專題07圓中的相關計算問題目錄熱點題型歸納 1一、與圓相關的證明與計算 1題型01與圓相關的證明與計算（常見模型） 1【解題策略】 1二、求線段長的三種方法 7題型02利用勾股定理或三角函數求線段長（方法一） 7【解題策略】 7題型03利用相似三角形的性質求線段長（方法二） 12題型04利用等面積法求線段長（方法三） 17三、與圓有關的陰影部分面積的計算 21題型05與圓有關的陰影部分面積的計算 21中考練場 32 一、與圓相關的證明與計算題型01與圓相關的證明與計算（常見模型）【解題策略】方法技巧常見模型（知識提煉）圖示技巧點撥1.有直徑構造直角有30°，構造直角三角形.有直徑，構直角.2.圓中易得等腰三角形圓中易得等腰三角形；3.有平行四邊形，易得含60°的菱形以兩半徑為鄰邊的平行四邊形，必為含60°的菱形.4.含直徑為腰的等腰三角形，易得三線合一含直徑為腰的等腰三角形，易得三線合一；5.有中點，得垂直有中點，連圓心，構垂徑定理.6.連接圓心的線段易為中位線連接圓心的線段易為中位線.【典例分析】【例1】（2023·遼寧模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是BA延長線上一點，直線PE切⊙O于點Q，連接BQ．(1)∠QBP=25°，求∠P的度數；(2)若PA=2，PQ=4，求⊙O的半徑．【答案】解：(1)連接OQ，

∵直線PE切⊙O于點Q，

∴∠PQO=90°，

∵∠QBP=25°，

∴∠QOP=50°，

∴∠P=90°?∠QOP=40°

，

即∠P=40°；

(2)設OQ=r，

則PO=2+r，

由勾股定理得，r2+42=(2+r)2

，

解得：r=3，

【解析】此題考查了切線的性質，圓周角定理及推論以及勾股定理的應用，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．

(1)連接QO，直線PE切⊙O于點Q，可得∠PQD=90°，然后根據圓周角定理及推論，可得∠QOP，從而求出∠P的度數；

(2)設OQ=r，則PO=2+r，由勾股定理可得，r2+42=(2+r)【例2】（2023·全國模擬）如圖，直線AB經過⊙O上一點C，并且OA=OB，CA=CB.直線AB與⊙O具有怎樣的位置關系？請說明理由．

【答案】解：直線AB是⊙O的切線，

理由：連接OC，如圖，

∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∵OC為⊙O的半徑，

∴直線AB是⊙O的切線；

【解析】根據等腰三角形性質得出OC⊥AB，根據切線的判定得出即可．

本題考查了等腰三角形的性質，切線的判定，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．【變式演練】1.（2023·山西模擬）

如圖，⊙O的直徑AB=6，C為圓周上一點，AC=3，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E．

(1)求∠AEC的度數；

(2)求證：四邊形OBEC是菱形．【答案】解：(1)∵OA=OC=12AB=3，AC=3，

∴OA=OC=AC，

∴△OAC為等邊三角形，

∴∠AOC=60°，

∵圓周角∠AEC與圓心角∠AOC所對的弧都是AC，

∴∠AEC=12∠AOC=30°；

(2)∵直線l切⊙O于C，

∴OC⊥CD，

又∵BD⊥CD，

∴OC/?/BD，

∴∠B=∠AOC=60°，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠AEB=90°，

又∵∠AEC=30°，

∴∠DEC=90°?∠AEC=60°，

∴∠B=∠DEC，

∴CE//OB，

∴四邊形OBCE為平行四邊形，

又∵OB=OC，

【解析】(1)由直徑AB的長，求出半徑OA及OC的長，再由AC的長，得到△OAC三邊相等，可得此三角形為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AOC=60°，再根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，即可得出∠AEC的度數；

