五十七雙曲線的定義、標準方程及其幾何性質

（時間：45分鐘分值:85分）

【基礎落實練】

22

（分）（青島模擬）若點在雙曲線上，雙曲線的焦點為丹,&且

1.52024?M1O41

|MFi|=3豳6|,則幽國|等于（）

A.2B.4C,8D.12

【解析】選B.雙曲線中〃=16彳導a=4,則2a=8,

由雙曲線的定義可得〃FiHSI=2a=8,因為附尺=3|吹2|,所以3|成訃|叱2|=8,解

得"=4.

22

2.（5分）已知雙曲線C:號。1的漸近線經過點（1,2）,則雙曲線的離心率為（）

ab

A."B.^/3C.2D.yfS

【解析】選D.易知雙曲線的漸近線方程為y=gx,

由漸近線經過點（1,2）,可得卜2,

故離心率為吟jJ1+|=V5.

【加練備選】

22

（2024?寧波模擬）已知雙曲線C：U=l（a>0,6>0）尸1正分別為左、右焦點，點

ab

P在雙曲線上，尸到左焦點Fi的距離是P到右焦點F2的距離的3倍，則

雙曲線的離心率是（）

A.^/2B.邛C2D.聞

【解析】選B.設雙曲線C的半焦距為c>0,由題意可知:甲碎=3|。出,則『入卜

|尸尸2|=2|尸尸2]=2名可得尸尸1|=3|尸尸2]=3區

2-

因為PFl±PF2,^]\PF1^+\PF/=\F1F/,^9a2+q2=4c2,整理得冷

所以雙曲線的離心率是e小匕=孚.

ayja/

22

3.（5分X2024?門頭溝模擬）雙曲線3-91（>0力>。）的離心率為2,則其漸近線方程

ab

為（）

A.y=±*xB.產士退x

J3

C.y=±y%D.y=±2x

【解析】選C.由已知可得，2,則c=2a,故6=*2-c3K^a,

所以，雙曲線的漸近線方程為產士*=土5.

4.（5分）“加>1”是“方程、卷=1表示雙曲線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

22

【解析】選A.因為方程表示雙曲線，

所以加（加-1）>0,解得m<0或m>l,

因為由m>\可推出m<Q或加>1,但是由m<Q或加>1,不能推出m>\,

22

所以“加>1”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.

22

5.（5分X多選題X2024?深圳模擬）若方程三+三=1所表示的曲線為。，則下面四

個說法中正確的是（）

A.若1?<3,則。為橢圓

B.若C為橢圓，且焦點在歹軸上，則2?<3

C.曲線。可能是圓

D.若。為雙曲線，則/<1

22

【解析】選BC.方程三一1所表示的曲線為C

O-LL-X

A.當取L2時,方程為爐+產q,表示圓,A錯誤;

B.若C為橢圓，且焦點在y軸上廁b1>340,即2</<3,所以B正確;

C.右2時,方程為必+/q,表示圓，所以c正確;

D.若C為雙曲線，可得（31）（b1）<0魂軍得t>3或/<1,所以D錯誤

2

6.（5分X多選題）（2024?泉州模擬）已知幾B分別是雙曲線。:2產1的左、右焦

點，點M是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段FR為直徑的圓經過點

M則（）

A.△液正2的面積為在

B.點M的橫坐標為2或-2

1

CC的漸近線方程為

D.以線段為直徑的圓的方程為爐+產3

1

【解析】選AB.由雙曲線方程知-2,6=1,所以雙曲線C的漸近線方程為嚴土會,

故C錯誤；

又。=后+后=",所以以FR為直徑的圓方程為爐+產=5,故D錯誤;

1

x

由y=±22=-2

{X2+.y2=5亡<Ai<=±r

所以點M的橫坐標為2或-2,故B正確；

又陷=1,所以s虧?尸得，故A正確.

/'1L1/24

22&

7.（5分X2024?齊齊哈爾模擬）與橢圓-7有公共焦點，且離心率為|的雙曲線方

程為.

22

【解析】由橢圓方程卷21,可得焦點坐標分別為(3,0),(-3,0),設雙曲線的半焦距

為c,則c=3,

因為雙曲線的離心率為:則

故4=2,所以-/=木,

22

所以雙曲線的標準方程為1-Cl.

22

答案?土-'1

口木。45

22

8.(5分X2024?長春模擬)若雙曲線"。15>0,6>0)的右頂點到其中一條漸近線的

ab

距離為*則雙曲線的離心率為.

_h

【解析】右頂點為(%0),—條漸近線方程為y%,即bx-ay^Q,

由題意

即"，所以e*2.

答案：2

9.(10分)(2024?昆明模擬)求適合下列條件的雙曲線標準方程.

虛軸長為離心率為

(1)12,4,

【解析】(1)設雙曲線的標準方程為

2222

號91或J'=l(a>0,b>0).

abab

由題知26=12『產2=。2+左，

所以b=6,c=10,a=8,

2222

所以標準方程為總-?1或2

（2）頂點間距離為6,漸近線方程為嚴土菰

【解析】（2）當焦點在x軸上時，由6且2。=3,所以29.

22

所以所求雙曲線標準方程為營-守1;

T

當焦點在歹軸上時，由且4=3,所以42.

