第第頁專題5.7三角函數的應用（重難點題型精講）1．函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中各量的物理意義在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的常數有關.2．三角函數的簡單應用(1)三角函數應用的步驟(2)三角函數的常見應用類型

①三角函數在物體簡諧運動問題中的應用.

物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數來模擬這種運動狀態.

②三角函數在幾何、實際生活中的圓周運動問題中的應用.

物體的旋轉顯然具有周期性，因此也可以用三角函數來模擬這種運動狀態.

③三角函數在生活中的周期性變化問題中的應用.

大海中的潮汐現象、日常生活中的氣溫變化、季節更替等都具有周期性，因此常用三角函數模型來解決這些問題.【題型1三角函數在物體簡諧運動問題中的應用】【方法點撥】物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數來模擬這種運動狀態.【例1】如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象，則下列判斷錯誤的是（

）A．該彈簧振子的振幅為2cmB．該彈簧振子的振動周期為1.6sC．該彈簧振子在0.2s和1.0s時振動速度最大D．該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零【變式1-1】在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數關系式為（

）A．x=32sinC．x=32sin【變式1-2】如圖為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是A．該質點的振動周期為0.7sB．該質點的振幅為C．該質點在0.1s和0.5s時的振動速度最大D．該質點在0.3s和【變式1-3】我們來看一個簡諧運動的實驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成一個簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況．如圖所示．已知一根長為Lcm的線一端固定，另一端懸掛一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是s=2cosgLt，其中g≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【題型2三角函數在圓周運動問題中的應用】【方法點撥】這類題一般明確地指出了周期現象滿足的變化規律，例如，周期現象可用形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的函數來刻畫，只需根據已知條件確定參數，求解函數解析式，再將題目涉及的具體的數值代入計算即可.【例2】一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現時（圖中點P0）開始計時，則點P距離水面的高度h（米）與tA．?=2sinπ30C．?=2sinπ30【變式2-1】筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動4圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.設盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m），則點P第一次到達最高點需要的時間為（