(2)由直線l與圓O相切，根據切線的性質得到OC與直線l垂直，又BD與直線l垂直，根據在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行得到BE/?/OC，根據兩直線平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出∠AED=90°，再求出∠DEC=60°，可得出∠B=∠DEC，根據同位角相等兩直線平行，可得出EC/?/OB，根據兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形可得出四邊形OBEC為平行四邊形，再由半徑OC=OB，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出OBEC為菱形．

此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，平行線的判定與性質，平行四邊形及菱形的判定，是一道綜合性較強的試題，學生做題時應結合圖形，弄清題中的條件，找出已知與未知間的聯系來解決問題．熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵．2.（2023·河北模擬）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB=2∠BAC．(1)求證：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4，BC=5.求【答案】(1)證明：由圓周角定理得，

∠ACB=12∠AOB

，

∠BAC=12∠BOC

．

∵∠ACB=2∠BAC，

∴∠AOB=2∠BOC．

(2)解：過點O作半徑OD⊥AB于點E，則

∠DOB=12∠AOB

，AE=BE．

∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠DOB=∠BOC．

∴BD=BC．

∵AB=4，

BC=5，

∴BE=2，

DB=5．

在Rt△BDE中，

∴∠DEB=90°，

∴

DE=BD2?BE2=1

．

在Rt△BOE中，【解析】(1)由圓周角定理得出，∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，再根據∠ACB=2∠BAC，即可得出結論;

(2)過點O作半徑OD⊥AB于點E，根據垂徑定理得出∠DOB=12∠AOB，AE=BE，證明∠DOB=∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根據勾股定理得出DE=二、求線段長的三種方法題型02利用勾股定理或三角函數求線段長（方法一）【解題策略】方法技巧（1）勾股定理最簡單的應用，就是在一個直角三角形中已知其中兩條邊的長度，求另外一條邊；另外，有時候也結合勾股定理通過設未知數的方法來計算線段的長度。比如，在△ABC中，∠C=90度，其中AC+BC=7，AB=5，那么我們就可以設AC的長度為x，這樣一來，BC就等于7-x，根據勾股定理就可以建立方程：x2+(7-x)2=25,解這個方程就可以得到另外兩條邊的長度。（2）在△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦sinA=,∠A的余弦cosA=,∠A的正切tanA=.【典例分析】【例1】（2023·寧夏模擬）如圖△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．(1)求證：⊙D與AC相切；(2)若AC=5，BC=3，試求AE的長．【答案】(1)證明：過D作DF⊥AC于F，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于點D，∴BD=DF，∴⊙D與AC相切；(2)解：設圓的半徑為x，∵∠B=90°，BC=3，AC=5，∴AB=∵AC，BC，是圓的切線，∴BC=CF=3，∴AF=AB?CF=2，∵AB=4，∴AD=AB?BD=4?x，在Rt△AFD中，(4?x)解得：x=3∴AE=4?3=1．

【解析】(1)過D作DF⊥AC于F，利用角平分線的性質定理可得BD=FD即可證明：⊙D與AC相切；(2)在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的長，設圓的半徑為x，利用切線長定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB?x，利用勾股定理建立方程求出x，進而求出AE的長．本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質、切線長定理以及勾股定理的運用，解題的關鍵是構造直角三角形，利用勾股定理列方程．【變式演練】1.（2023·江蘇模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB?的中點，CD與AB交于點E．F是AB延長線上的一點，且CF=EF(1)求證：CF為⊙O的切線．(2)連接BD，取BD的中點G，連接AG.若CF=4，BF=2，求AG的長．【答案】(1)解：證明：如圖②，連接OC，OD．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠OED＝∠FEC，∴∠OED＝∠FCE．∵AB是直徑，D是AB?的中點，∴∠DOE＝90°，∴∠OED＋∠ODC＝90∴∠FCE＋∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，∵OC是半徑，∴CF是⊙O的切線．

(2)過點G作GH⊥AB于點H．設OA＝OD＝OC＝OB＝r，則OF＝r＋2．在Rt△COF中，42＋r2＝（r＋2）2，∴r＝3．∵GH⊥AB，∴∠GHB＝90°．∵∠DOE＝90°，∴∠GHB＝∠DOE，∴GH//DO，∴BHBO∵G為BD的中點，∴BG=12BD，∴BH=∴AH=AB?BH=6?32=9

【解析】1.

