2017-高中數學必修4期末考試

2017年高一數學必修4模塊期末考試一、選擇題1.若向量????=（-5，4），????=（7，9），則與向量????同向的單位向量坐標是（）A.（?13，?13）B.（13，13）C.（?13，13）D.（13，?13）2.下列各式中值等于125的是（）A。5^3B。25^2/5C。3^5D。125^1/33.已知??(??)=????????+3????????(??∈??)，函數y=f（x+φ）的圖象關于直線x=0對稱，則φ的值可以是（）A。2B。3C。4D。64.在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD????=??+2??，????=?4?????，????=?5???3??，的形狀是（）A。長方形B。平行四邊形C。菱形D。梯形5.如圖所示，在△ABC中，AD=DB，F在線段CD上，設????=??，????=??，則??+??的最小值為（）A。6+2√2B。9/4C。9D。6+4√26.在△ABC中，????=??，????=??．若點D滿足????=(??+3??)/3=2????????，則??的坐標為（）A。(2b/3.c/3)B。(b/3.2c/3)C。(2c/3.b/3)D。(c/3.2b/3)7.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，則△ABC一定是（）三角形．A。銳角B。直角C。等腰D。等腰或直角8.將函數f（x）=cos2ωx的圖象向右平移4π個單位，得到函數y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[?4，6]上為減函數，則正實數ω的最大值為（）A。2B。1C。2/πD。39.cos555°的值為（）A。6+2√13/2B。2-6√13/2C。6-2√13/2D。-6+2√13/210.滿足條件a=4，b=5，A=45°的△ABC的個數是（）A。1B。2C。無數個D。不存在11.已知角α是第四象限角，角α的終邊經過點P（4，y），且sinα=5/13，則tanα的值是（）A。-3B。-4/3C。4D。312.在集合{1,2,3,4}中任取一個偶數a和一個奇數b構成以原點為起點的向量α＝(a，b)．從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作三角形，事件“所得三角形的面積等于1”的概率為()A。1/6B。1/4C。1/3D。1/215.0.6.16.117.（1）最小正周期為2π；2）將f（x）向左平移4個單位得到g（x）=23sin（x-）?cos（x-）-sin（2x-π），在[0,2]上，g（x）的最大值為23，最小值為-23.18.（Ⅰ）θ=π/4，最小正周期為2π；Ⅱ）當x∈[-2,2]時，f（x）的最大值為a+1，最小值為a-1.19.（1）|????|=√3/2，所以????=（√3/2，1/2）或????=（-√3/2，-1/2）；2）|2????|=√12=2√3.20.角α在第一象限，sinα=√(1-cos2α)=√(1-??2)，tanα=sinα/??.21.（1）A=60°；2）sinB+sinC=2sin(A/2)cos(B-C/2)≤2sin(A/2)=√3，當B=C=60°時取等.22.（1）?????=??????2??+??????2??=1；??+??|=√(??????2??+2????????+1+??????2??)=√(2+2cos??)=2|cos(??/2)|；2）當m≥1時，f（??）的最大值為m-1；當0<m<1時，f（??）的最大值為-1/2；當m≤0時，f（??）的最大值為m+1.所以cosA=-bc/2a^2，sinA=sqrt(1-cos^2A)=-sqrt(1-b^2c^2/4a^4)。A為銳角，所以cosA>0，即bc<0。bc=-|bc|。sinA=-sqrt(1+b^2c^2/4a^4)．2）∵cosA=-bc/2a^2。cos^2A=b^2c^2/4a^4。sin^2A=1-cos^2A=1-b^2c^2/4a^4。sinA=sqrt(1-b^2c^2/4a^4)．3）由（1）和（2）可得cosA=-bc/2a^2，sinA=sqrt(1-b^2c^2/4a^4)．其中x∈[0,π]，要求求出f(x)的最大值．1）根據倍角公式，有cos2x=1-2sin^2x，即sin^2x=(1-cos2x)/2，代入f(x)得到f(x)=2sin(x+3cosx)=2sinx+6sinxcosx，進一步化簡得f(x)=2sinx+3(2sinxsin2x)，即f(x)=2sinx+6sinx(1-sin^2x)，化簡得f(x)=6sinx-6sin^3x．2）對f(x)求導，得到f'(x)=6cosx-18sin^2xcosx，令f'(x)=0，得到cosx=0或sin^2x=1/3．3）當cosx=0時，即x=π/2時，f(x)取最大值8．當sin^2x=1/3時，即x=π/6或x=5π/6時，f(x)取最大值4√3．綜上所述，f(x)的最大值為8或4√3，對應的x分別為π/2和π/6或5π/6．本題考查了倍角公式和特殊角的三角函數值的運用，考查了學生的計算能力和解題思路．函數$y=\text{f}(x+\varphi)=2\sin(x+\varphi+\frac{3}{2}\pi)$的圖像關于直線$x=0$對稱，因為函數為偶函數，所以$\varphi=\frac{6}{4}$，因此選D。解析：根據函數$y=A\sin(\omegax+\varphi)$的參數意義，利用誘導公式簡化函數表達式，根據圖像對稱性求解$\varphi$即可。這是一道基礎題，考查計算能力和對函數圖像的理解。解：由$AB+2b-BD=AD$，可得$AD\parallelBC$且$AD\neqBC$，因此四邊形$ABCD$是梯形，故選D。解析：根據向量的代數運算法則和性質，求解向量之間的關系。這是一道中檔題，考查向量的代數運算能力。解：由$AF=2xb$，$2x+y=1$，以及$(x+y)(2x+y)=6+4xy$，可得$x=\frac{2}{5}$，$y=\frac{1}{5}$，因此$x+y=\frac{3}{5}$，故選D。