湖南長沙市第一中學2025屆高一數學第一學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AD1和B1C所成的角是（）A. B.C. D.2．在半徑為2的圓上，一扇形的弧所對的圓心角為，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.3．已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則（）A.1 B.-1C. D.4．已知兩條繩子提起一個物體處于平衡狀態.若這兩條繩子互相垂直，其中一條繩子的拉力為50，且與兩繩拉力的合力的夾角為30°，則另一條繩子的拉力為（）A.100 B.C.50 D.5．當時，在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象可能為A. B.C. D.6．已知圓：與圓：，則兩圓的位置關系是A.相交 B.相離C.內切 D.外切7．已知設alog30.2，b30.2，c0.23，則a，b，c的大小關系是（）A.abc B.acbC.bac D.bca8．當時，在同一坐標系中，函數與的圖像是（）A. B.C. D.9．如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B′AC＝60°．那么這個二面角大小是（）A.30° B.60°C.90° D.120°10．下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數的圖像過點，則___________.12．計算的值為__________13．若函數與函數的最小正周期相同，則實數______14．命題“，使關于的方程有實數解”的否定是_________.15．函數的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于原點對稱，則的值為__________16．函數定義域為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）化簡：；（2）已知，求的值.18．已知函數，.（1）若的定義域為，求實數的取值范圍；（2）若，函數為奇函數，且對任意，存在，使得，求實數的取值范圍.19．已知函數，（為常數）.（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）討論零點的個數.20．設向量的夾角為且如果（1）證明：三點共線.（2）試確定實數的值，使的取值滿足向量與向量垂直.21．已知函數.（1）當時，若方程式在上有解，求實數的取值范圍；（2）若在上恒成立，求實數的值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線AD1和面對角線DA1所成的角就是異面直線AD1和B1C所成的角，利用正方體的性質即得【詳解】由正方體的性質可知，，∴四邊形為平行四邊形，∴DA1∥B1C，∴正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線AD1和面對角線DA1所成的角就是異面直線AD1和B1C所成的角，∵四邊形ADD1A1正方形，∴直線AD1和DA1垂直，∴異面直線AD1和B1C所成的角是90°故選：D2、D【解析】利用扇形的面積公式即可求面積.【詳解】由題設，，則扇形的面積為.故選：D3、D【解析】利用三角函數的坐標定義求出，即得解.【詳解】由題得.所以.故選：D【點睛】本題主要考查三角函數的坐標定義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4、D【解析】利用向量的平行四邊形法則求解即可【詳解】如圖，兩條繩子提起一個物體處于平衡狀態，不妨設，根據向量的平行四邊形法則，故選：D5、C【解析】當時，單調遞增，單調遞減故選6、C【解析】分析：求出圓心的距離，與半徑的和差的絕對值比較得出結論詳解：圓，圓,，所以內切．故選C點睛：兩圓的位置關系判斷如下：設圓心距為，半徑分別為，則：，內含；，內切；，相交；，外切；，外離7、D【解析】由指數和對數函數單調性結合中間量0和1來比較a，b，c的大小關系即可有結果.【詳解】因為，，所以故選：D8、D【解析】根據指數型函數和對數型函數單調性，判斷出正確選項.【詳解】由于，所以為上的遞減函數，且過；為上的單調遞減函數，且過，故只有D選項符合.故選：D.【點睛】本小題主要考查指數型函數、對數型函數單調性判斷，考查函數圖像的識別，屬于基礎題.9、C【解析】根據折的過程中不變的角的大小、結合二面角的定義進行判斷即可.【詳解】因為AD是等腰直角△ABC斜邊BC上的高，所以，因此是二面角的平面角，∠B′AC＝60°．所以是等邊三角形，因此，在中.