如圖②，連接OC，OD，證明∠OCF=90°即可；2.

如圖②，要求AG的長，AG在任意三角形AGB中，即使求出AB和BG，也無法直接求出AG，則須構造以AG為邊的特殊三角形，顯然過中點G作GH⊥AB，垂足為H，求出AH，GH即可．點評：圓的切線判定、性質是重要的知識點，必須熟練掌握其判定方法和性質．圓的切線判定常用輔助線有兩種：一是已知直線經過圓上一點，則作半徑，證垂直；二是未知直線經過圓上一點，則作垂直，證半徑．先證相切再計算是中考常見題型．解決此類計算問題主要通過構建方程加以解決，通常有以下途徑：(1)運用勾股定理；(2)運用比例線段；(3)運用直角三角形的邊角關系．不能直接計算時，可考慮添加輔助線等角等邊進行轉化．第(2)題中添加的輔助線GH，除構造直角三角形外，還構造出三角形中位線的基本圖形，形成已知與未知之間的有效溝通．2.（2023·廣東模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠BCD=∠A.(1)求證：CD是⊙O的切線;(2)若⊙O的半徑為3，CD=4，求BD的長．【答案】(1)證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∴∠ACB=90°，則∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切線;(2)解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD=∴BD=OD?OB=5?3=2．

【解析】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及等腰三角形的性質．(1)連接OC，由AB是⊙O的直徑可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性質結合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線；(2)在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的長，進而可得出BD的長．題型03利用相似三角形的性質求線段長（方法二）【解題策略】方法技巧當要求的線段在一般三角形中，還可以通過相似三角形的性質來求解。初中階段我們常用的相似三角形分為“A”型、“X”型或一般相似三角形，“A”型和“X”型相似常常伴隨著平行線產生，也就是說如果題目中出現了平行線，那么很可能就會有相似三角形產生，如果有相似三角形，那就可以利用相似的性質進行線段長度的求解了；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形與原三角形相似.補充:若CD為Rt△ABC斜邊上的高(如圖),則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.【典例分析】【例1】（2023·湖北模擬）如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°，D為BC的中點，以AC為直徑的⊙O交AB于點E．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的長．【答案】(1)證明：如圖，連接OE、EC．∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D為BC的中點，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切線．(2)由(1)知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE∴BC∵AE：EB=1：2，設AE=x，則BE=2x，BA=3x，又BC=6，∴6解得：x=6(即AE=6【解析】本題考查了切線的判定和相似三角形的性質和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此題的關鍵．(1)求出∠OED=∠BCA=90°，根據切線的判定得出即可；(2)求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【變式演練】1.（2023·河南模擬）如圖，點O在△ABC的邊AB上，⊙O與邊AC相切于點E，與邊BC，AB分別交于點D，F，且DE=EF．(1)求證：∠C=90°；(2)當BC=3，AC=4時，求⊙O半徑的長．【答案】(1)證明：連接OE，BE，∵DE=EF，∴DE∴∠OBE=∠DBE，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠OEB=∠DBE，∴OE/?/BC，∵⊙O與邊AC相切于點E，∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，∴∠C=90°；(2)解：在△ABC，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=設⊙O的半徑為r，則AO=5?r，∵OE⊥AC，∴△AEO∽△ACB，∴AO即5?r5∴r=158【解析】本題考查了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，綜合程度較高，根據題意證出OE/?/BC是解題的關鍵．(1)連接OE，BE，因為DE=EF，所以DE=EF，從而易證∠OEB=∠DBE，所以OE/?/BC，從可證明(2)設⊙O的半徑為r，則AO=5?r，根據相似三角形的性質得到AOAB=OEBC，即2.（2023·江蘇模擬）如圖，AB

