PAGEPAGE22第四章數列B卷培優提能過關卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知等差數列且，則數列的前13項之和為（）A．26 B．39 C．104 D．522．已知數列滿意，且.若，則正整數（）A．24 B．23 C．22 D．213．“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最終一個音的頻率是最初那個音的2倍.設第8個音的頻率為，則頻率為的音是（）A．第3個音 B．第4個音C．第5個音 D．第6個音4．我國明代聞名樂律學家、明宗室王子朱載堉在《律學新說》中提出的十二平均律，即是現代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個鍵到下一個鍵的8個白鍵與5個黑鍵（如圖）的音頻恰成一個公比為的等比數列的原理，也即高音的頻率正好是中音的2倍.已知#的頻率為，的頻率為，則（）A． B． C． D．5．已知正項數列滿意，是的前項和，且，則（）A． B．C． D．6．已知是上的奇函數，，，則數列的一個通項公式為（）．A． B． C． D．7．已知數列滿意，，則（）A． B． C．35 D．8．已知正項數列滿意，，則（）A．對隨意的，都有 B．對隨意的，都有C．存在，使得 D．對隨意的，都有二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．下列說法正確的是（）A．若為等差數列，為其前項和，則，，，…仍為等差數列B．若為等比數列，為其前項和，則，，，仍為等比數列C．若為等差數列，，，則前項和有最大值D．若數列滿意，則10．已知數列的前項和為，且，（，為常數），則下列結論正確的有（）A．肯定是等比數列 B．當時，C．當時， D．11．已知正項數列的前項和為，若對于隨意的，，都有，則下列結論正確的是（）A．B．C．若該數列的前三項依次為，，，則D．數列為遞減的等差數列12．已知數列：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，記為數列的前項和，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．設數列的前項和為，.若，則________.14．在一個有限數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的等差中項，從而形成一個新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次擴充．如數列，，擴充一次后得到，，，擴充兩次后得到，，，，，以此類推．設數列，，（為常數），擴充次后所得全部項的和記為，則______________．15．在數列中，．則數列的前20項之和為______．16．已知正項數列中，，，，，數列的前n項和為，則的值是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知數列滿意.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.18．已知數列的前項和為，點在直線上，數列滿意：且，前11項和為154（1）求數列，的通項公式（2）令，數列前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值．19．已知數列各項都是正數，，對隨意都有．數列滿意，．（1）求證：是等比數列，是等差數列；（2）設，對隨意，都有恒成立，求實數的取值范圍．20．在數列中，已知，．（1）證明：數列為等比數列；（2）是否存在正整數m、n、k，且，使得、、成等差數列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，請說明理由．21．已知數列的前項和為，，，公比為2的等比數列的前項和為，并且滿意．（Ⅰ）求數列，的通項公式；（Ⅱ）已知，規定，若存在使不等式成立，求實數的取值范圍．22．已知數列滿意．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知等差數列且，則數列的前13項之和為（）A．26 B．39 C．104 D．52【答案】A【解析】由等差數列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數列的前13項之和為，故選：A2．已知數列滿意，且.若，則正整數（）A．24 B．23 C．22 D．21【答案】B【解析】解：由，得，所以數列為首項，公差的等差數列，所以.由，得，.令得，所以，，所以，故選：B.3．“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最終一個音的頻率是最初那個音的2倍.設第8個音的頻率為，則頻率為的音是（）A．第3個音 B．第4個音C．第5個音 D．第6個音【答案】C【解析】由題意知，這13個音的頻率構成等比數列，設這13個音的頻率分別是，，…，，公比為，則，得，所以，令，解得.故選:C.4．我國明代聞名樂律學家、明宗室王子朱載堉在《律學新說》中提出的十二平均律，即是現代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個鍵到下一個鍵的8個白鍵與5個黑鍵（如圖）的音頻恰成一個公比為的等比數列的原理，也即高音的頻率正好是中音的2倍.已知#的頻率為，的頻率為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知從左到右的音頻恰成一個公比為的等比數列，由等比數列性質知，所以，故選：D.5．已知正項數列滿意，是的前項和，且，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得，，兩式相減得，所以，所以，所以，因為數列是正項數列，所以，所以，所以，所以數列是一個以為首項，以為公差的等差數列.令得，解之得，所以.故選：A6．已知是上的奇函數，，，則數列的一個通項公式為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由題已知是上的奇函數，故，代入得：，∴函數關于點對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選：A．