26=log。威>Vlog,J=-2,當且僅當。=b='時，等號成立，故D正

4~-42

確.

故選:B.

14

11.（2022?湖北?黃岡中學模擬預測）已知a,b為正實數，直線>=與曲線y=ln（x+。）相切，則一+:的

ab

最小值為（）

A.8B.9C.10D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

設切點為（%，%）,求函數的導數，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切點的坐標，可得。+匕=1,再

由乘1法結合基本不等式，即可得到所求最小值.

【詳解】

設切點為（%,%）,

y=ln（x+/?）的導數為y'=—^~,

x+b

由切線的方程。可得切線的斜率為1,令京匕=L%=l-b,

則%=ln（l-b+切=0,故切點為（1一6,0）,

代入y=x—4,得a+b=l,

a、6為正實數,

14,、/14、L/?4〃「c

則n(|一+—=(〃+Z?)(—+—)=5+—+——>5+2

ababab

1?14

當且僅當〃=§,匕=］時，七十；取得最小值9,

ab

故選：B

12.（2022?湖南吊B陽市第二中學模擬預測）已知正項等比數列｛4｝滿足%=%+2%,若存在5、%,使得

《“?=16a；,則工+3的最小值為（）

mn

A.總ID

3-1

【答案】D

【解析】

【分析】

設等比數列｛%｝的公比為q,則4＞。，根據已知條件求出q的值，由已知條件可得出根+〃=6,將代數式

14114

?與幺m+同相乘，利用基本不等式可求得上+2的最小值.

mn6mn

【詳解】

設等比數列｛〃〃｝的公比為0,則9＞。，由〃3=%+2%可得9—2=0,解得4=2,

因為〃加二16。；,則.2利7-2"-1=16〃；,/.m+n-2=4,可得用+〃=6,

由已知加、HGN\所以,

當且僅當〃=2根=4時，等號成立,

因此，上1+色4的最小值為3

mn2

故選：D.

21

13.（2022?安徽?合肥一六八中學模擬預測（理））已知正數無，y滿足---------1---------=1,則x+y的最小值

x+3y3x+y

()

3+20R3+五3+2加3+逝

A.C.D.

-4~488

【答案】A

【解析】

【分析】

利用換元法和基本不等式即可求解.

【詳解】

21

令x+3y=根，3x+y=n,貝I］一+—=1,

mn

即+力=(x+3y)+(3x+y)=4(x+y),

.m+nmn21m2nm2n

??x+y=-------+1=—H--------1---------F->2.4

44m+n24〃4m44n4m4

=2」+…+3

2A/244

當且僅當：==,即加=2+&，〃=0+1時，等號成立,

4〃4m

故選：A.

2112

14.（2022?上海?位育中學模擬預測）已知，＞0/＞。，且必=1,則---1----1-------的最小值為.

3a2b3a+4b

【答案】20

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求最小值.

【詳解】

21123a+4b123a+4b12

------1--------1----------------------------1--------------=---------------1--------------

3a2b3a+4b6ab3a+4b63a+4b

而絲生+「三7之20,當且僅當3a+46=60時等號成立,

63a+4。

3A/2-A/63A/2+A/6

a=------------a二---------------------

3〃+4〃=6A/23

由可得3或,

ab=l-3應+而3A/2-A/6

b=------------a二---------------------

44

3母一瓜3艮底

a=

,,3a+4b12,r--3~3

故~+~~^2近,當且僅當,或，等號成立,

63a+4b3忘+而3>/2-A/6

b=

44

71io―

故F+4+廣費的最小值為2五—

3a2b3a+4b

故答案為：2夜.

15.（2022?四川?宜賓市敘州區第一中學校模擬預測（文））已知6為正實數，且工+苫=12,則。+匕的

ab

最小值為____________

【答案】|

【解析】

【分析】

由基本不等式求解

【詳解】

10b9a

百日百上（〃+人）（一+一）G后

由題意八〃b=10+—a+—[0I]C0+I219=4A

1212-123

〃

當且僅當gh=號9即。=I:力=1時等號成立，

ab3

4

故答案為：—

J真題練）

1.（2022?全國?高考真題（文））已知9m=10,a=l（F—11力=8加—9,貝1J（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>QD.b>0>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據指對互化以及對數函數的單調性即可知加=log910>l，再利用基本不等式，換底公式可得相>lgll,

logs9>m,然后由指數函數的單調性即可解出.

【詳解】

由9M=10可得利=1崎1。=需>1,而lg91gli<「g9；gll［=［號］<i=（igioy,所以需>懸，

即機>lgll,所以a=l（F—11>10瞑1—11=0.