為⊙O直徑，C

為⊙O上一點，點D是BC⌒的中點，DE⊥AC于(1)求證：DE

是⊙O(2)若OF=4，求AC

的長度．【答案】(1)證明：連接OD、AD.∵點D是BC⌒∴BD∴∠DAO∵OA=OD∴∠DAO∴∠DAC∴OD∵DE∴∠AED=∴∠AED∴OD∴DE是⊙

(2)解：連接BC.∵AB是⊙∴∠ACB=∵OD∴∠DOB∵∠DFO=∴△DFO∽△BCA，∴OF即4AC∴AC=8.

【解析】1.

連接OD、AD.只要證明OD//AE，由DE⊥2.

連接BC.只要證明△DFO∽△BCA，推出OFAC本題考查切線的判定和性質、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．題型04利用等面積法求線段長（方法三）【解題策略】等面積法：【典例分析】【例1】（2023·云南模擬）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．(1)請判斷DE與⊙O的位置關系，并證明；(2)連接AD，若⊙O的半徑為52，AD=3，求DE的長．【答案】解：(1)DE與⊙O相切，證明：連接AD、OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDA=90°，∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=DC，又∵OB=OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD/?/AC．又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．(2)若⊙O的半徑為52，則AB=AC=5在Rt△ADC中，AD=3，AC=5，∴DC=又∵1∴DE=AD?DCAC【解析】(1)要判斷DE是⊙O的切線，只要證明DE垂直于過切點的半徑，即DE⊥OD即可；(2)在Rt△ADC中根據勾股定理求出DC，再根據等積法求出DE．本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，△ABD是⊙O的內接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點，且∠DBC=∠A=60°，連接OE并延長與⊙O相交于點F，與BC相交于點C．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為6cm，求弦BD的長．【答案】(1)證明：連接OB，如圖所示：∵E是弦BD的中點，∴BE=DE，OE⊥BD，BF=∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切線；(2)解：∵OB=6，∠BOE=∠A=60°，BC⊥OB，∴∠C=30°，∴OC=2OB=12，BC=∵△OBC的面積=1∴BE=OB?BC∴BD=2BE=6即弦BD的長為63【解析】本題考查了切線的判定、垂徑定理的推論、圓周角定理、勾股定理、含30度直角三角形的性質、三角形面積的計算；熟練掌握垂徑定理的推論和圓周角定理是解決問題的關鍵．(1)連接OB，由垂徑定理的推論得出BE=DE，OE⊥BD，BF=12BD，由圓周角定理得出∠BOE=∠A，證出(2)由直角三角形的性質求出OC，由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長．三、與圓有關的陰影部分面積的計算題型05與圓有關的陰影部分面積的計算【解題策略】1．解答本考點的有關題目，關鍵在于掌握扇形的面積公式同時注意以下要點：（1）切線的性質和判定；（2）求不規則的圖形（陰影部分）的面積，可以設法轉化成幾個規則的圖形的面積的和或者差來求.2．計算扇形面積的有關要點（1）求扇形陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積.（2）求扇形陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法.（3）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長.注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個概念.3．方法解讀：（1）和差法：所求面積的圖形是一個不規則圖形，可將其轉化變成多個規則圖形面積的和或差，進行求解.①直接和差法：S陰影=S△AOB-S扇形CODS陰影=S半圓AB-S△AOBS陰影=S△ACB-S扇形CADS陰影=S扇形BAD-S半圓ABS陰影=S扇形EAF-S△ADE②構造和差法：S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD（2）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時,可通過旋轉、平移、割補等方法,對圖形進行轉化,為利用公式法或和差法創造條件,從而求解.①全等法S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法S陰影=S扇形COD【典例分析】【例1】（2023·山東模擬）如圖，四邊形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，連接BD，以點B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點E．(1)試判斷CD與⊙B的位置關系，并說明理由；(2)若AB=23，∠BCD=60°【答案】解：(1)過點B作BF⊥CD，垂足為F，∵AD/?/BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB．在△ABD和△FBD中，∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFD∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF=BA，則點F在圓B上，∴CD與⊙B相切；(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=2∴AD=DF=AB·tan30°=2，∴陰影部分的面積===23【解析】(1)過點B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；(2)先證明△BCD是等邊三角形，根據三線合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，扇形面積，三角函數的定義，題目的綜合性較強，難度不小，解題的關鍵是正確作出輔助線．