故選：C【點睛】本題考查了二面角的判斷，考查了數學運算能力，屬于基礎題.10、B【解析】先判斷各函數最小正周期，再確定各函數在區間上單調性，即可選擇判斷【詳解】對于A,最小正周期為2π,在區間上單調遞減，不合題意；對于B,最小正周期為π,在區間上單調遞減，符合題意；對于C,最小正周期為2π,在區間上單調遞減，不合題意；對于D,最小正周期為π,在區間上單調遞增，不合題意；故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】先設冪函數解析式，再將代入即可求出的解析式，進而求得.【詳解】設，冪函數的圖像過點，，，，故答案為：12、【解析】.13、【解析】求出兩個函數的周期，利用周期相等，推出a的值【詳解】：函數的周期是；函數的最小正周期是：；因為周期相同，所以，解得故答案為【點睛】本題是基礎題，考查三角函數的周期的求法，考查計算能力14、，關于的方程無實數解【解析】直接利用特稱命題的否定為全稱命題求解即可.【詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，否定特稱命題是，既要否定結論，又要改變量詞，所以命題“，使關于的方程有實數解”的否定為：“，關于的方程無實數解”.故答案為：，關于的方程無實數解15、【解析】由題意知，先明確值，該函數平移后為奇函數，根據奇函數性質得圖象過原點，由此即可求得值【詳解】∵函數的最小正周期為，∴，即，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數為，又所得圖象關于原點對稱，∴，即，又，∴故答案為：【點睛】本題考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查奇偶函數的性質，要熟練掌握圖象變換的方法16、【解析】解余弦不等式，即可得出其定義域.【詳解】由對數函數的定義知即，∴，∴函數的定義域為。故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）-1（2）-3【解析】（1）根號下是，開方后注意，而，從而所求值為.（2）利用誘導公式原式可以化簡為，再分子分母同時除以，就可以得到一個關于的分式，代入其值就可以得到所求值為.解析：（1）.（2）.18、（1）；（2）.【解析】（1）由函數的定義域為，得到恒成立，即恒成立，分類討論，即可求解.（2）根據題意，轉化為，利用單調性的定義，得到在R上單調遞增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分類討論，即可求解.【詳解】（1）由函數定義域為，即恒成立，即恒成立，當時，恒成立，因為，所以，即；當時，顯然成立；當時，恒成立，因為，所以，綜上可得，實數的取值范圍.（2）由對任意，存在，使得，可得，設，因為，所以，同理可得，所以，所以，可得，即，所以在R上單調遞增，所以，則，即恒成立，因為，所以恒成立，當時，恒成立，因為，當且僅當時等號成立，所以，所以，解得，所以；當時，顯然成立；當時，恒成立，沒有最大值，不合題意，綜上，實數的取值范圍.【點睛】利用函數求解方程的根的個數或研究不等式問題的策略：1、利用函數的圖象研究方程的根的個數：當方程與基本性質有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程的根就是函數與軸的交點的橫坐標，方程的根據就是函數和圖象的交點的橫坐標；2、利用函數研究不等式：當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上、下關系問題，從而利用數形結合求解.19、（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解析】（1）利用函數的單調性的定義，即可證得函數的單調性，得到結論；（2）由得，轉化為，設，利用二次函數的性質，即可求解.（3）把函數有個零點轉化為方程有兩個解，令，作的圖像及直線圖像，結合圖象，即可求解，得到答案.【詳解】（1）當時，且時，是單調遞減的.證明：設，則又且，故當時，在上是單調遞減的.（2）由得，變形為，即，設，令，則，由二次函數的性質，可得，所以，解得.（3）由有個零點可得有兩個解，轉化為方程有兩個解，令，作的圖像及直線圖像有兩個交點，由圖像可得：i）當或，即或時，有個零點.ii）當或或時，由個零點；iii）當或時，有個零點.【點睛】本題主要考查了函數的單調性的判定，以及函數與方程的綜合應用，其中解答中熟記函數的單調性的定義，以及合理分離參數和轉化為圖象的交點個數，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及分類討論思想的應用，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.20、（1）見解析（2）【解析】（1）利用向量的加法求出，據此，結合，可以得到與的關系；（2）根據題意可得，再結合的夾角為，且，即可得到關于的方程，求解即可.試題解析：（1）即共線，有公