廣東省深圳市重點中學2024-2025學年全國高三模擬考試(三)數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若Qa—ZOcosCuccosB,則內角C=()

2.中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018年底，全國鐵路營業里程達到13.1萬公里，其中高鐵營業里程2.9萬公

里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位：萬公里)的折線圖，以

下結論不正確的是()

相，年份代?)1-5分M時皮年暫20I4-2011

A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著

B.從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關

C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上

D.從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數依次成等差數列

3.直三棱柱ABC—4與G中，C4=CG=2CB,ACVBC,則直線與4月所成的角的余弦值為()

A-fB-T

4.函數/(%)=sin(ox{co>0)的圖象向右平移々個單位得到函數y=g(x)的圖象，并且函數g(x)在區間上

1263

單調遞增，在區間［］,(］上單調遞減，則實數。的值為()

5.已知數列｛凡｝的首項的=。（。彳0）,且為+1=也+乙其中左，t&R,n&N*，下列敘述正確的是（）

A.若｛4｝是等差數列，則一定有％=1B.若｛4｝是等比數列，則一定有t=0

C.若｛4｝不是等差數列，則一定有kwlD.若｛。“｝不是等比數列，則一定有

6.設i是虛數單位，若復數加+*-（meR）是純虛數，則，〃的值為（）

3+z

A.-3B.-1C.1D.3

2222/T

7.已知。＞匕＞0,橢圓G的方程0+==1，雙曲線。2的方程為三—當=1，G和a的離心率之積為中，則

a-b-a2b22

C2的漸近線方程為（）

A.x±y/2y=0B.小土y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

8.復數z（l-，）=，（i為虛數單位），貝！Jz的共輯復數在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.如圖網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）

A.2B.2夜C.273D.1

10-下列與牛的終邊相同的角的表達式中正確的是（）

9

A.2kn+450(kGZ)B.心360。+孑(AGZ)

,5n

C.心360。―315°(A￡Z)D.而+彳(*GZ)

11.在AA6c中，。為8C邊上的中點，且|而|=1,*|=2,NA4C=120。，貝!||而|=()

A.正B.-C.D.立

2244

12.設i是虛數單位，貝!|（2+3。（3—2。=（）

A.12+5zB.6-6iC.5zD.13

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成

績，并根據這1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），則成績在［250,400）內的學生共有__人.

14.己知函數/（x）=M#-D，若關于x的不等式尤-2°）+/（巾-3）,,0對任意的xe［l,3］恒成立，則實數a的

取值范圍是.

15.已知P是拋物線C:/=2x的焦點，M是C上一點，戶河的延長線交y軸于點N.若〃為FN的中點，則

\FN\=.

16.已知％ye火，i為虛數單位，A（x-2）i-y=-l+i,貝!Jx+y=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在直角坐標系中，已知點P（l,0）,若以線段PQ為直徑的圓與V軸相切.

（1）求點。的軌跡C的方程；

⑵若。上存在兩動點4B（A,5在X軸異側）滿足礪.歷=32,且△RW的周長為21ABl+2,求的值.

18.（12分）如圖，點C是以為直徑的圓。上異于A、3的一點，直角梯形所在平面與圓。所在平面垂

直，ADEUBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

2

（1）證明：EO//平面AC。；

（2）求點E到平面ABD的距離.

19.（12分）已知橢圓C：g+（=1的離心率為岑，且經過點［-1,*］.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點（百,0）作直線/與橢圓C交于不同的兩點A,B,試問在x軸上是否存在定點。使得直線QA與直線恰

關于左軸對稱？若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

無2

20.（12分）已知a＞0,函數=+

（I）若/（%）在區間上單調遞增，求4的值；

（II）若aeZ〃尤）＞0恒成立，求。的最大值.（參考數據：eL1.6）

21.（12分）設函數/（x）=x—Lg（x）=〃nx,其中xe（0,1）,/為正實數.