【例2】（2023·廣東模擬）如圖所示，CE是⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，∠DCE=12∠A，延長AD交CE的延長線于點B，連接CD.(1)求證：AD為⊙O的切線；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明：如圖，連接OD．∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠DOB=2∠DCE，∵∠DCE=12∠A∴∠A=∠DOB，∵AC為⊙O的切線，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥AB，∵OD是半徑，∴AD為⊙O的切線；(2)解：∵BE=OE=6，∴OB=2OD，∵∠ODB=90°，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴BD=∵AB，AC是⊙O的切線，∴AD=AC，∴△ADC是等邊三角形，∵∠A+∠DOC=180°，∴∠DOC=120°，∵∠ACD=60°，∠ACB=90°，∴∠DCB=∠B=30°，∴CD=DB=6∴S陰【解析】本題主要考查切線的性質和判定及扇形的計算，掌握切線問題中的兩種輔助線的作法及扇形的面積公式是解題的關鍵．(1)連接OD，證明OD⊥AB，即可得出結論；(2)證明△ADC是等邊三角形，求出DB=CD=63，再根據【變式演練】1.（2023·安徽模擬）如圖，AB為圓O的直徑，C，E為圓O上的兩點，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．(1)求證：CD為圓O的切線；(2)若AD?OA=1.5，AC=33【答案】(1)證明：如圖，連接OC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC/?/AD，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；(2)解：∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD=CF，∵AC=AC，∴Rt△ADC≌Rt△AFC(HL)，∴AD=AF，∵AD?OA=1.5，即AF?OA=1.5，∴OF=1.5，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AFC=90°，∴∠ACB=∠AFC=90°，又∵∠CAF=∠BAC，∴△AFC∽△ACB，∴AC即AC設半徑為x，則AB=2x，AF=x+1.5，AC=3∴(3解得x=3或x=?4.5<0(舍去)，∴AB=2x=6，在Rt△ABC中，AC=33，∴cos∴∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，CF=3∴==3π2【解析】【分析】(1)根據等腰三角形的性質，角平分線的定義得出∠DAC=∠OCA，進而得出OC//AD，再根據平行線的性質得出OC⊥CD即可；(2)根據相似三角形的判定和性質，求出⊙O的半徑，進而求出圓心角∠BOC的度數，由S陰影部分本題考查切線的性質，圓周角定理，角平分線，扇形面積的計算以及相似三角形的判定和性質，掌握切線的性質，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質是正確解答的前提，求出圓的半徑以及相應的圓心角度數是正確求出陰影部分面積的關鍵．2.（2023·遼寧模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O與BC，AC分別相切于點E，F，BO平分∠ABC，連接OA．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若BE=AC=3，⊙O的半徑是1，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明：連接OE，OF，過點O作OD⊥AB于點D，∵BO是∠ABC的平分線，∴OD=OE，OD是圓的一條半徑，∴AB是⊙O的切線；(2)∵BC、AC與圓分別相切于點E、點F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四邊形OECF是正方形，∴OE=OF=EC=FC=1，∴BC=BE+EC=4，又AC=3，∴S陰影==5∴圖中陰影部分的面積是：52?【解析】本題考察了圓切線的判定以及圖形面積之間的轉化，不規則圖形面積的算法一般將它轉化為若干個基本規則圖形的組合，分析整體與部分的和差關系．(1)有切點則連圓心，證明垂直關系；無切點則作垂線，證明等于半徑；(2)將不規則圖形轉化為規則圖形間的換算．3.（2023·湖北模擬）如圖，PA是⊙O的切線，A是切點，AC是⊙O的直徑，點B是⊙O的上一點，且OP//BC，OP交⊙O于點D．(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)若AC=OP=4，求陰影部分的面積．【答案】解：(1)連接OB，∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90∵OP//BC，∴∠AOP=∠C，∠POB=∠OBC，∵OC=OB，∴∠C=∠OBC∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，{∴△AOP≌△BOP(SAS)，∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切線;(2)∵AC=OP=4∴OA=2∴cos∠AOP=∴∠AOP=60°∴∠AOB=120°，∴S【解析】本題考查了切線的判定和性質、銳角三角函數，全等三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、扇形面積的計算等知識；熟練掌握切線的判定和割補法是解題的關鍵．(1)連接OB，根據切線的性質得出∠OAP=90°，根據平行線的性質和等腰三角形的性質得出∠AOP=∠BOP，證△AOP≌△BOP，即可解答；(2)根據銳角三角函數得出∠AOP，再根據割補法求出陰影部分的面積．1.（2023·湖北）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，AD垂直于過點C的直線，交⊙O于點E，垂足為點D，AC平分∠BAD．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若AC=8，BC=6，求DE的長．【答案】(1)證明：連接OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵AC平分∠BAD，

