數列的綜合問題-專項訓練【原卷版】

基礎鞏固練

1.已知等差數列｛%J的公差為2,若由摳2摳4成等比數列，則。2=（）.

A.-10B.-6C.4D.-4

2.[2024.河南聯考]已知數列｛冊｝滿足與=｛三言器廣/,，且數列｛冊｝是單調

遞增數列，貝股的取值范圍是（）.’‘

A.（|，Y）B.6+8）C.（5,+s）D.（1,4]

3.《算法統宗》是中國古代數學名著，在這部著作中，許多數學問題都是以歌

訣形式呈現的，《九兒問甲歌》就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不

知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推.在

這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數為（）.

A.11B.13C.14D.16

4.（改編）定義數列｛a陞+i-為數列｛冊｝的“差數列”.若的=2,｛斯｝的“差

數列”的第般項為2%則數列的前2024項和S2024=（）.

A.22024-1B,22024C,22°25D,22025-2

5.若｛冊｝是首項為正數、公比為q的等比數列,且前律項和為%,則“q22”是

“對任意的nGN*,都有％<斯+1”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知數列｛an｝滿足=%i+i-仁），且的=/，若即<j則n的最小值

為（）.

A.3B.4C.5D.6

7.（改編）設｛斯｝是公比為q的等比數列，首項的=占對于neN*,bn=logian,

642

當且僅當n=4時，數列｛扇｝的前律項和取得最大值，則q的取值范圍為（）.

A.（3,2A/3）B.（3,4）C.（2短4）D.（2V2,3V2）

8.已知等差數列｛a"與等比數列｛既｝的首項均為1,且公差dr1,公比q>0且

qH1,則集合｛n|an=%｝的元素最多有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

綜合提升練

9.（多選題）已知在數列｛冊｝中,<21=3,且點（a”a催+D在函數/（%）=/十%的

圖象上，則下列結論正確的是（）.

A.數列｛冊｝單調遞增B.-一一->1

2023

C.an>9n—6D.a2024>3x4

10.(多選題)設數列｛&J的前n項和為％,若“=算，則稱數列｛0｝是數列｛即｝

的“均值數列”.已知數列出仕是數列｛冊｝的“均值數列”，且2瓦+4為+8以+

n2

???+2bn=n+n+2,則下列結論正確的是().

AA.CLy=--23

/64

B.｛S。｝是遞減數列

C.若數列｛4｝的前n項和為〃，則6=5—蹈

D.若存在nCN*,使得Tn?一一S"W0成立，則TH的取值范圍是[一*3]

11.設立為公比qwl的等比數列｛即｝的前n項和，且3的,2a2/3成等差數列，則

也-

M--------------------1

12.已知數列｛冊｝的各項都是正數，成+i—an+1=an(nGN*).若數列｛斯｝單調

遞增，則首項內的取值范圍是

應用情境練

13.[2024.西安預測]已知在數列｛an｝中，斯=log(n+1)(n+2)(nGN*).定義：將

使數列｛冊｝的前k項的積為整數的數k(/cGN*)叫作期盼數.[1,2023]內的所有期

盼數的和等于

14.某地生態采摘園的沃柑產量為6500公斤，計劃不超過24天完成銷售.采摘園

種植的農產品一般有批發銷售和游客采摘零售兩大銷售渠道.根據往年數據統計,

從開園第1天到閉園，游客采摘量冊(單位:公斤)和開園的第“TieN*)天滿足

以下關系…=t-：2n+5o11"<n<24)批發銷售每天的銷售量為200

公斤，每公斤5元，采摘零售的價格是批獎銷售價格的4倍.

(1)當律取何值時，采摘零售當天的收入不低于批發銷售當天的收入？

(2)采摘零售的總采摘量是多少？農戶能否在24天內完成銷售計劃？

創新拓展練

15.在1和100之間插入律個實數，使得這(n+2)個數構成遞增的等比數列，若

將這n+2個數的乘積記作心,再令即=\gTn,n>1,則數列｛&J的通項公式為

16.[2024.青島模擬]記關于%的不等式％2-4nx+3n2<0(nGN*)的整數解的個

rl

數為an,數列也，的前n項和為田,滿足4垢=3+i-叫一2.

