高級中學名校試卷PAGEPAGE1新疆部分學校2024屆高三4月（二模）大聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.{-1,1} B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得或，所以，由，得，因為，所以，或，或，所以，所以，故選：B．2.已知拋物線，點在拋物線上，則（）A.1或2 B.2 C.2或 D.〖答案〗C〖解析〗因為點在拋物線上，所以，整理得，解得或．故選：C．3.已知非零向量的夾角為，且，，則（）A.2π3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得；由，得，所以，所以，因為，所以．故選：A．4.若數據的平均數為，方差為，則數據的方差為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為數據的平均數為，方差為，所以，，所以數據的平均數為，方差為．故選：C．5.已知等差數列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以．因，所以．另解：設等差數列an的公差為，由，得，所以，即，得，所以，因為，，，，所以故選：A．6.已知函數的部分圖象如圖所示，圖象的一個最高點為，圖象與軸的一個交點為，且點M，N之間的距離為5，則（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗函數的最大值為4．設的最小正周期為，依題意，得，解得，所以，解得，所以，又點在函數的圖象上，所以，結合圖象，知，解得，所以，所以．故選：D．7.過雙曲線的右焦點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點，過點向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，知雙曲線的漸近線方程為．設雙曲線的半焦距為，則右焦點F(c,0)到漸近線的距離．設點，則，即．又，所以，解得．故選：A．8.已知函數滿足且，當時，，則函數在區間上的零點個數為（）A.0 B.1 C.5 D.10〖答案〗B〖解析〗由題意，知4為函數的一個周期且函數的圖象關于直線對稱．當時，由函數的〖解析〗式，兩出函數的大致圖象如圖所示．當時，函數的圖象與函數的圖象有且僅有一個交點；當時，總有．而函數在區間上單調遞增且，，所以函數的圖象與函數的圖象在區間上沒有交點．綜上，函數在區間上的零點個數為1．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設為復數，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則與互為共軛復數是的充要條件D.若，，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，虛數不能比較大小，當時，不滿足題意，故B錯誤；對于C，若，則，充分性成立．若，則，即．又，所以，必要性成立．綜上，當時，與互為共軛復數是的充要條件，故C正確；對于D，由，，知在復平面內，與對應的向量的夾角為，所以，故D正確．故選：ACD．10.如圖，在平行四邊形中，，且，為的中線，將沿BF折起，使點到點的位置，連接AE，DE，CE，且，則（）A.平面 B.AE與平面所成角的正切值是C.BC與DE所成的角為 D.點到平面的距離為〖答案〗AB〖解析〗因為，且，所以，．又為的中線，所以，．因為，所以．由題意，知，所以EF⊥BF．又，且，BF?平面，所以平面，故A正確；因為，，，所以平面．又，所以平面．所以與平面所成的角為．在中，，．所以，故B正確；因為，所以或其補角即為與所成的角，連接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推論，得，所以，所以與所成的角為，故C錯誤；因為，且，所以．又，所以．因為點到平面的距離為，所以由等體積法，得點到平面的距離為，故D錯誤．故選：AB．11.設函數，則（）A.在上單調遞減 B.在上的最大值為C.方程只有一個實根 D.，都有成立〖答案〗BCD〖解析〗由題可得，令，則，當時，，所以，在上單調遞減．又，所以當時，，即f'x≥0，當時，，即f'x<0所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上，．當時，，所以在上的最大值為，故A錯誤，B正確；，即，由圖象知，與的圖象只有一個交點，故C正確；令，則，當時，，單調遞增，當時，，當時，，所以在上先增后減，又，，所以成立，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓錐的底面周長為，其側面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為__________．〖答案〗〖解析〗設該圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得．因為半徑為的球的表面積為，即，解得，則圓錐的高．所以該圓錐的體積．13.的展開式中項的系數是_________．（用數字作答）〖答案〗〖解析〗因為展開式的通項為，，展開式的通項為，，所以，令，因為，，所以時，可配湊出項，此時項的系數為．14.已知函數滿足其導函數為偶函數，f'0=1，，在如下三個函數：①；②；③中，共有6個參數a，b，c，d，k，m．