又lg81gl0<（如;lgl°）=［等）所以胃〉十,upiog9>m.

8

所以Z,=8"'-9<a°戰9—9=0.綜上，a>0>b.

故選：A.

2.（2021.全國.高考真題（文））下列函數中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.in

,=|s^|+|sinx|?

4

C.y=2x+22-xD.y^lnx+—

Inx

【答案】C

【解析】

【分析】

根據二次函數的性質可判斷A選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,。不符

合題意，C符合題意.

【詳解】

對于A,J=X2+2X+4=（X+1）2+3>3,當且僅當x=-l時取等號，所以其最小值為3,A不符合題意；

對于B,因為0Vsinx|<l,y=|sinx|+-^->274=4,當且僅當卜也討=2時取等號，等號取不到，所以其

Sill

最小值不為4,B不符合題意；

41—

對于C,因為函數定義域為R,而2工>0,y=2*+22r=2，+7722a=4,當且僅當2*=2，即x=l時取

2

等號，所以其最小值為4,C符合題意；

4

對于D,y=inx+--,函數定義域為（0,1）（l,+oo）,而InxsH且InxwO,如當lnx=-l,k芍，D不符合

Inx

題意.

故選：C.

【點睛】

本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數的性質即可解

出.

22

3.（2021?全國?高考真題）已知耳，F?是橢圓C：/+q=l的兩個焦點，點”在C上，則訃|叫|的最

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本題通過利用橢圓定義得到+|Mq=2。=6,借助基本不等式|叫\-\MF2\<即可得到答

案.

【詳解】

由題，a2=9,b2=4,貝“加耳|+|211/^=2〃=6,

所以司《也當四］=9（當且僅當|5|=|咋|=3時，等號成立）.

故選：C.

【點睛】

4.（多選題）（2022?全國?高考真題）若x,y滿足Y+V-9=1,則（）

A.x+y<\B.尤+y2-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】

因為H），由Y+V-盯=1可變形為，（尤+y）2-1=3盯,解得

-2<x+y<2f當且僅當x=y=—l時，x+y=-2,當且僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確;

22

由Y+y2-孫=1可變形為（/+>2）_1=孫<與匕，解得/+丫242,當且僅當尤=y=±l時取等號，所以

C正確；

因為Y+y2f=1變形可得,一￡|2+%2=1,設x￡=coso￥y=sin6,所以

125.2.111

x=cos3+-j=sin0,y=—T=sin0,因止匕x2+y2=cos2^+—sin20+—j=sin0cos0=1+sin20--cos26+—

=i+lsJ20-^]Jl，2],所以當尤=3尸=_3時滿足等式，但是/+不成立，所以D錯誤.

3316八3」33

故選：BC.

5.（多選題）（2020?海南?高考真題）已知a>0,b>0,且a+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log,a+log2b>-2D.y/a+4b<y/2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據。+6=1,結合基本不等式及二次函數知識進行求解.

【詳解】

對于A,a2+b2=a2+（l-a）2=2a2-2a+l=

當且僅當。=b=；時，等號成立，故A正確；

對于B,a-b=2a-l>-l,所以2修>27=」，故B正確；

2

對于C,log2a+log2b=log2ab<log21——I=log2-=-2,

當且僅當。=b=；時，等號成立，故C不正確；

對于D,因為（6+振『=1+2痣Vl+cz+b=2,

所以6+6V0,當且僅當。=6=g時，等號成立，故D正確；

故選：ABD

【點睛】

本題主要考查不等式的性質，綜合了基本不等式，指數函數及對數函數的單調性，側重考查數學運算的核

心素養.

Ar

6.（2022?全國?高考真題（理））已知ASC中，點。在邊上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當一土

AB

取得最小值時，BD=.

【答案】A/3-1##-1+V3

【解析】

【分析】

AC2二

設CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出而后'結合基本不等式即可得解.

【詳解】

設CD=2BD=2m>0,

則在△ABD中，AB2^BD2+AD2-2BDADCOSZADB=m2+4+2m,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4m2+4-4機4（根N+4+2m^-12（l+m）12

=44

所以益7-+4+2〃zm2+4+2m----------

v7m+1

12

>4——^4-2A/3

3

當且僅當加+1=；即根=6-1時，等號成立,

m+1

所以當去取最小值時，機=6-1.

AB

故答案為：^3-1.

D

7.（2021.天津.高考真題）若。>0,b>0,則:+點+6的最小值為.

【答案】20

【解析】

【分析】

兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】

?>0,Z?>0,

.\-+-^-+b>2.^^+b=-+