(1)求數列｛%｝的通項公式;

(2)設d=2%-a(-|),若對任意neN*,都有0<%+i成立，試求實數2

的取值范圍.

數列的綜合問題-專項訓練【解析版】

基礎鞏固練

1.已知等差數列｛a工的公差為2,若由處以4成等比數列，則。2=(C).

A.-10B.-6C.4D.-4

［解析］:數列是公差為2的等差數列，

**?—2,=Cl2+4,

???成等匕匕數

諼=ara4,即談=(a2—2)(a2+4),解得g=4.故選C.

2.［2024.河南聯考］已知數列｛冊｝滿足與=且數列5｝是單調

遞增數列，則t的取值范圍是(A).

A.(|，Y)B.6+8)C.(5,+8)D.(1,4］

［解析］由題意，可得

6(t-1)>-52+2-5t,解得］<t<?.故選A.

3.《算法統宗》是中國古代數學名著，在這部著作中，許多數學問題都是以歌

訣形式呈現的，《九兒問甲歌》就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不

知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推.在

這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數為(A).

A.11B.13C.14D.16

［解析］將該公公九個兒子的年齡按從大到小的順序排列，記這位公公的第n(n<

9,nGN*)個兒子的年齡為時,則數列｛冊｝為等差數列，公差d=-3,

S9=9(ai；a"=9a5=207,解得=23,

所以+4d=23-12=11.故選A.

4.(改編)定義數列｛a陞+i-為數列｛冊｝的“差數列”.若的=2,｛斯｝的“差

數列”的第般項為2%則數列的前2024項和S2024=(D).

A.22°24_1B.22°24C.22025D.22025一2

［解析］依題意得，。71+1-=2”,當71>2時，=%+（。2-%）+（?3一a2）+

???+（a-a_^=2+2+22+…+2吩1=2+2n。=n,且的=2滿足上

nn1—22

式，因此冊=2n(neN*),

所以S2024=21+22+-+22024=也上22。24）=22025_2.故選D.

1-2

5.若｛斯｝是首項為正數、公比為q的等比數列,且前n項和為%,則“q22”是

“對任意的neN*,都有%<與+1”的（C）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］依題意知的>0,q>0,若q=1,則即=的，Sn-nar,

此時不滿足對任意的nGN*,都有％<an+1,所以q豐1,則％=也已力

若對任意的幾eN*,都有九+1，則的=Si<的=%.q，所以q>l,

則S"<S九+i—Sn,即2s九<Sn+1,

所以誓言<當富），貝42（1—q"）>1—砂+i,即q"+i—2qn+1>0,所

1

以2—q<加？

依題意，對任意的neN*,2_q吟,

因為函數y=（3"（%>1）在［1,+8）上單調遞減，值域是（0$,

所以2—q40,解得q22,所以qE［2,+8）,

故"q>2”是"對任意的幾GN*,都有％<冊+1”的充要條件.故選C.

6.已知數列｛冊｝滿足gan=%i+i-G），且的=?，若即<g則九的最小值

為（B）.

A.3B.4C.5D.6

1Zd\?1+1

n+1

［解析］因為［斯=an+1-C），等式兩邊同時乘以2"+i可得2"即=2an+1-

1,

n

所以2"+1即+1-2an=1,且2al=1,

所以數列｛2。即｝是首項和公差都為1的等差數列，則2為陞=1+n—l=n,所

以“=eN*）,

匕二，、？n+1nn+l-2n1-n

所以3l+l_m=2我+1=即.

當九=1時，=a2=-；

當幾之2時，an+1<an,即數列｛冊｝從第二項開始遞減.

因為“$3=8->3一，仆=一4〈一3，

所以若冊<則n的最小值為4.故選B.

7.（改編）設｛斯｝是公比為q的等比數列，首項的=士,對于nEN*,bn-logi<2n,

642

當且僅當律=4時，數列初陞｝的前律項和取得最大值，貝叼的取值范圍為（C）.

