17.3勾股定理第十七章特殊三角形逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2勾股定理勾股定理的驗證勾股定理的應用勾股定理的逆定理知1－講感悟新知知識點勾股定理11.如圖17-3-1，我國古代把直角三角形較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.因此，直角三角形三邊之間的關系稱為勾股定理.感悟新知知1－講特別提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形的三邊的平方關系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.運用勾股定理時，若未確定哪條邊是斜邊，則要分類討論，寫出所有可能，以免漏解或錯解.感悟新知

知1－講知1－練感悟新知在Rt△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的對邊分別為a，b，c，∠C=90°.(1)已知a=3，b=4，求c；(2)已知c=19，a=13，求b；(結果保留根號)(3)已知a∶b=1∶2，c=5，求b.(結果保留根號)例1解題秘方：緊扣勾股定理的特征解答.知1－練感悟新知

(1)已知a=3，b=4，求c；(2)已知c=19，a=13，求b；(結果保留根號)知1－練感悟新知

(3)已知a∶b=1∶2，c=5，求b.(結果保留根號)知1－練感悟新知1-1.

[期末·承德]如圖，在4×1的網格中，每個正方形的邊長為1，長為5的線段是(

)

A.OA

B.OBC.OC

D.ODB知1－練感悟新知1-2.

[期末·保定蓮池區]已知一直角三角形的木板，三邊的平方和為1800，則斜邊長為(

)A.10B.20C.30D.40C知2－講知識點勾股定理的驗證21.常用證法驗證勾股定理的方法很多，有測量法、幾何證明法(以后將學到)，但最常用的是拼圖法，即通過拼圖構造特殊圖形，并根據拼圖中各部分面積之間的關系來驗證.知2－講2.著名證法舉例方法圖形說明趙爽“趙爽弦圖”知2－講續表方法圖形說明劉徽“青朱出入圖”設大正方形的面積為S，則S=c2.根據“出入相補，以盈補虛”的原理，有S=a2＋b2，所以a2＋b2＝c2知2－講續表方法圖形說明加菲爾德總統拼圖知2－講續表方法圖形說明畢達哥拉斯拼圖感悟新知知2－講3.一般三角形中的三邊關系(拓展)在方格中，利用數格子計算面積的方法可得到以下結論：(1)

在鈍角三角形中，若三邊長分別為a，b，c(c

為最大邊長)，則a2＋b2<c2；(2)

在銳角三角形中，若三邊長分別為a，b，c(c

為最大邊長)，則a2＋b2>c2.知2－講感悟新知特別提醒用拼圖法證明勾股定理的思路：(1)將圖形進行割補拼接形成特殊圖形，注意割補拼接時圖形之間沒有重疊、沒有空隙；(2)根據同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)

利用等式性質驗證結論成立，即拼出圖形→寫出表示圖形面積的式子→找出等量關系→恒等變形→推導結論.通過拼圖法，利用求面積來驗證結論，這種方法是以數形轉換為指導思想，以圖形拼補為手段，以各部分面積之間的關系為依據而達到目的的.感悟新知知2－練一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發人們發現了驗證直角三角形三邊關系的一種新方法.如圖17-3-2所示，火柴盒的一個側面ABCD

倒下后到四邊形AB′C′D′的位置，連接AC，AC

′，CC′，設AB=a，BC=b，AC=c.請利用四邊形BCC′D′的面積證明a2＋b2＝c2.例2

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“總體面積等于各部分面積之和”進行證明.

知2－練感悟新知

整個圖形的面積等于不重疊、無空隙的各組成部分的面積的和.知2－練感悟新知

B感悟新知知3－講知識點勾股定理的應用31.勾股定理的應用范圍??勾股定理是直角三角形的一個重要性質，它把直角三角形有一個直角的“形”的特點轉化為三邊“數”的關系.利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關的計算和證明問題，還可以解決生活、生產中的一些實際問題.感悟新知知3－講2.勾股定理的應用的常見類型(1)已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；(2)已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關系；(3)證明包含平方(算術平方根)關系的幾何問題；(4)求解幾何體表面上的最短路程問題；(5)