解析：根據向量共線定理和基本不等式的性質，求解向量之間的關系。這是一道基礎題，考查向量的代數運算能力。解：由$\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$，可得$3\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow=\frac{1}{c}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow$，因此$3\overrightarrow{AD}+\overrightarrow=\frac{1}{c-1}\overrightarrow$，故選A。解析：利用向量共線定理和“乘1法”，求解向量之間的關系。這是一道基礎題，考查向量的代數運算能力。在$\triangleABC$中，$\tanA\sin2B=\tanB\sin2A$，化簡得$\cosA\sin2B=\cosB\sin2A$，整理得$\sinB\cosB=\sinA\cosA$，化簡得$\sin^2A=\sin^2B$，因此$2A=2B$或$2A+2B=\pi$，即$A=B$或$A+B=\frac{\pi}{2}$，因此$\triangleABC$是等腰三角形或直角三角形，故選D。解析：利用三角函數的基本性質和等式，化簡方程式并求解。這是一道基礎題，考查對三角函數的理解和計算能力。中可以看出這四個點構成一個矩形，且兩對角線相等，因此可以用勾股定理求出對角線的長度，再利用正弦函數求出角度，即可得到所求的值．解：設矩形的長為a，寬為b，則對角線的長度為√（a2+b2），代入已知的四個點坐標可得√20，再利用正弦函數可求出∠A和∠B的大小，即sin∠A=12sin∠B=32故sin（∠A+∠B）=221，XXX（∠A+∠B）不存在．故選：D．本題考查勾股定理、正弦函數的應用，屬于基礎題．刪除明顯有問題的段落，剔除格式錯誤，改寫如下：題目13：已知$cos(\alpha-)+sin\alpha=\frac{6}{\sqrt{3}}$，求$sin(\alpha+\frac{7\pi}{6})$的值。解析：利用兩角和差的正弦、余弦公式求得$sin(\alpha+\frac{1}{6}\pi)=\frac{5}{6}$，再利用誘導公式求得$sin(\alpha+\frac{7\pi}{6})=-sin(\frac{1}{6}\pi+\alpha)=-\frac{5}{6}$，故答案為$-\frac{5}{6}$。本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式、以及誘導公式的應用，屬于中檔題。題目14：在$\triangleABC$中，已知$cosB-\cosC=\frac{5}{a}$，利用正弦定理可得$sinCcosB-sinBcosC=\frac{5}{a}sinA$，即$sin(C-B)=\frac{5}{2}sin(B+C)$，化簡可得$tanC=4tanB$，故答案為$4$。本題主要考查正弦定理、兩角和差的正弦公式、同角三角函數的基本關系，屬于中檔題。題目15：向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{ab}|=3$，$\vec{ab}=(3,1)$，可知$\vec{a}=(x,1)$，$\vec=(3-x,y)$，則$cos=\frac{1\times3}{3\sqrt{x^2+1}\sqrt{(3-x)^2+y^2}}=0$，故答案為$0$。本題考查向量的數量積，利用觀察法推出向量的坐標是解題的關鍵。題目16：已知直線$x=1/2$是函數$y=f(x)=a\sin3x+\cos3x$的一條對稱軸，則$f(0)=f(\frac{1}{6}\pi)$，即$0+1=a+0$，可知$a=1$，故答案為$1$。本題利用已知條件求出函數的表達式，然后求解函數在特定點的函數值。1.根據題意，可以得出f(x)=f(6)，即0+1=a+0，從而求得a=1.這道題主要考查正弦函數的圖像對稱性，是基礎題。17.(1)利用倍角公式及誘導公式化簡，再由周期公式求周期；(2)通過三角函數的圖像平移得到函數g(x)的解析式，結合x的范圍求得函數g(x)在區間[0,2]上的最大值和最小值。這道題考查了三角恒等變換及其應用，三角函數的圖像和性質，以及三角函數的最值，是中檔題。18.(I)利用向量數量積的坐標運算易求得f(x)=cos(2x-θ)，從而可求得f(x)的最小正周期；又因為y=f(x)的圖像經過點(6,1)，且θ<π，因此可求得θ；(II)由(I)得f(x)=cos(2x-3)，-6≤x≤4，因此-3≤2x-3≤6，利用余弦函數的單調性可求得f(x)的最大值和最小值。這道題考查了向量數量積的坐標運算，突出了三角函數的周期性及其求法，以及余弦函數的單調性和最值，是中檔題。19.(1)利用單位向量的定義和數量積運算性質即可得出；(2)利用數量積運算性質即可得出。這道題考查了單位向量的定義和數量積運算性質，是基礎題。20.利用任意角的三角函數的定義求得x的值，分類討論求得sinα和tanα的值。這道題主要考查任意角的三角函數的定義，兩點間的距離公式的應用，以及分類討論的數學思想，是基礎題。21.(1)利用余弦定理即可求出A的大??；(2)求出B+C=60°，利用兩角和差的正弦公式即可求得sinB+sinC的最大值。這道題主要考查解三角形的應用，根據余弦定理以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關鍵。22.(1)先求出a，利用三角恒等變換公式化簡后再代入x=4求得b和|a+b|的三角表達式，得到兩向量的內積與兩向量和的模的值；(2)由題設條件f(x)=m|a|+|b|-a·b=-2cos2x+2mcosx-1，因此可令t=cos2x，再通過二次函數求解。這道題考查了三角恒等變換公式的應用，以及二次函數的求解，是中檔題。本題考查平面向量數量積的運算。解題的關鍵是熟練掌握數量積的運算公式以及三角恒等變換公式。該題是一個三角與向量結合的綜合題，其解題的特點是需要進行靈活的變形計算。首先，我們可以將題目中的向量表示為坐標形式，然后利用數