珠海市2025屆高三第一次摸底考試

數學

本答案共15頁，分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選

項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上，

1.已知全集。={x|x〉。},集合2=x<2},則藥N=（）

A.（-oo,l]u[2,+oo）B.（0,1）U[2,+OO）

C.（-oo,l）u（2,+oo）D.（0,1）U（2,+CO）

2.復數z=—（i為虛數單位），z的共朝復數為（）

-3+i

A.—3—iB.—3+iC.3-iD.3+i

3.在△4SC中，。是BC上一點，滿足礪=3萬亍，〃是40的中點，若就=2麗+〃就，則4+〃=

4.已知點/（—1,0）,8（0,3）,點p是圓（x—3）2+/=1上任意一點，則面積的最小值為（）

119J1Q

A.6B.—C.-D.6-^—

222

5.一個內角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形

成的曲面圍成3個幾何體.這3個幾何體的體積從小到大之比為（）

A.1：V3:2B.l:3:4C.73:2:273D.也：2:屈

2l+?,x<0,

6.已知函數/（x）=<]og]（x+l）+a,x〉0,（aeR）在R上沒有零點，則實數0的取值范圍是（）

A.(-co,-l)U{0}B.(-oo,-l)C.(-l,+℃)D.(0,+oo)

7.函數/(x)=26sin2(Q"+sin12Gx+5],其中G〉0,其最小正周期為兀，則下列說法錯誤的是

()

A.69=1

B.函數/（x）圖象關于點6J對稱

5JT

C.函數/（X）圖象向右移。（。〉0）個單位后，圖象關于y軸對稱，則。的最小值為五

D.若xe0,-,則函數/（x）的最大值為JJ+1

8.若不等式bx+lWe-*-a/對一切xeR恒成立，其中a,6eR,e為自然對數的底數，則。+人的取值范

圍是（）

A.B.（-oo,-l）C.（-oo,l]D.（-CO,2）

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設48為隨機事件，且尸⑷,P（8）是/*發生的概率.P（N）,P（8）e（0,l）,則下列說法正確的是

（）

A.若4B互斥,則尸（Zu8）=P（Z）+尸（8）

B.若尸（48）=P（N）P（8）,則43相互獨立

C.若48互斥，則48相互獨立

口P（神）P伍岡P伍⑷尸同到和卒

P（/⑻P（B\A）P（B\A）「（z|萬）'

10.設/（x）=d-3x,則下列說法正確的是（）

A.函數y=/（%）的圖象與圓/+/=1有且只有兩個公共點

B.存在無數個等腰三角形ABD,其三個頂點都在函數y=/（%）的圖象上

C.存在無數個菱形ABCD,其四個頂點都在函數y=/（x）的圖象上

D.存在唯一的正方形ABCD,其四個頂點都在函數j=/（x）的圖象上

11.中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，中國結有著復

雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系xQy中，到兩定點

片（-氏0）,乙（氏0）距離之積為常數/的點的軌跡c是雙紐線.若兇（3,0）是曲線c上一點，則下列結論

正確的是（)

A.曲線C的圖象關于原點對稱

B.曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）

C.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

D.曲線C上有且僅有3個點P滿足|「罵|=|尸6|

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線y^ax-e與曲線C：了=xlnx相切，則a=.

22

13.已知點尸在雙曲線C：工-匕=1上，片，鳥分別是雙曲線C的左、右焦點，若△■鳥的面積為45,

6436

則戶用+|0閭=.

14.甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成績為72分，方差為90分2；

乙班的平均成績為90分，方差為60分2.那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是分，方差

是分2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在A/BC中，角/，瓦。的對邊分別為其中玩=（a,b）,亢=（cos5,[sin/],且慶.拓=c.

（1）求sin/的值；

（2）若A/BC的外接圓半徑為5,求A/BC面積的最大值.

16.（15分）

如圖，三棱柱ABC-481G中，側面4BBH±底面ABC,AB=AAX=AC=2,BC=2&/48片=60°,

點。是棱4片的中點.

（1）證明：AD1BC；

（2）求面48C與面48C夾角的正切值.

17.（15分）

已知橢圓C：W+,=l（a〉b〉0）的左、右焦點分別為片，鳥，且閨閶=4正，點M2亞，孚j在

橢圓。上，直線/：＞=》+/.

（1）若直線/與橢圓C有兩個公共點，求實數1的取值范圍；

（2）當:2時，記直線/與x軸，了軸分別交于43兩點，P,。為橢圓。上兩動點，求四邊形尸面

積的最大值.

18.（17分）

設函數/(x)=lnjx+-

xe(0.1).

（1）試判斷/'（x）的單調性；

⑵證明：對任一有—/）+/（%），當且僅當x=x0時等號成立.

（3）已知X/eR+（，=l,2,3,…，社￡”=1,證明：T7x,.+-..（其中

日后Ixi）In）

"a,=a^a2-a3.......an)

Z=1

19.（17分）

對于數列｛4,｝,若存在常數T,〃o（T,〃0eN*）,使得對任意的正整數〃2〃°,恒有a,”=。“成立，則稱

數列｛%｝是從第〃o項起的周期為7的周期數列.當〃o=l時，稱數列｛。〃｝為純周期數列；當〃022時，稱

數列｛%｝為混周期數列.記卜]為不超過x的最大整數，設各項均為正整數的數列｛??｝滿足：

今,%為偶數,

i=4

aW+1]

%1+2眈2削％為奇數.

