2025屆廣東省普寧第二中學高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.2．已知函數，在上隨機任取一個數，則的概率為（）A. B.C. D.3．已知集合A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝()A.{－2，－1，0，1} B.{－1，0，1}C.{－2，－1} D.{－2，－1，0}4．離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程是A. B.或C. D.或5．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.26．空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.7．設數列的前項和為，當時，，，成等差數列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．若函數的導函數為偶函數，則的解析式可能是（）A. B.C. D.9．已知等比數列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.410．已知是定義在上的函數，且對任意都有，若函數的圖象關于點對稱，且，則（）A. B.C. D.11．已知直線過點，當直線與圓有兩個不同的交點時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環）910579小張得分（環）67557A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.14．如圖，AD與BC是三棱錐中互相垂直的棱，，（c為常數）.若，則實數的取值范圍為__________.15．已知函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍為________.16．已知點，為拋物線：上不同于原點的兩點，且，則的面積的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點到兩個定點的距離比為（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線被點的軌跡截得的弦長為，求直線的方程18．（12分）某省電視臺為了解該省衛視一檔成語類節目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節目的人數（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個數字被污損.（1）求東部各城市觀看該節目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節目觀眾平均人數的概率.（2）隨著節目的播出，極大激發了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺.現從觀看該節目的觀眾中隨機統計了4位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學習成語知識時間（小時）2.5344.5由表中數據，試求線性回歸方程，并預測年齡為55歲觀眾周均學習成語知識時間.參考公式：，.19．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生人數及圖中的值；（2）估計樣本數據的中位數（保留兩位小數）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數.20．（12分）已知等差數列的前項和為，滿足，.（1）求數列的通項公式與前項和；（2）求的值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點F到上頂點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，使得點C（）在線段AB的中垂線上？若存在，求出直線l：若不存在，說明理曲.22．（10分）已知等比數列的公比，且，的等差中項為，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導出直線的傾斜角即可.【詳解】選項A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯誤；選項C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯誤；選項D：直線沒有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯誤.故選：A2、A【解析】先解不等式，然后由區間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A3、D【解析】根據集合交集的運算法則計算即可.【詳解】∵A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝{－2，－1，0}.故選：D.4、B【解析】試題解析：當焦點在x軸上：當焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標準方程點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同5、C【解析】利用雙曲線的定義求.【詳解】解：由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點到的距離為18，故選：C.6、A【解析】由已知得，，，設向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.7、A【解析】根據等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進而得出結果.【詳解】解：由，，成等差數列，可得，則，，，可得數列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當且僅當時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查等差數列的性質和遞推式的應用，考查分析問題能力，屬于難題.8、C【解析】根據題意，求出每個函數的導函數，進而判斷答案.【詳解】對A，，為奇函數；對B，，為奇函數；對C，，為偶函數；對D，，既不是奇函數也不是偶函數.故選：C.9、D【解析】設公比為，然后由已知條件結合等比數列的通項公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設公比為，因為等比數列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D10、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數的圖象關于點對稱，判斷得函數的圖象關于點對稱，即，則化簡可得，即函數的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因為函數的圖象關于點對稱，所以函數的圖象關于點對稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題11、A【解析】設直線方程，利用圓與直線的關系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點故選：A12、C【解析】根據圖表數據可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和.可知故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數的性質求得它的值域即可【詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數的性質可得，當x＝y時，?取得最小值為；當x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點睛】本題主要考查了向量在幾何中的應用與向量的數量積運算問題，是綜合性題目14、【解析】分析得都在以為焦點的橢球上，再利用橢球的性質得到，化簡即得解.【詳解】解：因為，所以都在以為焦點橢球上，由橢球的性質得，是垂直橢球焦點所在直線的弦，的最大值為,此時共面且過中點，即故實數的取值范圍為.故答案為：15、【解析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數法得到.令，，只需和有兩個交點，利用導數研究的單調性與極值，數形結合即得.【詳解】∵的定義域為，，要使函數有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側的單調性相反，在的兩側的單調性相反，由得，，令，，要使函數有兩個極值點，只需和有兩個交點，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調遞增，在上單調遞減，當時，；當時，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實數a的取值范圍為.故答案為：16、【解析】設，，利用可得即可求得，利用兩點間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設，，由可得，解得：，，，，，所以，當且僅當時等號成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是設，坐標，采用設而不求的方法，將轉化為，求出參數之間的關系，再利用基本不等式求的最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）設出，表達出，直接法求出軌跡方程；（2）在第一問的基礎上，先考慮直線斜率不存在時是否符合要求，再考慮斜率存在時，設出直線方程，表達出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出直線方程.【小問1詳解】設,則，，故，兩邊平方得：【小問2詳解】當直線斜率不存在時，直線為，此時弦長為，滿足題意；當直線斜率存在時，設直線，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得：，解得：，此時直線的方程為，綜上：直線的方程為或.18、（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）先根據兩個平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進行求解；（2）先利用最小二乘法求出線性回歸方程，再利用方程進行預測.試題解析：（1）設被污損的數字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節目觀眾平均人數的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個，所以其概率為.（2）由表中數據得，，∴，線性回歸方程.可預測年齡為55觀眾周均學習成語知識時間為4.9小時.19、（1）樣本中高一年級學生的人數為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數.【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數據的中位數約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數據落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數約為.20、（1），；（2）.【解析】(1)設出等差數列的公差，借助前項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結論借助裂項相消去求解作答.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數列的通項公式為，前項和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.21、（1）（2）存在，【解析】（1）由題意可得，，求得的值即可求解；（2）由（1）得，假設存在滿足條