∴∠OAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC/?/AD．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD．

∵OC為⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

(2)解：連接BE，交OC于點F，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AD⊥CD，OC⊥CD，

∴四邊形EFCD為矩形，

∴EF=CD，ED=CF，OF⊥BE，

∴EF=BF．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AB=AC2+CB2=10．

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴ACAB=CDCB=ADAC，

∴810=CD6【解析】(1)連接OC，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等，等腰三角形的判定與性質，平行線的判定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)連接BE，交OC于點F，利用圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質和垂徑定理解答即可得出結論．

本題主要考查了圓的有關性質，圓的切線的判定，圓周角定理，平行線的判定與性質，直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．2.（2023·湖南）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點.在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD=∠A．

(1)求證：直線CD是⊙O的切線；

(2)若∠ACD=120°，CD=23，求圖中陰影部分的面積(結果用含π的式子表示)．【答案】(1)證明：連接OC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OA=OC，∠BCD=∠A，

∴∠OCA=∠A=∠BCD，

∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半徑，

∴直線CD是⊙O的切線．

(2)解：∵∠ACD=120°，∠ACB=90°，

∴∠A=∠BCD=120°?90°=30°，

∴∠DOC=2∠A=60°，

在Rt△OCD中，tan∠DOC=CDOC=tan60°，CD=23，

∴23OC【解析】(1)連接OC，由AB是直徑，可得∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，再證∠OCA=∠A=∠BCD，從而有∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，即可證明．

(2)由圓周角定理求得∠DOC=2∠A=60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC=2，然后利用三角形的面積公式和扇形的面積公式即可解答．

本題主要考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質是解題關鍵．3.（2023·浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交OA于點E，連結OB．

(1)求證：BD=BC．

(2)已知OC=1，∠A=30°，求AB的長．【答案】(1)證明

如圖，連結OD，

∵半圓O與AB相切于點D，

∴OD⊥AB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ODB=∠OCB=90°，

在Rt△ODB和Rt△OCB中，

OB=OB,OD=OC,

∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)，

∴BD=BC；

(2)解

如圖，∵∠A=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

∵Rt△ODB≌Rt△OCB，

∴∠CBO=∠DBO=12∠ABC=30°，

在Rt△OBC中，

∵OC=1，

∴BC=OCtan30°=【解析】(1)根據切線性質得到∠ODB=∠OCB=90°，再根據HL證明Rt△ODB≌Rt△OCB，從而得到結論；

(2)分別在Rt△OBC中，利用三角函數求出BC的長，和在Rt△ABC中，利用三角函數求出即可求出AB的長．

本題考查圓的切線性質，全等三角形判定和性質，解直角三角形，熟悉相關圖形的性質是解題的關鍵．4.（2023·四川）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點F，點P是CD延長線上一點，DE⊥AP，垂足為點E，∠EAD=∠FAD．

