PAGEPAGE9江蘇省連云港市2025屆高三數學下學期第一次模擬考試試題(滿分：150分考試時間：120分鐘)2024．02一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若非空且互不相等的集合M，N，P滿意：M∩N＝M，N∪P＝P，則M∪P＝()A.?B.MC.ND.P2.在復平面內，復數eq\f(1＋i,2－i)對應的點位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3.2月18日至28日在張家口舉辦國際雪聯自由式滑雪和單板滑雪世界錦標賽，現組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案的種數為()A.12B.24C.36D.484.已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,m)＝1的右焦點到其一條漸近線的距離為eq\r(3)，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(2\r(6),3)D.25.(2＋3x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數為()A.16B.18C.20D.246.函數f(x)＝eq\f(ln|x－2|,（x－2）3)的部分圖象大致為()7.中長跑是一項對學生身體熬煉價值較高的運動項目．在某校的一次中長跑競賽中，全體參賽學生的成果近似地聽從正態分布N(80，100)，已知成果在90分以上(含90分)的學生有32名，則參賽的學生總數約為()(參考數據：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997)A.208B.206C.204D.2028.定義方程f(x)＝f′(x)的實數根x0叫作函數f(x)的“保值點”．假如函數g(x)＝x與函數h(x)＝ln(x＋1)的“保值點”分別為α，β，那么α和β的大小關系是()A.α<βB.α>βC.α＝βD.無法確定二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.甲、乙、丙、丁四人參與數學競賽，四人在成果公布前作出如下預料：甲預料說：我不會獲獎，丙獲獎；乙預料說：甲和丁中有一人獲獎；丙預料說：甲的揣測是對的；丁預料說：獲獎者在甲、乙、丙三人中．成果公布后表明，四人的預料中有兩人的預料與結果相符，另外兩人的預料與結果不符．已知有兩人獲獎，則獲獎者可能是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.乙和丁10.已知函數f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,5))(ω＞0)在[0，2π]上有且僅有4個零點，則()A.f(x)在(0，eq\f(π,5))上單調遞增B.ω的取值范圍是[eq\f(19,10)，eq\f(12,5))C.f(x)在(0，2π)上有2個微小值點D.f(x)在(0，2π)上有3個極大值點11.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，AA1＝2，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD，則()A.直線DC1與BC所成角為90°B.三棱錐DBCC1的體積為eq\f(1,3)C.二面角A1BDC1的大小為60°D.直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面積為6π12.已知函數f(x)＝eq\f(sinx,ex－x)，則()A.f(x)是奇函數B.|f(x)|＜1C.f(x)在(－1，0)上單調遞增D.f(x)在[0，eq\f(π,2)]上存在一個極值點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知|a|＝2，|b|＝1，|a＋2b|＝eq\r(6)，則cos〈a，b〉＝________．14.一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1，2，3須要調整的概率分別為0.1，0.2，0.3，各部件的狀態相互獨立．則設備在一天的運轉中，至少有1個部件須要調整的概率為________．15.寫出一個滿意f(x)＝f(2－x)的偶函數f(x)＝________．16.焦點為F的拋物線y2＝2px(p>0)上一點M,|MF|＝4，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則圓心坐標為________，拋物線的方程為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4＋a5這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．問題：已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＝6，________．若數列{bn}滿意bn＝2an，求數列{an＋bn}的前n項和Tn.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosC,c)＝eq\f(1,2)，且b＝2.(1)求證：a＋c≥4；(2)若△ABC的周長為2＋3eq\r(2)，求其面積S.

19.(本小題滿分12分)機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓行人”．下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓行人”行為統計數據：月份12345違章駕駛員人數1201051009580(1)請利用所給數據求違章人數y與月份x之間的回來直線方程y＝bx＋a；(2)預料該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數；(3)交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查70人，調查駕駛員不“禮讓行人”行為與駕齡的關系，得到下表：不禮讓行人禮讓行人駕齡不超過1年2416駕齡1年以上1614能否據此推斷有97.5%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關？參考公式和數據：b＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－nxy,∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－nx2)＝eq\f(\i\su(i＝1（xi－x）（yi－y）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）2)，a＝y－b,n,)x，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d)．P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635

20.(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐PABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(π,4)，PA＝PB＝PC＝4.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，PC與平面PAM所成角的余弦值為eq\f(\r(13),4)，求CM的長．21.(本小題滿分12分)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓的左、右焦點F1，F2分別作傾斜角為eq\f(π,3)的兩條直線，且這兩條直線之間的距離為eq\r(3).(1)求橢圓E的標準方程；(2)過F2與坐標軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點．過點A作與x軸垂直的直線與橢圓交于點Q，求證：直線QB過定點．

22.(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ex－1，g(x)＝asinx，a∈R.(1)若a＝－1，證明：當x≥0時，f(x)≥g(x)；(2)探討φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[0，π]上零點的個數．