請在集合中，取出合適的數賦予上面6個參數．使其滿足題目要求，則a，b，c，d，k，m的值分別是__________（按對應的參數順序寫）；此時，在函數③中，的極小值是__________．〖答案〗，1，，0，，〖解析〗對于①，因為，所以，顯然f'x為偶函數，因為，所以．又，所以．對于②，因為，所以．因為f'x為偶函數，所以，顯然．又，所以．對于③，因為，所以，易知f'x為偶函數．又，所以．又，所以．所以a，b，c，d，k，m的值分別為，1，，0，，．此時，③中，．方法一：由，得，令，畫出兩函數的圖象，如圖所示，由圖可知當時，，所以當時，f'x>0，則在單調遞增，當或時，f'x<0，在和單調遞減，所以函數的極小值為．方法二：令，則，令，得．令，則，所以在上單調遞減，即g'(x)在上單調遞減，所以當時，，則在單調遞增，即f'x在單調遞增，當時，，則在單調遞煘，即f'x在單調遞煘，所以．又，所以當時，f'x則在單調遞增，當或時，f'x<0，在和單調遞減，所以函數的極小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）當時，求的單調區間；（2）當時，恒成立，求實數的最大值．解：（1）當時，，求導，得．令，解得（舍去）或，當時，，即在0,1單調遞增；當時，f'x<0，即在單調遞減，所以的單調遞增區間為0,1，單調遞減區間為．（2）當時，恒成立，即當時，恒成立，令，則，令hx=2x-1所以當時，h'x<0，當時，h所以當時，hx單調遞減，當時，hx單調遞增，所以hx的最小值為h所以hx≥h1這意味著在時單調遞增，所以的最小值為.16.目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．（1）已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；（2）若未來10天內虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數為．①判斷為何值時，最大；②記，求．解：（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為，所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.（2）①由已知服從二項分布，所以，由，當時，，所以，即，當時，，所以，即，綜上，當時，最大.②因為，所以或，當時，，，當時，，，.17.如圖，三棱錐的所有棱長都是，為的中點，且為FG的中點．（1）求證：平面平面；（2）若，平面與平面夾角的余弦值為，求FG的長．（1）證明：連結，因為，，且點是的中點，所以，，，且平面，所以平面，因為，所以共面，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；（2）解；由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，設點是底面上的射影為，點在上，因為三棱錐的棱長都是，所以，，以點為坐標原點，過點作與平行的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，則O0,0,0，，，，，，,所以，，，，設平面的法向量為，則，即，令，得，，所以平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則，整理為，解得：或(舍去)，所以的長度為8.18.已知直線與平面所成的角為，動點在平面內，如果點到直線的距離總是，則點的軌跡為橢圓，如圖所示．以該橢圓的中心為坐標原點，長軸所在直線為軸建立平面直角坐標系．（1）求橢圓的方程；（2）設A，B分別為橢圓的左、右頂點，動點在直線上，直線QA交橢圓于另一點，直線QB交橢圓于另一點，探究：直線MN是否經過一定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．解：（1）在空間中，到直線的距離為的點的軌跡是以直線為軸，底面半徑為的圓柱形曲面，平面截該圓柱形曲面形成橢圓，設橢圓的方程為，由題意知，橢圓的短半軸長為，由直線與平面所成的角為，知橢圓的長半軸長為，所以橢圓的方程為；（2）由圖形的對稱性，知若直線經過頂點，則定點必在軸上，假設直線經過軸上一定點，當直線的傾斜角不為0時，設直線的方程為，由，得，設Mx1,則，，直線的方程為y=y1x1+2x+2由題意知，直線與直線相交于點，且點在直線上，所以，即，所以，所以，所以，由，得，代入，得，即，（*）當時，（*）式恒成立，所以，當直線的傾斜角為0時，經檢驗，也過點，所以直線經過軸上一定點，定點的坐標為1,0.19.我們把滿足下列條件的數列稱為數列：①數列的每一項都是正偶數；②存在正奇數m，使得數列的每一項除以m所得的商都不是正偶數．（1）若a，b，c是公差為2的等差數列，求證：a，b，c不是數列；（2）若數列滿足對任意正整數p，q，恒有，且，判斷數列是否是數列，并證明你的結論；（3）已知各項均為正數的數列共有100項，且對任意，恒有，若數列為數列，求滿足條件的所有兩位數k值的和．（1）證明：若a,b,c是數列,則a,b,c都是正偶數,設，則若,則除以3為,是正偶數,與題中條件(2)矛盾,若,則除以3為,是正偶數,與題中條件(2)矛盾,若,則除以3為,是正偶數,與題中條件(2)矛盾,所以a,b,c不是數列.（2）解：在中,令,得,所以數列是首項為8,公比為8的等比數列,所以,因為是正偶數,所以數列的每一項都滿足題中條件(1),因為,