X-

（1）若/（光）的圖象總在函數g（x）的圖象的下方，求實數，的取值范圍；

⑵設H（x）=（lnx—1+1）1+卜2一11一）；證明：對任意龍《0,1）,都有H（x）＞0.

X—t/\2c

22.（10分）在平面直角坐標系X0V中，直線/的參數方程為_。為參數），直線/與曲線。:（尤-1）一+丁=1交于

AB兩點.

⑴求的長；

⑵在以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點p的極坐標為f272,引］，求點P到線段AB中點M

的距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數恒等變換可得.

【詳解】

V(2^-/?)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sin5)cosC=sinCcosB,

/.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

一一?.171

三角形中sinAwO,cosC=—,，C=—,

23

故選：C.

本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵.

2.D

【解析】

由折線圖逐項分析即可求解

【詳解】

選項A，8顯然正確；

29-16

對于C,-——->0.8,選項C正確；

1.6

1.6,1.922,2.5,2.9不是等差數歹U,故。錯.

故選：D

本題考查統計的知識，考查數據處理能力和應用意識，是基礎題

3.A

【解析】

設CA=CG=2CB=2,延長4耳至。，使得44=用，連8D,CQ,可證ABJ/B。，得到NC不。(或補角)

為所求的角，分別求出5G，AA，G。，解AGB。即可.

【詳解】

設C4=CG=2C3=2,延長A耳至。，使得4用=用。，

連BD,C[D,在直三棱柱ABC—4與4中，AB/Z^B^AB=A^,

AB//B]D,AB=BiD,四邊形ABDB｝為平行四邊形,

:.ABJ/BD,:.NCiBD(或補角)為直線BC】與A與所成的角,

在放△3CG中，BCI=[CC：+BC2=B

2

在放4G中,A4=7ACI2+5ICI2=也,cosNgAG=

有‘

在△4G。中,

2

CjD=AC；+其。2_2AG.AJDCOS/B]AC]=4+20—16=8,

在RtAAA,B[中，AB]=+=3,:.BD=AB]=3,

BC；+BD2-GD25+9-86

在ABC]D中,cosZQBD=

2BC]BD6A/5-5

故選：A.

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

4.C

【解析】

由函數/(%)=sin(Dx(co>0)的圖象向右平移展個單位得到g(x)=sin[a^x=sinCcox-,函數g(x)在

jrITTTIT

區間上單調遞增，在區間

o332

上單調遞減，可得x=g時，g(x)取得最大值，即(0(—皆)=春+2版，keZ,口>0,當左=0時，解得6y=2,

故選C.

點睛：本題主要考查了三角函數圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據平移變換“左加右減，上加下減”

的規律求解出g(x),根據函數g(x)在區間上單調遞增，在區間!)|上單調遞減可得x=(時，g(x)取

得最大值，求解可得實數0的值.

5.C

【解析】

根據等差數列和等比數列的定義進行判斷即可.

【詳解】

A：當左=Oj=a時，4+i=a,顯然符合｛凡｝是等差數列，但是此時左=1不成立，故本說法不正確；

B：當左=Oj=a時，4+i=a,顯然符合｛%｝是等比數列，但是此時7=0不成立，故本說法不正確；

C：當左=1時，因此有4+1-%,=她+-4=/=常數，因此｛?｝是等差數列，因此當｛q｝不是等差數列時，一定

有上wl,故本說法正確；

D：當/時，若左=0時，顯然數列｛a,J是等比數列，故本說法不正確.

故選：C

本題考查了等差數列和等比數列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.

6.A

【解析】

根據復數除法運算化簡，結合純虛數定義即可求得相的值.

【詳解】

由復數的除法運算化簡可得

10°.

m-\------=m+3—i,

3+z

因為是純虛數，所以加+3=0,

m=—3,

故選：A.

本題考查了復數的概念和除法運算，屬于基礎題.

7.A

【解析】

根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合a和。2的離心率之積為且，即可得。力的關系，進而得雙曲線的離心率

-2

方程.