2024～2024學年高三年級模擬考試卷(連云港)數學參考答案及評分標準1.D2.A3.C4.B5.C6.A7.D8.B9.AC10.BC11.ABD12.BCD13.－eq\f(1,4)14.0.49615.cosπx(常數函數也可，答案不唯一)16.(2，2)y2＝8x17.解：選擇①，設公差為d，因為S8＝72，a3＝6，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a1＋28d＝72，,a1＋2d＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝2n.(5分)因為bn＝2an，所以bn＝22n＝4n，an＋bn＝2n＋4n，所以Tn＝2(1＋2＋…＋n)＋41＋42＋…＋4n＝n(n＋1)＋eq\f(4（1－4n）,1－4)(10分)＝eq\f(4,3)(4n－1)＋n(n＋1)＝eq\f(4n＋1,3)＋n2＋n－eq\f(4,3).選擇②，設公差為d，因為S5＝6a2，所以5a3＝6a2.因為a3＝6，所以a2＝5，所以d＝1，所以an＝n＋3.(5分)因為bn＝2an，所以bn＝2n＋3＝8×2n，所以an＋bn＝8×2n＋n＋3，Tn＝8(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＋3n＝8×eq\f(2（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)＋3n＝16(2n－1)＋eq\f(n（n＋1）,2)＋3n＝2n＋4＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(7,2)n－16.(10分)選擇③，設公差為d，因為S6＝S4＋a5，可得S6－S4＝a5，即a6＋a5＝a5，所以a6＝0.因為a3＝6，所以d＝－2，所以an＝－2n＋12.(5分)因為bn＝2an，所以bn＝2－2n＋12＝212×2－2n，Tn＝－2(1＋2＋…＋n)＋12n＋212×(4－1＋4－2＋…＋4－n)＝－n(n＋1)＋12n＋212×(eq\f(1,4)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,4n))＝eq\f(212,3)[1－(eq\f(1,4))n]－n2＋11n.(10分)18.(1)證明：(證法1)由已知及正弦定理，得eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(1,sinB).因為eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(cosAsinC＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sin（A＋C）,sinAsinC)＝eq\f(sinB,sinAsinC)，所以eq\f(sinB,sinAsinC)＝eq\f(1,sinB)，sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即ac＝4，a＋c≥2eq\r(ac)＝4.(6分)(證法2)由已知及余弦定理，得eq\f(b2＋c2－a2,2abc)＋eq\f(a2＋b2－c2,2abc)＝eq\f(1,2)，得ac＝2b＝4，所以a＋c≥2eq\r(ac)＝4.(6分)(2)解：因為△ABC的周長為2＋3eq\r(2)，所以a＋c＝3eq\r(2).因為b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，又ac＝4，所以cosB＝eq\f(3,4)，所以sinB＝eq\f(\r(7),4).所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝2sinB＝eq\f(\r(7),2).(12分)19.解：(1)由表中數據知x＝3，y＝100，所以b＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－nxy,∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－nx2)＝eq\f(1410－1500,55－45)＝－9，(3分)所以a＝y－bx＝127，故所求回來直線方程為y＝－9x＋127.(6分)(2)由(1)知，令x＝9，則y＝－9×9＋127＝46人．(8分)(3)提出假設H0：“禮讓行人”行為與駕齡無關，由表中數據得χ2＝eq\f(70×（24×14－16×16）2,40×30×40×30)＝eq\f(14,45)≈0.311<2.706，(11分)所以沒有97.5%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關．(12分)20.(1)證明：取AC中點O，因為PA＝PC＝AC＝2，所以PO⊥AC，且PO＝2eq\r(3).連接OB，因為AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.(2分)由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(4分)(2)解：如圖，以O為坐標原點，eq\o(OB,\s\up6(→))的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq\r(3))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，2，2eq\r(3))．設M(a，2－a，0)(0≤a≤2)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(a，4－a，0)．(6分)設平面PAM的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\o(AP,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋\r(3)z＝0，,ax＋（4－a）y＝0，))取n＝(eq\r(3)(a－4)，eq\r(3)a，－a)．(8分)設PC與平面PAM所成角為α，又eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，2，－2eq\r(3))，則sinα＝|cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(4\r(3)a,4\r(3（a－4）2＋3a2＋a2))＝eq\f(\r(3),4)，所以3a2＋8a－16＝0.(10分)所以a＝eq\f(4,3)(舍負)，所以MC＝eq\f(4\r(2),3).(12分)21.(1)解：因為過橢圓E的左、右焦點傾斜角為eq\f(π,3)的兩條直線間的距離為eq\r(3)，所以sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2c)，所以c＝1.因為橢圓的離心率為eq\f(1,2)，所以a＝2，所以b＝eq\r(3)，故橢圓E的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(4分)(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：x＝my＋1，則Q(x1，－y1)．因為直線l與坐標軸不垂直，所以直線QB：y＋y1＝eq\f(y1＋y2,x2－x1)(x－x1)，所以y＝eq\f(y1＋y2,x2－x1)x－eq\f(x2y1＋x1y2,x2－x1)＝eq\f(y1＋y2,m（y2－y1）)x－eq\f(2my1y2＋y1＋y2,m（y2－y1）).(6分)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my＋1，))得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4)，(9分)所以y＝－eq\f(6,（3m2＋4）（y2－y1）)(x－4)，(11分)所以直線QB恒過定點(4，0)．(12分)22.(1)證明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1＋sinx，所以F′(x)＝ex＋cosx.當x∈(0，＋∞)時，e