（1）若對任意正整數〃都有%N1,請寫出三個滿足條件的為的值；

（2）若數列｛%｝是純周期數列，請寫出滿足條件的％的表達式，并說明理由；

（3）證明：不論《為何值，總存在加,〃eN*使得4=2'"—L

珠海市2025屆高三第一次摸底考試答案（詳解版）

數學

本答案共15頁，分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選

項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.【答案】B

【解析】因為全集。={x|x〉0},集合/={xll,x＜2},由補集的運算可得藥2={疝)＜》＜1或乂.2}或

x>2},對應區間為(0,1)D[2,+8).

2.【答案】B

【解析】法一az(_3+i)=10=|-3+i|2,且z,=|z,.牙=-3+i.

1010(-3-i)

法二:二—3—i,.\z——3+i

-3+i(-3+i)(-3-i)

3【答案】C

——>1—?1—?

【解析】是4D的中點，...9=—A4+—AD,

22

__?__?__?3__?

又?/BD二3DC,BD=-BC,

4

——?1—?3—?137

從而得到A4+—BC,進而可知4=〃=一.

28288

4【答案】D

【解析】由/(—1,0),8(0,3)可得：\AB\=yl(-r)2+32=V10，直線48方程為>=3x+3,

圓(x—3)2+/=1的圓心半徑廠=1,

1212

點C到直線/5：3x—y+3=0的距離d=

#+(-1)2VTo

12,

因此點P到直線AB距離的最小值為d7-r=k-1,

Vio

所以△尸48面積的最小值是,X

2

5.【答案】C

【解析】如圖所示，如圖所示，RtA48C中=30°，不妨設BC=1,/C=百,45=2.

繞BC旋轉得到圓錐，其體積為匕=；兀?(行了x1=兀，

繞AC旋轉得到圓錐，其體積為匕=；兀.12x6=^^,

、2

c兀

繞A8旋轉得到兩個共底面的圓錐，其體積為匕=；兀?x2=—

2

顯然匕〈匕〈仆勺匕:匕后^:兀=6:2:26

可轉化為g(x)圖象與函數V=一。圖象沒有交點,

數形結合可得-。〉1或-。=0,

實數。的取值范圍是(一.

7.【答案】D

【解析】對于選項A：/(x)=2V3sin2(?x)+sin|2?x+—=V3-sinf2?x+yj,最小正周期為兀,

13

271

而7=——=兀，所以69=1;

2(0

對于選項B：由三角函數的對稱性可知,函數/(X)的對稱中心為-?

k26

對于選項C：函數/(x)的圖像向右平移(p((p>0)個單位后得到g(x),

即g(x)=g_sin2o)x-2(p+—

又g(x)=g_sin.2a)x-2(p+—關于V軸對稱,

所以女—2。二巴+左兀,左￡Z,可得0=---Tl.k€Z,

32122

所以，當左二一1時，。二5一兀是最小的；

12

JT7T7T471(71I

對于選項D：因為xe0,—,貝!]2x+—e—,一，所以sin|2&x+-|e

(

函數/(x)的最大值為6--

8.【答案】A

【解析】法一：：不等式Z?x+L,e"^-a/對一切xeR恒成立o

不等式(aV+bx+l)—,1對一切xeR恒成立,

故，今/(x)=(蘇+桁+1忖，則有/⑼=1；

故，不等式bx+L,尸-a/對一切xeR恒成立⑼恒成立,

顯然，0.

又/'(X)=e*[分+(2a+b)x+b+1],則f(0)=Z?+1=O=>6=-1,

f(x)=ex^ax2+(2a+l)x]=xex(ax+2tz-1),

當4=0時，/(x)在(_”,0)上遞增，(0,+力)上遞減，/(x),,/(o)符合題意;

1一2。--如,。］上遞增，(0,+力)上遞減,

當。<0時，/(x)在一叫--上--遞--減,

a

1_O/y

易知當x<-----時，ax2-x+1<0=>/(x)<0,故/(X),,/(0)符合題意.

a

綜上，a,,O,Z>=-1,因此a+—

法二：不等式(依2+陵+1,；，1可化為"2+6x+i,e-\

令f(x)=ax1+Z?x+1,g(x)=尸,

當a=0時，f(x)=ax2+bx+1=bx+1,此時，直線/(x)恒過點(0,1),

故，只需直線/(x)=bx+l為g(x)=eT在點(0,1)處的切線即可，

易得b=,此時a+b=—1.

當aw0時，/(x)亦恒過點(0,1),

為使《?+樂+1<e-'對一切xeR恒成立，

只需/(x)=。必+桁+1開口向下，且在點(0,1)處與g(x)=「有公切線即可，

a<0

故在⑼=b=-1，此時一L

綜上，a+6的取值范圍是a+be(-8,—1].