【詳解】

2222

橢圓a的方程++當=1,雙曲線。2的方程為3—==1,

abab

則橢圓離心率q=，雙曲線的離心率e=

aa2

由4和c2的離心率之積為立，

一2

即y/a2-b2yja2+b2^3

期6le2-------------x------------=——'

aa2

解得2=±走，

a2

所以漸近線方程為）=±也》，

-2

化簡可得x土后y=0,

故選：A.

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.

8.C

【解析】

由復數除法求出z,寫出共輾復數，寫出共輾復數對應點坐標即得

【詳解】

+I-i+i11.11.

解析—口-----FT,----------1

+i22222

對應點為（-5，-萬），在第三象限.

故選：C.

本題考查復數的除法運算，共朝復數的概念，復數的幾何意義.掌握復數除法法則是解題關鍵.

9.C

【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為A。，算出長度.

【詳解】

幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為4。=2百

ID

故選：C.

本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.

10.C

【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.

【詳解】

與粵的終邊相同的角可以寫成2配+萼（左GZ）,但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.

44

故答案為C

（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.（2）與戊終邊相同的角

夕=m360°+。其中左ez.

11.A

【解析】

由。為Be邊上的中點，表示出礪=g（通+/），然后用向量模的計算公式求模.

【詳解】

解：。為邊上的中點,

AD=-（AB+AC）,

西V（而+珂=曰麗+叼2

------*2------?------

+AC+2ABAC\

4

=J1(l2+22+2xlx2xCOS120

=昱

~2

故選：A

在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.

12.A

【解析】

利用復數的乘法運算可求得結果.

【詳解】

由復數的乘法法則得(2+3z)(3-2z)=6+5Z-6Z2=12+5Z.

故選：A.

本題考查復數的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.750

【解析】因為(“00J+0.001+0.004+二+0.005+0.003)x50=J,得二=0,006,

所以改必x[(Q.刎X50]=-5Co

14.[TO]

【解析】

首先判斷出函數/(?為定義在R上的奇函數，且在定義域上單調遞增，由此不等式/(尤2一2龍-2。)+/(依-3),,0對任

意的同恒成立，可轉化為/+5-2)龍-2a-3,,0在xe[1,3]上恒成立，進而建立不等式組，解出即可得到答案.

【詳解】

解：函數/(x)的定義域為R,且/(一無)=-%(2Ht|-l)=-%(2W-D=-/(無)，

二函數為奇函數，

當尤＞0時，函數“x)=x(2￡-l),顯然此時函數/(x)為增函數，

???函數Ax)為定義在R上的增函數，

不等式/'(x?-2x-2a)+f(ax-3)?0即為爐一2X一2@3-ax,

xl+(a-2)x-2a-3,,0在xe[1,3]上恒成立,

1+<7—2—2a—3?0

,解得YW?0.

[9+3(a—2)—2a—3,,0

故答案為[T,0].

本題考查函數單調性及奇偶性的綜合運用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規題目.

【解析】

由題意可得/(工,0),又由于〃為FN的中點，且點N在y軸上，所以可得點"的橫坐標，代入拋物線方程中可求

2

點〃的縱坐標，從而可求出點N的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.

【詳解】

解：因為R是拋物線C:/=2x的焦點，所以F(g,O),

設點"的坐標為(%,為)，

因為"為MV的中點，而點N的橫坐標為0,

所以升=；,所以為2=2x；=g,解得九=±日，

所以點N的坐標為(0,土行)

3

故答案為：—

2

此題考查拋物線的性質，中點坐標公式，屬于基礎題.

16.4

【解析】

解:利用復數相等，可知由x—2=l,y=l有x+y=4.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y2=4%；(2)|AB|=48

【解析】

(1)設Q(x,y),則由題設條件可得jG—iy+V=2/浮，化簡后可得軌跡c的方程.

(2)設直線AB:x=My+〃，聯立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理化簡函.a=32并求得〃=8,結合焦半徑

公式及弦長公式可求加的值及|A卻的長.