A.（3,2V3）B.（3,4）C.（2隹4）D.（2V2,3V2）

［解析］???等比數列｛斯｝的公比為q,首項的=工,

64

\+1-%=logian+1-logian=log工哈=logiq,

2222

數列｛%｝是以logw為公差，log”］=6為首項的等差數列,

22

%=6+(n-l)logiq.

2

???當且僅當幾=4時，〃最大,

6+31ogiq>0,

.2

.?6+410g工q<0,

2

-2<logiq<一,即2/<q<4.故選C.

22

8.已知等差數列與等比數列出n｝的首項均為1,且公差dH1,公比q>0且

qH1,則集合｛用心=%｝的元素最多有（B）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

n

［解析］由題意知，。n=1+（n—l）d=dn+1—d,bn=qT,

由a葭=bn得1+（n—l）d-qn~r,顯然律=1為1個解.

當d>O,q>l時，點（幾即）在一條上升的直線上，

點（九泊瓦）在一條上升的指數曲線上，這兩條線最多有2個交點；

當d<O,O<q<l時，點（幾斯）在一條下降的直線上，

點（72,5陞）在一條下降的指數曲線上，這兩條線最多有2個交點；

當dW0,q>1或d>0,0<q<1時，直線與曲線只有1個交點.

因此集合｛詞即=%｝的元素最多有2個.故選B.

綜合提升練

9.（多選題）已知在數列｛an｝中,的=3,且點（a”an+i）在函數/（%）=，十%的

圖象上，則下列結論正確的是（ACD）.

A.數列｛冊｝單調遞增B.-一一->1

anan+l

2023

C.an>9n—6D.a2024>3x4

［解析］由題意可知%i+i=a^+an,所以冊+i—an=a^>0,所以％^+i>an,

當a九+i=a九時，=0與=3矛盾，所以@九+1。Q九，則。?1+1>。九，

所以數列單調遞增，A正確；

11

又a九+1—cin=嫌<所以--------<1,B錯誤；

anan+l

由上可知與+i-an-a^>9,

冊—(an~an-l)+(an-l—an-2)H----H(^2—al)+al—an-l+an-2+--1-

a1+a1>9(n-1)+3=9n—6,

所以。力29n-6(TieN*),C正確；

由上可知即23,則皿=即+1之4（當且僅當n=1時取等號），

an

當九22時，。“二2-%1?….>471-1-3,所以。2024>3X42023,D正

%1-1味2

確.故選ACD.

10.（多選題）設數列｛冊｝的前幾項和為％,若“=子，則稱數列｛%｝是數列｛即｝

的“均值數列”.已知數列出兀｝是數列｛an｝的“均值數列”，且2瓦+4%+8以+

n2

?-?+2bn=n+n+2,則下列結論正確的是（ACD）.

A23

A.CLy=---

/64

B.｛S0｝是遞減數列

C.若數列｛4｝的前n項和為〃，則6=5—據

D.若存在ZlCN*,使得TH?一一S"W0成立，則TH的取值范圍是［一*3］

［解析］當律=1時，2瓦=1.2+1+2,解得瓦=2,

n2

因為2bl+4b2+8b3+—卜2bn=n+n+2,?

n1

所以當n>2時，2bl+4b2+8b3+—F2~bn_1=（n—I。+n+1,②

由①一②得2%=2n,即“二零二一、，

■\

取n—1,瓦==1H2,此式不滿足瓦，

2,n=1,

故數列｛4J的通項公式為垢=

<（2,n-1,

由題意可得包=牖，則5陞=/

n［布，g2，

因為=Sn—Sn_x（n>2）,

所以。7=S7-56=墨一||=-II,故A正確.

因為SI=S2=2,所以｛S"不是遞減數列，故B錯誤.