7．已知數列滿意，，則（）A． B． C．35 D．【答案】A【解析】因為，所以，因此，同理，，，則，因此，，，，其中，則，則故選：A8．已知正項數列滿意，，則（）A．對隨意的，都有 B．對隨意的，都有C．存在，使得 D．對隨意的，都有【答案】D【解析】解：∵，∴可取，則由得，∴，故選項A，B錯誤；令，則，故在上單調遞增，在上單調遞減，∴，即，當且僅當時等號成立，∴，即，∴，累乘可得，∴，故選項C錯誤，選項D正確．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．下列說法正確的是（）A．若為等差數列，為其前項和，則，，，…仍為等差數列B．若為等比數列，為其前項和，則，，，仍為等比數列C．若為等差數列，，，則前項和有最大值D．若數列滿意，則【答案】ACD【解析】對于A中，設數列的公差為，因為，，，，可得，所以，，，構成等差數列，故A正確；對于B中，設數列的公比為，當時，取，此時，此時不成等比數列，故B錯誤；對于C中，當，時，等差數列為遞減數列，此時全部正數項的和為的最大值，故C正確；對于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因為，所以，可得，所以，故D正確.故選：ACD10．已知數列的前項和為，且，（，為常數），則下列結論正確的有（）A．肯定是等比數列 B．當時，C．當時， D．【答案】BC【解析】由，得，，故，則，當時，有，則，即，故當時，數列為首項為，公比為的等比數列；當時不是等比數列，故A錯誤；當時，，故B正確；當時，，則，故C正確；當時，，而，故，則D錯誤；故選：BC.11．已知正項數列的前項和為，若對于隨意的，，都有，則下列結論正確的是（）A．B．C．若該數列的前三項依次為，，，則D．數列為遞減的等差數列【答案】AC【解析】令，則，因為，所以為等差數列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；依據等差數列的性質，可得，所以，，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數列，故D錯誤.故選：AC.12．已知數列：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，記為數列的前項和，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，，…，，可得，故C正確；對D，該數列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．設數列的前項和為，.若，則________.【答案】【解析】當時，，解得：；當時，，即，數列是以為首項，為公比的等比數列，，；經檢驗：時，滿意；綜上所述：，，解得：.故答案為：.14．在一個有限數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的等差中項，從而形成一個新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次擴充．如數列，，擴充一次后得到，，，擴充兩次后得到，，，，，以此類推．設數列，，（為常數），擴充次后所得全部項的和記為，則______________．【答案】【解析】擴充次后所得數列為，因此從到是等差數列，項數為，且中間項為；從到也是等差數列，項數為，且中間項為；依據等差數列的性質可得.故答案為：15．在數列中，．則數列的前20項之和為______．【答案】210【解析】因為，所以有：由此可得出：，所以從第一項起，依次相鄰兩奇數項的和為2，從其次項起，依次相鄰兩偶數項的和組成以8為首項，16為公差的等差數列，所以數列的前20項之和為：，故答案為：21016．已知正項數列中，，，，，數列的前n項和為，則的值是________．【答案】3【解析】解：因為，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，所以，所以，所以，所以數列的前n項和，則．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知數列滿意.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，當時，可得，兩式相減求得，又由時，，符合上式，即可求解；（2）由，得到，結合裂項法求和，即可求解.（1）解：由題意，數列滿意，當時，可得，兩式相減，可得，所以，又由當時，，符合上式，所以數列的通項公式為.（2）解：由，則，所以，所以.18．已知數列的前項和為，點在直線上，數列滿意：且，前11項和為154（1）求數列，的通項公式（2）令，數列前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值．【答案】（1），，，；（2）12．【解析】解：（1）由題意，得，即，故當時，，∵時，，當時，，∴，，又，∴為等差數列，∴，∵，∴，∴，∴，即，．（2）∴，∵，∴單調遞增，故，令，得，∴．∴使不等式對一切都成立的最大正整數的值為12．19．已知數列各項都是正數，，對隨意都有．數列滿意，．（1）求證：是等比數列，是等差數列；（2）設，對隨意，都有恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：因為，所以時，，兩式相減得：，即，又（），所以，又，，（因為），所以，即，，，所以是等比數列．，，設，則由得，所以，又，所以，所以，為等差數列．（2）由（1），，，對隨意，都有恒成立，則恒成立，，是遞增數列，為奇數時，，，為偶數時，，，，綜上．20．在數列中，已知，．（1）證明：數列為等比數列；（2）是否存在正整數m、n、k，且，使得、、成等差數列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）證明：由，得，從而，∴，又，故數列為等比數列；（2）由（1）可得，，則，假設存在正整數m、n、滿意題意，則，即，則兩邊同除以得，（*）由得，，；所以為奇數，而與均為偶數，故（*）式不能成立；即不存在正整數m、n、k，且，使得、、成等差數列．21．已知數列的前項和為，，，公比為2的