【詳解】

(1)設Q(蒼y),則圓心的坐標為[〒力)

因為以線段PQ為直徑的圓與V軸相切，

所以J(XT)2+/=2x,

化簡得。的方程為丁=44

⑵由題意女”。0，設直線AB：X=僅y+〃，

聯立y2=4x得y2_4my_4〃=0,

設A5(孫％)(其中%%<。)

所以弘+%=4加，且〃>0,

22

因為OA-OB=32,所以OA-OB=x/。+%%=」.~+%%=32，

16

“2_4/=32,所以(〃-8)(〃+4)=0,故〃=8或〃(舍)，

直線AB:x=my+8,

因為的周長為21AM+2

所以歸A|+怛用+|A同=2|叫+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

因為|上4|+=玉+尤2+2=m(％+%)+18=4m2+18.

2222

X|AB|=y/l+m1y[-y2\=yjl+m-J(4間？+128=4^1+m^8+m),

所以4m2+18=4^(l+m2)(8+m2)+2,

解得m=±2^2，

所以I=441+叫(8+叫=4^(1+8)(8+8)=48.

本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算，還涉及到向量的數量積.一般地，拋物線中的弦長問題，一般可通過聯立

方程組并消元得到關于％或y的一元二次方程，再把己知等式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系

中含有七/，%+%或％%，%+%，最后利用韋達定理把關系式轉化為某一個變量的方程.本題屬于中檔題.

18.(1)見解析；(2)8亙

41

【解析】

(1)取的中點M，證明。四〃4。,石河//。,則平面0加石〃平面40則可證EO//平面ACD.

(2)利用匕_ABO=%-EB°，AC是平面BED的高，容易求.SaBDE=goExCZ)=gx2x3=3,再求“.。，則點E

到平面的距離可求.

【詳解】

解：(1)如圖：

取BC的中點M，連接ME.

在AABC中，。是的中點，"是BC的中點，

OM〃^。，^。仁平面或攵^^0匚平面項。，故AC〃平面￡M0

在直角梯形3CDE中，DE//CB,且DE=CM,

；?四邊形MCDE是平行四邊形，EM〃CD,同理CD〃平面EMO

又CDcAC=C,故平面EMO//平面ACD,

又EOu平面EMO,，EO〃平面ACD.

(2)QAB是圓。的直徑，點。是圓。上異于A、3的一點，

:.AC±BC

又?.?平面BCDE，平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC

.,.AC,平面BC￡>E,

可得AC是三棱錐A-BDE的高線.

在直角梯形3CDE中，SABDE=DExCD=-^x2x3=3.

設E到平面4?的距離為無，則％.ABO=VA—EB?，即gs^Bo々ngs捻BaAC

由已知得AB=5,BD=5,AD=372,

由余弦定理易知：cosZABD=—,則S.ABn=-ABBDsinZABD=上叵

25AABD22

解得〃=S叵，即點E到平面的的距離為5區

4141

故答案為：5里.

41

考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.

2

19.(1)—+/=1(2)見解析

4

【解析】

(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線QA與直線QB恰關于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數,

Yi!y

即2=°,整理+丫2)-2!11丫］丫2=0.設直線1的方程為x+my-百=0,與橢圓C聯立，將

X]—tx2—t

韋達定理代入整理即可.

【詳解】

(1)由題意可得^^=2，v1-----T=L又a?—1?2=(：2，

2aa-4b-

解得a?=4，b2=l.

2

所以，橢圓C的方程為x上+y2=l

4

(4拒)

(2)存在定點Q，一，0，滿足直線QA與直線QB恰關于x軸對稱.

設直線1的方程為x+my—百=0,與橢圓C聯立，整理得，(4+m2)y2—2百my—1=0.

設B(x2，y2),差+%y=l,定點Q(t,0).(依題意tvx"NX?)

則由韋達定理可得，%+丫2=2媽，%y,=7工.

4+m4+m

直線QA與直線QB恰關于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數.

所以，上；+廣工=°，即得%(*2_1)+丫2(%一。=0.