）sA．2 B．3 C．5 D．10【變式2-2】石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內首創的橫梁中軸結構，風格現代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑88米，總高約100米，勻速旋轉一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發現，他們兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【變式2-3】如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周需要30min.游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，則在轉動一周的過程中，高度H關于時間t的函數解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=?55D．H=?55【題型3三角函數在生活中的周期性變化問題中的應用】【方法點撥】大海中的潮汐現象、日常生活中的氣溫變化、季節更替等都具有周期性，因此常用三角函數模型來解決這些問題.【例3】如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【變式3-1】夏季來臨，人們注意避暑．如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數y=Asinωx+φ+B，則該市這一天中午12A．25°C B．26°C C．【變式3-2】某市一年12個月的月平均氣溫y與月份x的關系可近似地用函數y=a+Acosπ6x?6（x=1,2,3,???,12）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為28°A．25.5°C B．22.5°C C．【變式3-3】月均溫全稱月平均氣溫，氣象學術語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中12個月的月均溫y（單位：°C）與月份x（單位：月）的關系可近似地用函數y=Asinπ6x?3+a（x=1,2,3,?,12）來表示，已知6月份的月均溫為29°C，A．20°C B．20.5°C C．【題型4用擬合法建立三角函數模型】【方法點撥】數據擬合問題的實質是根據題目提供的數據畫出簡圖，求相關函數的解析式進而研究實際問題.在求解與三角函數有關的函數擬合問題時，需弄清楚SKIPIF1<0的具體舍義，只有掌握了這三個參數的含義，才可以實現符號語言(解析式)與圖形語言(函數圖象)之間的相互轉化.【例4】某港口的水深y(單位：m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數，下面是該港口的水深數據：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5m(1)若有以下幾個函數模型：y=at+b，y=Asinωt+?(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？【變式4-1】“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數學興趣小組進行潮水漲落與時間的關系的數學建?；顒?，通過實地考察某港口水深y（米）與時間0≤t≤24（單位：小時）的關系，經過多次測量篩選，最后得到下表數據：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現有知識儲備，再依據上述數據描成曲線，經擬合，該曲線可近似地看成函數圖象．(1)試根據數據表和曲線，求出近似函數的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數據，結合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．【變式4-2】）某“帆板”集訓隊在一海濱區域進行集訓，該海濱區域的海浪高度y（米）隨著時間t（0≤t≤24，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻t的浪高數據的平均值如下表：t（時）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)試在圖中描出所給點；(2)觀察圖，從y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果確定在一天內的7時至19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排恰當的訓練時間．【變式4-3】平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區域的某個觀測點觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數據的近似值如表：t（時）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據表中近似數據畫出散點圖（坐標系在答題卷中）．觀察散點圖，從①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③(2)為保證隊員安全，規定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據（1）中的選擇的函數解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全．專題5.7三角函數的應用（重難點題型檢測）一．選擇題1．簡諧運動y=4sin5x?πA．5x?π3，π3 B．5x?3C．5x?3，?π3 D．42．我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產生是因為發聲體在全段振動，產生頻率為f的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數，如2f，3f，4f等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音的函數為y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 3．一個半徑為5米的水輪示意圖，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪自點A開始1分鐘逆時針旋轉9圈，水輪上的點P到水面的距離y（單位：米）與時間x（單位：秒）滿足函數關系式y=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=34．時鐘花是原產于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開放到閉合與體內的一種時鐘酶有關.研究表明，當氣溫上升到20°C時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當氣溫上升到28°C時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區一天內5~17時的氣溫T（單位：°C）與時間t（單位：h）近似滿足關系式T=20?10sinπ8t?A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h5．如圖所示為一質點做簡諧運動的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．該質點的振動周期為0.7s B．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5s時振動速度最大 D．該質點在0.3s6．在西雙版納熱帶植物園中有一種原產于南美熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規律.有研究表明，時鐘花開花規律與溫度密切相關，時鐘花開花所需要的溫度約為20°C，但當氣溫上升到31°C時，時鐘花基本都會凋謝.在花期內，時鐘花每天開閉一次.已知某景區有時鐘花觀花區，且該景區6時～14時的氣溫T（單位：°C）與時間t（單位：小時）近似滿足函數關系式T=25+10sinπA．6.7時～11.6時 B．6.7時～12.2時C．8.7時～11.6時 D．8.7時～12.2時7．阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮樓神器”，如圖1由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數關系為y=sinωt+φω>0,φ<π，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為t1，t2A．13s B．23s C．8．海水受日月的引力，在一定的時候發生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為4米，安全間隙（船底與海底距離）為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以0.3米/小時的速度減少，該港口某季節每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇y=Asin(ωx+?)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00二．多選題9．阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業工程裝置.由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移scm和時間ts的函數關系式為s=2sinωt+φ，其中ω>0，若該阻尼器模型在擺動過程中位移為1的相鄰時刻差為π3A．2 B．3 C．4 D．610．如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，則下列說法正確的是（

）A．該函數的周期是16B．該函數圖象的一條對稱軸是直線x＝14C．該函數的解析式是y＝10sin(πD．這一天的函數關系式也適用于第二天11．如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（

）A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點的運動周期為0.8s12．一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1.8米.已知水輪按逆時針做勻速轉動，每60秒轉動一圈，如果當水輪上點P從水面浮現時（圖中點P0位置）開始計時，則下列判斷正確的有（

A．點P第一次到達最高點需要20秒B．在水輪轉動的一圈內，有40秒的時間，點P在水面的上方C．當水輪轉動95秒時，點P在水面上方，點P距離水面1.8米D．當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，點P距離水面0.9米三．填空題13．如圖，是彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移，則這個振子振動的函數解析式是.14．下面是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心O距離水面1米，已知水輪自點M開始以1分鐘旋轉4圈的速度順時針旋轉，點M距水面的高度d（米）（在水平面下d為負數）與時間t（秒）滿足函數關系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，則函數關系式為15．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數y=a+Acos[π6(x?6)](A>0,x=1,2,3,?,12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28°C，12月份的月平均氣溫最低，為18°C，則16．某地為發展旅游事業，在旅游手冊中給出了當地一年12個月每個月的平均氣溫表（氣溫單位：℃），如圖.根據圖中提供的數據，試用y=Asinωx+φ+b近似地擬合出月平均氣溫與時間（單位：月）的函數關系為四．解答題17．某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數關系：ft(1)求實驗室這一天上午8時的溫度；(2)求實驗室這一天的最大溫差．18．如圖，某地一天從4～18時的溫度變化曲線近似滿足fx=Asinωx+φ+b