§10.8概率、統計與其他知識的交匯問題

【重點解讀】有關概率、統計與其他知識相交匯的考題，能體現“返璞歸真，支持課改；突破

定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內容.近幾年將概率、統計問題與數列、

函數、導數結合，成為創新問題.

題型一概率、統計與數列的綜合問題

例1(12分)(2023.新高考全國I)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中

則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率

均為0.6，乙每次投籃的命中率均為08由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、

乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；［切入點：R+i與p,之間的關系］

(3)已知：若隨機變量X服從兩點分布，且P(X,=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,n，則￡(￡%

i=1

i)=￡*記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數為丫，求￡(冷.［關鍵點：利用給

Z=1

出的公式推出E(Y)=tpi］

Z=1

［思路分析］

(1)利用全概率公式

(2)尋求p,+i與“?之間的關系，構造等比數列

(3)根據結論及等比數列的求和公式求解

答題模板

解(1)記“第，?次投籃的人是甲”為事件4,“第i次投籃的人是乙”為事件田，(1分)

、\(&)=尸(4&)+尸(81星)

所以=P(4)PCB2|A1)+P(81)尸(8213)

①處寫出P（民）的概率計算公式

=0.5X（1-0.6）+0.5X0.8=0.6.（3分）

⑵設尸(4)=Pi,依題可知，P(B?=1—Pi,

P(A,+1)=P(A,A,+i)+P(B,Ai+i)

則(5分)

=P(4)P(Ai+i|A)+P(3)P(4+i|3),

②處寫出尸(A+i)的概率計算公式

Pi+1=0.6“+(1—0.8)X(1—p^)

即

=0珈+0.2,

③處寫出Q+1與P的關系

,,21

構造等比數列{pi+A},設p?+1+2=53+2)，解得4=-

則P/+i-|=|^—(7分)

④處構造出等比數列

111

又pi=5,PL'=不

所以，PL,是首項為/公比為|的等比數列，

即PL；[x]|卜P尸.義(1)門+)(9分)

⑤處計算出pi

⑶因為pi=〃X(|')Li+；,i=l,2,…，n,

⑥處利用題干結論計算E(K)

故E(r)=露1—(|)]+生(12分)

跟蹤訓練1(2023.日照模擬)在卡塔爾舉辦的世界杯決賽中，阿根廷隊通過點球戰勝法國隊獲

得冠軍.

QFIFZAWORWLDCUP

（i）撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個

方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使

2

方向判斷正確也有§的可能性撲不到球.不考慮其他因素，在一次點球大戰中，求門將在前三

次撲到點球的個數X的分布列和期望；

思維升華高考有時將概率、統計等問題與數列交匯在一起進行考查，此類問題常常以概率、

統計為命題情境，同時考查等差數列、等比數列的判定及其前w項和，解題時要準確把握題

中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型.

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，

球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳

向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在

甲腳下的概率為P”，易知Pi=1,度=0.

①證明：-，為等比數列；

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較pio與00的大小.

題型二概率、統計與導數的綜合問題

例2（2023.沈陽模擬）根據以往大量的測量知某加工廠生產的鋼管內徑尺寸X（單位：mm）服從

正態分布NQi,心,并把鋼管內徑在山-。，〃+日內的產品稱為一等品，鋼管內徑在6+。，〃

+2田內的產品稱為二等品，一等品與二等品統稱為正品，其余范圍內的產品作為廢品回收.現

從該企業生產的產品中隨機抽取1000件，測得鋼管內徑的樣本數據的頻率分布直方圖如圖.

⑴通過檢測得樣本數據的標準差s=0.3,用樣本平均數x作為〃的近似值，用樣本標準差s

作為。的估計值，根據所給數據求該企業生產的產品為正品的概率Pi；(同一組中的數據用

該組區間的中點值代表)

(2)假如企業包裝時要求把2個一等品和“("22,“CN)個二等品裝在同一個箱子中，質檢員

從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同，則該箱產品記為A,否

則該箱產品記為B.

①試用含n的代數式表示某箱產品抽檢被記為B的概率p；

②設抽檢5箱產品恰有3箱被記為B的概率為加),求當n為何值時，加)取得最大值，并求

出最大值.