2,n=1,

因為，j=號，北2,

當=1時，A=瓦=2,

所以當心2時，〃=2+|+卷+…+號,

2

缶「,IT4--3n-1n

所以=1+9+/+???+布+齊，

所以牌=2+5+專+素+...+/一合=2+表x（l次=|-穿，即

1號

Tn+2

Tn=c5一百

取n=l,A=5-券=2,此式滿足A，

所以數列｛4｝的前律項和的=5—黑>故C正確.

2

當n23時，Sn^^,

（71+1）2

所以s九+i

2n

所以％+1_S”=哦_總=f2；/+1<0,即Sn+i<Sn，

所以數列｛S"從第3項開始是單調遞減數列.

g

當幾=3時，S=

J34

所以Si=S2=2<S3=￡

則由數列｛S"｝的單調性可知％<

4

因為存在rieN*,使得Tn?—^m—Sn<0成立,

所以血2—'7n-'<0,gp(m—3)(m+<0,解得—1<7n<3,故D正確.故

選ACD.

11.設立為公比qWl的等比數列｛冊｝的前幾項和，且3%,2a2,%成等差數列，則

也=10.

$2-

［解析］由題意知，3al+%=2?2%，即3%+Qiq2=4的］,即3+q?=4q,解

得q=1(舍去)或q=3,&=叫。手=

"1Szai(l+Q)1()

12.已知數列｛冊｝的各項都是正數，W+1—an+1=an(nEN*).若數列｛冊｝單調

遞增，則首項的的取值范圍是@2工

［解析］由題意知，正數數列｛冊｝是遞增數列，且成+i-an+1=an(nGN*),

???an—an+1=磷+1-2an+1<0,解得與+iG(0,2),；.a2G(0,2),

1

?,?%=7_gW［—>2),

q

v%>0,???0<的<2.

應用情境練

13.［2024?西安預測］已知在數列｛冊｝中，斯=1咤（陞+1）5+2）（neN*）.定義：將

使數列的前k項的積為整數的數做左GN*）叫作期盼數.［1,2023］內的所有期

盼數的和等于2026.

［解析］因為斯=logn+1(n+2)(nGN*),

j匕,、11cl?1八.In31n4ln(/c+2)

所以的.

a2.........ak=log23-log34..........log^^k+2)=—?—..............+1)

ln(fc+2)

In2

設「=1^^2,則k+2=2、

In2

所以/c+2為2的整數次幕，

因為1<k<2023,

所以3<k+2<2025,

故滿足條件的k+2=4,8,16,32,64,128,256,512,1024,

故［1,2023］內的所有期盼數的和為4—2+8—2+16—2+32—2+64-2+

128-2+256-2+512-2+1024-2=—2x9=2026.

1-2

14.某地生態采摘園的沃柑產量為6500公斤，計劃不超過24天完成銷售.采摘園

種植的農產品一般有批發銷售和游客采摘零售兩大銷售渠道.根據往年數據統計,

從開園第1天到閉園，游客采摘量即（單位:公斤）和開園的第n（neN*）天滿足

綺廿淄。建工）批發銷售每天的銷售量為200

以下關系：冊=224

公斤，每公斤5元，采摘零售的價格是批發銷售價格的4倍.

（1）當律取何值時，采摘零售當天的收入不低于批發銷售當天的收入？

（2）采摘零售的總采摘量是多少？農戶能否在24天內完成銷售計劃？

［解析］（1）由已知得，當1WnW16時，（5n+20）x5x42200x5,解得6W

n<16.

當17WnW24時，（2245-2n+50）x5x4>200x5,解得17<n<18,

所以當6WriW18（nGN*）時，采摘零售當天的收入不低于批發銷售當天的收入.

（2）不能.當1<n<16時，｛冊｝為等差數列，記這些項的和為S16,%=25,%6=

（）

100,S16=16。丁16=1000

當17wn￡24時,記數列｛即｝這些項的和為丁8，

76

r8=(2-2x17+50)+(2-2x18+50)+???+(2°-2x24+50)=

(27+26+…+2°)-2x(17+18+…+24)+50x8=之?口卞)1-2x

i-5

8X(：+24)+400=255-328+400=327,

S16+T8=1327,即采摘零售的總采摘量是1327公斤