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半徑和DE的長．【答案】(1)證明：連接OA，如圖：

∵AB⊥CD，

∴∠AFD=90°，

∴∠FAD+∠ADF=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADF，

∴∠FAD+∠OAD=90°，

∵∠EAD=∠FAD，

∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，

∴OA⊥AE，

∵OA是⊙O半徑，

∴AE是⊙O的切線；

(2)解：連接AC，AO，如圖：

∵CD為⊙O直徑，

∴∠CAD=90°，

∴∠C+∠ADC=90°，

∵∠FAD+∠ADC=90°，

∴∠C=∠FAD，

∵∠EAD=∠FAD，

∴∠C=∠EAD，

∵∠P=∠P，

∴△ADP∽△CAP，

∴APCP=PDAP，

∵PA=4，PD=2，

∴4CP=24，

解得CP=8，

∴CD=CP?PD=8?2=6，

∴⊙O的半徑為3；

∴OA=3=OD，

∴OP=OD+PD=5，

∵∠OAP=90°=∠DEP，∠P=∠P，

∴△OAP∽△DEP，

∴DEOA=PDOP，即DE3【解析】(1)連接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF=90°，故∠FAD+∠OAD=90°，根據∠EAD=∠FAD，得∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，OA⊥AE，從而可得AE是⊙O的切線；

(2)連接AC，AO，證明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP=8，故CD=CP?PD=6，⊙O的半徑為3；再證△OAP∽△DEP，得DE35.（2023·江蘇）如圖，等腰三角形OAB的頂角∠AOB=120°，⊙O和底邊AB相切于點C，并與兩腰OA，OB分別相交于D，E兩點，連接CD，CE．

(1)求證：四邊形ODCE是菱形；

(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明：連接OC，

∵⊙O和底邊AB相切于點C，

∴OC⊥AB，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60°，

∵OD=OC，OC=OE，

∴△ODC和△OCE都是等邊三角形，

∴OD=OC=DC，OC=OE=CE，

∴OD=CD=CE=OE，

∴四邊形ODCE是菱形；

(2)解：連接DE交OC于點F，

∵四邊形ODCE是菱形，

∴OF=12OC=1，DE=2DF，∠OFD=90°，

在Rt△ODF中，OD=2，

∴DF=OD2?OF2=22?12=3，

∴DE=2DF=23，

∴圖中陰影部分的面積【解析】(1)連接OC，根據切線的性質可得OC⊥AB，然后利用等腰三角形的三線合一性質可得∠AOC=∠BOC=60°，從而可得△ODC和△OCE都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質可得OD=CD=CE=OE，即可解答；

(2)連接DE交OC于點F，利用菱形的性質可得OF=1，DE=2DF，∠OFD=90°，然后在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的長，從而求出DE的長，最后根據圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積?菱形ODCE的面積，進行計算即可解答．

本題考查了切線的性質，扇形面積的計算，等腰三角形的性質，菱形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．6.（2023·四川）如圖，以△ABC的邊AC為直徑作⊙O，交BC邊于點D，過點C作CE/?/AB交⊙O于點E，連接AD，DE，∠B=∠ADE．

(1)求證：AC=BC；

(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的長．【答案】(1)證明：∵∠ADE=∠ACE，∠ADE=∠B，

∴∠B=∠ACE，

∵CE/?/AB，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠B=∠BAC，

∴AC=BC；

(2)解：如圖，連接AE，

∵∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，

∴△ADE∽