]Lzx,2L

又X1+myi-g=0,x2+my2一6二0,

所以，力(6—my2—t)+y2(G—myi—t)=0,整理得，(百—t)(%+y2)—2myiy2=0.

從而可得，(若—t)?二照—2m?一方=0，

即2m(4-向)=0,

AR(4A/3、

所以，當t="9,即Q三一,0時，直線QA與直線QB恰關于x軸對稱成立.特別地，當直線1為x軸時，

3I3J

Q天一,0也符合題意.綜上所述，存在x軸上的定點Q;，°，滿足直線QA與直線QB恰關于x軸對稱.

\7\7

本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關系，熟記橢圓方程簡單性質，熟練轉化題目條件，準確計算是關鍵，是中檔題.

20.(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求導，得尸(x)=lnx+x+l-a,己知導函數單調遞增，又“可在區間仁,+8)上單調遞增，故

=ln---+l>0,=-—+1求得/(a)=募，討論得g(a)〈g(2)=。，而g(a”0,故g(a)=0,

22V'22

進而得解；

(II)可通過必要性探路，當x=2時，由/⑵=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,則，1ax=3,當

a=3,/(x)=%lnx+y-3(%-l),/'(x)=lnx+x-2,結合零點存在定理可判斷必存在x°e(1,1.6)使得/?'(%)=0,

得lnx0=2-x°,/(尤)*=/(%)=%in%-3(%-1),化簡得〃無)皿=3-f一毛，再由二次函數性質即可求證;

【詳解】

(I)/(尤)的定義域為(。,+°°)，f'(x)=\nx+x+l-a.

易知/'(九)單調遞增，由題意有了；3=1吟一■!+/().

令g(a)=ln￡_^|+l,則g，(4=T

令g'(a)=0得a=2.

所以當0<a<2時，g'(a)>。，g⑷單調遞增；當a>2時，g'(a)<0,g(。)單調遞減.

所以g(a)4g(2)=0,而又有g(a"o,因此g(a)=0,所以a=2.

(II)由/(2)=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,貝！Jamax=3.

下面證明a=3符合條件.

若a=3,/(x)=xlnx+5-3(x—1).所以/'(x)=lnx+x—2.

易知/'(%)單調遞增，而(⑴=T<0,r(1.6)?0.5+1.6-2=0.1>0,

因此必存在不e(1,1.6)使得廣(%)=0,即In%=2-%.

且當尤?o,尤。)時，r(x)<o,/(%)單調遞減；

當xe(5,+oo)時，/(%)單調遞增；

則“對皿=/(%)=%1n%+5一3(/一1)

r2V21A2

X

=x0(2-x0)+^--3(x0-1)=3__Y~O>3—--1.6=0,12>0.

綜上，。的最大值為3.

本題考查導數的計算，利用導數研究函數的增減性和最值，屬于中檔題

21.(1)(0,2](2)證明見解析

【解析】

⑴據題意可得尸(x)=/(x)-g(x)=x-工-八”<0在區間(0,1)上恒成立，利用導數討論函數的單調性，從而求

X

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出滿足不等式的，的取值范圍；(2)不等式整理為一-e%——<二r—'1，由⑴可知當/=2時，-r-—1->2,利用導數判斷

xex-x+1xlnxxkix

函數一-——的單調性從而證明--——<2在區間(0,1)上成立，從而證明對任意尤e(O,l),都有H(x)>0.

xev-x+lxex-x+lv''"''

【詳解】

(1)解：因為函數/(X)的圖象恒在g(x)的圖象的下方，

所以/'(%)—g(x)=x—LTlnx<0在區間(0,1)上恒成立.

設方(九)=九一工一〃n%,其中

所以萬=]+其中A=r—4，t>Q.

XXX

①當4”0,即0<友2時，尸

所以函數網力在(0,1)上單調遞增，F(%)<F(l)=0,

故/(%)-g(x)<。成立，滿足題意.

②當產一4>0，即/>2時，設。(％)=三一/