四川省樂山一中2025屆數學高二上期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列中，其前項和為，且滿足，數列的前項和為，若對恒成立，則實數的值可以是（）A. B.2C.3 D.2．已知集合，則（）A. B.C. D.3．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個不同平面.設有兩個命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.4．已知為等差數列，且，，則（）A. B.C. D.5．設，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件6．設函數，則（）A.1 B.5C. D.07．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.88．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.49．已知、為非零實數，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.10．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究發現了黃金分割，簡稱黃金數．離心率等于黃金數的倒數的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.12．下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的離心率______.14．已知函數的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，則的外接圓E的方程是________15．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，P是其一條漸近線上的一點，且以為直徑的圓經過點P，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了符合國家制定的工業廢氣排放標準，某工廠在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用新工藝，對其排放的廢氣中的二氧化硫轉化為一種可利用的化工產品．已知該工廠每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化硫得到可利用的化工產品價值為200元（1）該工廠每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該工廠每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤：如果不獲利，則國家每月至少應補貼多少元才能使工廠不虧損？18．（12分）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，，（）（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（3）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）19．（12分）已知函數.（1）設x=2是函數f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；（2）證明：當時，.20．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍21．（12分）已知拋物線上的點M（5，m）到焦點F的距離為6.（1）求拋物線C的方程；（2）過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線l方程.22．（10分）已知橢圓的右頂點為，上頂點為.離心率為，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若，是橢圓上異于長軸端點的兩點（斜率不為0），已知直線，且，垂足為，垂足為，若，且的面積是面積的5倍，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由求出，從而可以求，再根據已知條件不等式恒成立，可以進行適當放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因為對恒成立，當時，則恒成立，當時，，所以，，，若n為奇數，則；若n為偶數，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D2、B【解析】先求得集合A，再根據集合的交集運算可得選項.【詳解】解：因為，所以故選：B.3、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關系判斷2個命題的真假，再利用復合命題的真值表判斷選項的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：4、B【解析】由已知條件求出等差數列的公差，從而可求出【詳解】設等差數列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B5、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.6、B【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.7、D【解析】先求出拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義將轉化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點為，準線方程為，設點到準線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.8、C【解析】根據雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.9、D【解析】作差法即可逐項判斷.【詳解】或，對于A：，∵，無法判斷正負，故A錯誤；對于B：，∵無法判斷正負，故B錯誤；對于C：，∵，，∴，，故C錯誤；對于D：，∴，故D正確.故選：D.10、D【解析】由離心率求得，設出兩點坐標代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關系得結論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D11、A【解析】根據黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A12、B【解析】根據基本初等函數的導數和求導法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數的導數公式，考查導數的運算法則，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.14、【解析】由題可求三角形三頂點的坐標，三角形的外接圓的方程即求.【詳解】令，得或，則，∴外接圓的圓心的橫坐標為2，設，半徑為r，由，得，則，即，得，.∴的外接圓的方程為.故答案為：.15、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎題.16、【解析】先得出漸近線方程和圓的方程，然后解出點P的縱坐標，進而求出面積.【詳解】由題意，漸近線方程為：，，圓的方程為：，聯立：，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）600噸（2）該工廠不獲利，且需要國家每月至少補貼52500元才能使工廠不虧損【解析】（1）設該工廠每噸平均處理成本為z，，利用基本不等式求最值可得答案；（2）設該工廠每月的利潤為，利用配方求最值可得答案.【小問1詳解】設該工廠每噸平均處理成本為z，，∴，當且僅當，即時取等號，當時，每噸平均處理成本最低.【小問2詳解】設該工廠每月的利潤為，則，∴，當時，，所以該工廠不獲利，且需要國家每月至少補貼52500元才能使工廠不虧損.18、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取得中點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式即可得出；（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，又，側棱底面，，，平面（2）以為坐標原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設與平面所成角為，則，解得，故所求（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應用，利用向量求線面角、柱體的定義應用和表面積的求法，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力，數學運算能力及化歸與轉化能力，屬于中檔題19、（1），的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數的定義域與導函數，依題意可得，即可求出參數的值，再根據導函數與函數的單調性的關系求出函數的單調區間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導數說明其單調性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調遞減，當時，，即，所以上單調遞增，綜上可得的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因為，所以即證，令，則，所以當時，，當時，所以，所以，所以當時，20、（1）（2）【解析】（1）利用導數求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）把題意轉化為：存在，使得不等式成立，構造新函數，對m進行分類討論，利用導數求，解不等式，即可求出m的范圍.【小問1詳解】當時，,定義域為R，.所以，.所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：，即.【小問2詳解】不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構造函數，則.①當時，恒成立，故在上單調遞增，故，解得：，故；②當時，令，解得：令，解得：故在上單調遞減，在上單調遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當時，恒成立，故在上單調遞減，故，不符合題意，應舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.21、（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義有求參數，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設，聯立拋物線方程，結合韋達定理、中點坐標求參數k，即可得直線l方程【小問1詳解】由題設，拋物線準線方程為，∴拋物線定義知：可得，故【小問2詳解】由題設，直線l的斜率存在且不為0，設聯立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點，∴，即故l22、（1）（2）面積的最大值為【解析】（1）由