構造方程(或方程組)計算有關線段長度，解決生產、生活中的實際問題.知3－講感悟新知解題策略運用勾股定理解決實際問題的一般步驟：(1)從實際問題中抽象出幾何圖形.(2)確定要求的線段所在的直角三角形.(3)找準直角邊和斜邊，根據勾股定理建立等量關系并列出等式.(4)求得結果.知3－練感悟新知消防云梯(如圖17-3-3①)的作用主要是用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層建筑的火災現場，如圖17-3-3②，已知云梯最多只能伸長到50m(即AA′=BB′=50m)，消防車高3.4m，例3知3－練感悟新知救人時云梯伸長至最長，在完成從33.4m(即A′M=33.4m)高的A′處救人后，還要從51.4m(即B′M=51.4m)高的B′處救人，這時消防車從A

處向著火的樓房靠近的距離AB

為多少米？知3－練感悟新知思路導引：勾股定理求消防車從A

處向著火的樓房靠近的距離AB

AB=AD

－BD

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

B知3－練感悟新知

例4

知3－練感悟新知解題秘方：本題主要考查勾股定理，利用勾股定理建立等量關系，進行巧妙轉換是解題的關鍵.知3－練感悟新知

答案：D知3－練感悟新知4-1.

[中考·隨州]如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D

為AC上一點，若BD是∠ABC的平分線，則AD=________.5感悟新知知4－講知識點勾股定理的逆定理41.勾股定理的逆定理??如果三角形的三邊a，b，c

滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.c為斜邊.也可以寫成a2=b2+c2(a為斜邊)或b2=a2+c2(

b為斜邊)

.感悟新知知4－講2.利用邊的關系判定直角三角形的步驟?(1)“找”：找出三角形三邊中的最長邊.(2)“算”：計算較短兩邊的平方和與最長邊的平方.(3)“判”：若兩者相等，則這個三角形是直角三角形；否則不是.感悟新知知4－講3.勾股數(拓展)(1)

定義：如果三個正整數能作為直角三角形的三邊長，那么這三個正整數叫做勾股數.(2)

判斷三個數是否為勾股數的步驟：①確定三個數是否為正整數；②找出最大數；③計算最大數的平方是否等于較小的兩個數的平方和.特別需要注意的是勾股數必須是正整數.知4－講感悟新知特別提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個依據，在判定時不能說“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因為還沒有確定是直角三角形.2.拓展：在三角形中，若較短兩邊的平方和大于最長邊的平方，則這個三角形是銳角三角形；若較短兩邊的平方和小于最長邊的平方，則這個三角形是鈍角三角形.感悟新知知4－練

例5解題秘方：緊扣“勾股定理的逆定理”進行判斷.

知4－練感悟新知解：在△ABC中，∵AC

2+BC

2=122+162=202=AB

2，∴△ABC是直角三角形，且∠C為直角.

知4－練感悟新知方法點撥：判斷一個三角形是不是直角三角形的方法：(1)當已知條件與角度有關時，一般通過計算看該三角形中是否有兩個角互余或有一個角為直角來判斷；(2)當已知條件與邊有關時，一般通過計算看較短兩邊的平方和是否等于最長邊的平方來判斷.知4－練感悟新知5-1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C

的對邊分別是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是(

)A.∠B=∠C－∠AB.a2=(

b+c)(b

－c)C.∠A∶∠B∶∠C

=5∶4∶3D.a∶b∶c=5∶4∶3C感悟新知知4－練如圖17-3-5，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E

均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD

交于點F，若∠CFB=α

，則∠ABE等于()A．180°－αB．180°－2αC．90°+αD．90°+2α例6

知4－練感悟新知解題秘方：本題主要考查勾股定理的逆定理，準確作出輔助線是解題的關鍵.知4－練感悟新知解：如圖17-3-5，過點B

作BG∥CD，

BG=CD，連接EG.∵CD∥BG，∴∠ABG=∠CFB=α．∵BG

2=12+42=17，BE

2=12+42=17，EG

2=32+52=34，∴BG

2+BE

2=EG

2，∴△BEG

是直角三角形，且∠GBE=90°，∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.答案：C知4－練感悟新知6-1.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，四邊形ABCD

的四個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：(1)線段AC

的