參考數據:36.2X0.2+36.4X0.25+36.6X0.7+36.8X0.8+37X1.1+37.2X0.8+37.4X0.65+

37.6X0.4+37.8X0.1^185.

跟蹤訓練2學習強國中有兩項競賽答題活動,一項為“雙人對戰”，另一項為“四人賽”.活

動規則如下：一天內參加“雙人對戰”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得

1分；一天內參加“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝

得2分，失敗均得1分.已知李明參加“雙人對戰”活動時，每局比賽獲勝的概率為:；參加

“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為P,g.李明周一到周五

每天都參加了“雙人對戰”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響.

（1）求李明這5天參加“雙人對戰”活動的總得分X的分布列和期望；

⑵設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為

加）.求當p為何值時，加）取得最大值.

§10.8概率、統計與其他知識的交匯問題答案

跟蹤訓練1（1）解方法一X的所有可能取值為0,1,2,3,

在一次撲球中，撲到點球的概率為

Dv-v-v2

F-3X3X3X3-9,

所以P（X=0）=4（胡=729，

尸（x=l）=C3-1x卷2=3，

尸（X=2）=C4a2xg=243，

P（X=3）=?劣?=729,

所以X的分布列為

X0123

5126481

P

729243243729

E⑶=淺義°+黑X1+擊X2+&X3=|fU.

方法二依題意可得門將每次可以撲到點球的概率為p=gxg=/,

門將在前三次撲到點球的個數X的所有可能取值為0,1,2,3,易知X?2(3,

所以尸(X=左)=C§(J《e)3f,

%=0,1,2,3,

故X的分布列為

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E(X)=3x1=|.

⑵①證明第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,

則當〃三2時，第n-l次傳球之前球在甲腳下的概率為p,-i,

第n-l次傳球之前球不在甲腳下的概率為—pi

則Pn=Pn-lX0+(l—pn-l)x|=—^pn-l+y

iirn

即mPn~3=_2vn-1-3?)

力12

又。「十子

所以，P“一1J是以|為首項，―3為公比的等比數列.

②解由①可知

“=1H)G+W,

所以21。=|*(一習9+聶，

所以00=/1—。10)

故pio<qio?

例2解(1)由題意，估計從該企業生產的產品中隨機抽取1000件鋼管內徑的平均數為x

^185X0.2=37,

所以〃=37,cr=s=0.3,

則〃一G=37—0.3=36.7,//+c=37+0.3=37.3,//+2(7=37+0.6=37.6,

則一等品內徑在口一。，〃+司內，即在［36.7,37.3］內，

二等品內徑在加+(7,〃+2c］內，即在［37.3,37.6］內，

所以該企業生產的產品為正品的概率為Pi=P(36.7WXW37.6)=(0.8+l.l+0.8+0.65)X0.2+

0.4X0.1=0.71.

⑵①從〃+2件正品中任選2個，有品+2種選法，其中等級相同的有(叱+G)種選法，

所以某箱產品抽檢被記為B的概率為P=-W=L老盤=”譚不

②由題意，一箱產品抽檢被記為8的概率為p,

則5箱產品恰有3箱被記為B的概率為%)=C%3(1—p)2=1003(l—2。+02)=10。3—2p4+p5),

234222

f(p)=10(3^-8p+5p)=10p(3-8P+5p)=10p(p-1)(5p-3),所以當pG(0,時，

f'3)>0,函數加)單調遞增，當pG(!\1)時，，(p)<o,函數加)單調遞減，

3

所以當2=5時，加)取得最大值為

局=c?x(|)3x(l—1)2喏

,i54n3

此時，P~n2+3n+2~5'

2

解得"=3或"=］(舍去)，

所以當71=3時，加)取得最大值|||.

跟蹤訓練2解(1)X的所有可能取值為5,6,7,8,9,10,

P(X=5)=?)5=*，

P(X=6)=CU(|)X(|}=^,

P(X=7)=Cixg)xg)=^=^,

P(X=8)=C1X@3X弓)2=患=親，

尸(X=9)=CWXQ}XG)=9,

P(X=10)=C?X&=擊.

所以X的分布列為

X5678910

155551

P