22

所以所求雙曲線方程為:￡■=1?

2222

所以標準方程為營或卷。=1.

T

（3）求與雙曲線/一272=2有公共漸近線，且過點M2,-2）的雙曲線方程.

22

【解析】⑶設與雙曲線:少2口有公共漸近線的雙曲線方程為'歹=左（后0）,將點

,2222

（2,-2）代入得--（-2）2=2所以雙曲線方程為盧-2,雙曲線的標準方程為

=1.

【能力提升練】

2

10.（5分）（2024?南昌模擬）已知圓。:爐+儼6+8=0,若雙曲線儼-〒1（加＞0）的一條漸

m

近線與圓。相切，則加=（）

A.|BeC.2A/2D.8

o4、

2

【解析】選C.C:x2+y2-6x+8=0變形為03尸+儼=1,故圓心為（3,0）泮徑為l,y2--

m

口

=1（加＞0）的漸近線方程為產土3不妨取尸]由點到直線距離公式可得一^1,解

1+二

得加=2也，負值舍去.

【加練備選】

22

（2024?成都模擬）已知川正2分別為雙曲線三-11（心0乃＞0）的左、右焦點，且

ab

__

「1BI「「點P為雙曲線右支上一點/為△耳F2內心，若S[PF=S[PF+A

Cv/'i±r1A/\iui2A

S△小抵'則'的值為（

A5B.fC號D.年

【解題策略】作〃，/內可得〃===/。=廠,可以將S/p0=

ZAAIrr]

2b2

S△IPF+"SAIFF，轉換為母加內，結合雙曲線的定義以及「典七即可

（\JLkL2/'JI.]/2

求解.

【解析】選C.如圖所示由題意知I為△跳F2的內心,

作IA人F1F2JB人PFzJC人FiP.APFiFz內切圓半徑為r,所以L4=/B=/C=r,

111

又因為S△IPF=s△[PF+^SF，即/歷守依2+必/&^2,化簡得

/\iI2]/\111*2A/\I11F-￡*2N乙N

PF1^PF2+^F1F2,

由雙曲線定義可知PF「PF2=2a—（2c）,

因此有二I；

2b2

又因為|尸匹I。",且方匹|=2c以及c2=a2+b2,

聯立并化簡得a2+ac-c2^0,

即（戶”，

解得人。了或丸上了（舍去，因為成＞0）.

22

11.（5分）過雙曲線三。1（。＞0乃＞0）的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為4若

ab

ZAFO^2ZAOF（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）

4B.竽C.2D.竽或2

【解析】選B在RtZUFC＞中,

因為///。=2乙4。￡所以2/0b=30。,

則tan30。-g-g,

22

12.（5分X多選題X2024福州模擬）已知曲線*+#廠則）

A.若加〉裾，則C是橢圓

B.若一招＜加＜"，則。是雙曲線

c.當。是橢圓時，若H越大，則。越接近于圓

D.當。是雙曲線時，若H越小，則。的張口越大

22

【解析】選BD.對于A,加=2滿足心戲代入曲線C中將3+*1,即爐+產4,表

示以（0,0）為圓心，半徑為2的圓，故A錯誤；

對于B,當-g＜加＜也時廣名2加2一4＜0,所以4（2加2一4）＜0,故C是雙曲線，故B正確；

_22_

對于C,當加|=十時方程為為焦點在x軸上，長軸長為4,短軸長為29焦

距為2"的橢圓，離心率為當H"時,方程為2+*1,為焦點在〉軸上,長軸長

為4”,短軸長為4,焦距為4的橢圓，離心率為日，所以當加=避和加=通時，兩個

橢圓一樣圓，故C錯誤；

22

對于D,當曲線C:^-+-4-1為雙曲線時,2加2_4＜0,

42m-4

22________________

整理成1，則。=2力=」4-2m2,c=Js-2上,

44-2m7X

若川越小，則。不忖工？越大,因為頂點不變，此時焦點離頂點越遠,圖象的張口就

越大，故D正確.

13.（5分）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反

22

射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線■馬

ab

=15＞0力＞0）的左、右焦點分別為*尸2,從B發出的光線經過圖中的A,B兩點反

射后，分別經過點C和。，且3/氐4。=q,而-麗=0,則E的離心率為（）

J17J37J10r-

A.^-C.^-D.p

【解析】選B.由題意知延長C4Q5則必過點如圖:

（\AFA-\AFJ=2a

由雙曲線的定義知后j%

又因為cosNA4C=J所以

因為萬?前=0,所以4BLBD,

*1^^pI—13TTT2cL

設”11=13加"0,則明=5加,防1=12加，因此］肅；二12根：2相

從而由⑷得13加-2a+12加-2a=5加，所以a=5m,

122

則盧尸1|飛旬5尸2%。,|尸1尸21=2C,

22212222

又因為|斯1/+但々|=//2匕所以（百①+3）=（2。）2,

即37a2=25°2,即e=^.

2222

（分）（郴州模擬）已知雙曲線（加＞心）和橢圓有相同的焦

14.52024771710,0413

點，則1+1的最小值為.

22

【解析】的焦點坐標為(±1,0),故加+"=F=1,

4-3

1/41/41、/、4nm4nm

故hrgg