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，

9.【答案】ABD

【解析】對于選項A,B,C：根據事件互斥、事件獨立的定義，可判定A和B正確，C錯誤；

什干法市np(刁8)P(回團P(BA)P(B)P(茄)P(團P(AB)

P(削B)P(B\A)P(B)P(AB)P(A)P(A)P(AB)

P(聞Z)P(刁豆)P(豆A)P(A)P(麗P(B)P(AB)

P(B\A)P(Z|5)—P(A)P(AB)P(萬),P(AB)-P(AB)

P(A\B)P(B\A)P(B\A)P(2|5)

所以,/i、,/i—、與、,/i—、相寸,D正確.

P(削B)P(B\A)P{B\A)P(AlB)

10.【答案】ABC

【解析】/(x)為奇函數，/V)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

當》6(-00,-1)。(1，+8)時，f'(X)>0>

當時，f'(x)<0,

則/(X)在(-巴T)，(l，+⑹上單調遞增，在(T」)上單調遞減，

又/(-1)=-1+3=2J(1)=1-3=-2,

對于選項A：函數y=/(x)與圓/+/=i的圖象如圖所示：

故，函數y=/(x)與圓/+/=1有且只有兩個公共點，

故，A正確；

對于選項B,C：由于函數y=/(x)的圖象關于坐標原點。中心對稱，

過點。作直線交/(X)的圖象于民。兩點，

過點。作8。的垂線交/(X)的圖象于ZC兩點，

則為等腰三角形，四邊形48CD為菱形，

當線段繞點。轉動時，

△46。仍為等腰三角形，四邊形4BCD仍為菱形，故選項B,C均正確；

對于選項D：由于/(-1)=一》3+3x=-/(x),

故，要使得正方形存在，則為等腰直角三角形.

顯然，當8(—1,2)時，08=石，點(2,1)在函數圖象外側，則Q4〈后,

此時OB>OA.

利用極限思想，當08—0時，OA—■6,此時08<CU；

當03—>百時，1f+8,此時

如圖所示，故至少存在兩個正方形.故D錯誤.

11.【答案】AC

【解析】對于選項A：

.附|=J(x+ay+y2.J(x—a)2+y2=a\

化簡得到：12+了2)2=2/12一/),

將可(3,0)代入可得2a2=9,

所以曲線。：1+72）2=912—/）.

把（一X,-#代入（/+/丫=9_力得卜2+/丫=912一力，

所以，曲線。的圖象關于原點對稱，

故，A正確；

對于選項B：令y=0解得x=0,x=±3,即：曲線經過（0,0）,（3,0）,（—3,0）,

結合圖象，得一3”天,3.

今戶±1,得/J+/<],

2

令x=±2,得1<y-=----------<2，

2

因此,結合圖象曲線C只能經過3個整點（0整）,（3,0）,（—3,0）.

故，B錯誤；

對于選項C：+/）2=9（必一可得/+y2——9，

所以，曲線。上任意一點到坐標原點。的距離4=尸衣，3，

即：都不超過3,故C正確；

對于選項D：點尸滿足盧片|=|尸閭，則尸在石可垂直平分線上，則馬=0,

2

設尸倒，匕,），則（[小+%）=ayp=0,

故，只有原點滿足，

故，D錯誤.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】a=2

【解析】曲線C：y=x\wc在x=/處的切線方程為y=（lnx0+l）x-x0,

令—X。=—e,則有X。=e,從而a—luxg+1=2,填a=2.

13.【答案】25

【解析】由已知得，雙曲線的實半軸長為a=2,虛半軸長為6=6,

則右焦點的橫坐標為c=yla2+b2=10，

設點尸（Xp/J,則=；x2cyp=；x20xyp=45,所以凡|=g.

由雙曲線的對稱性，不妨取點尸的坐標為10《），顯然產鳥上片g,|PR|=q,

由雙曲線的定義,得歸41=1尸閶+2a,

所以，|「周+|0月|=2戶6|+2a=9+16=25.

470

14.【答案】80,—

3

【解析】根據課本公式：x=—x72+—x90=80,

9090

2

52糕[90+(72-80)2]+熬60+"(J_80)]=iZ2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,

15.【解答】

3

解：解：(1)由題意可得，m-n=acosB-^—bsinA=c,

4

3

由正弦定理可知，siib4cos5+—sinSsirvl=sinC.

4

,/在AABC中，4+5+C=兀,sin(4+3)=sinC,

.3..3..

/.siiL4cos5+—sin5siiL4-siib4cos3+cosZsiafi,即：—sin_5siiL4=sin5cos/.

44

A.B€(0,7i),sin_5w0,

,4siih44

taii/l——,即an：----——.

3cosA3

4

又si/N+cos?4=1,解得siiL4=1.

ahc

(2)由正弦定理可知，——=27?,

sim4sinfisinC

4

V7?=5SIIL4=—,

?5

a=8.

由余弦定理可知，=/+°2—26ccos4，即：64=〃+。2一1be,

由基本不等式可知，b2+c2>2bc^當且僅當力二。時等號成立，

可得64…26c—gbe,即：be,,80.

17?,

??s二—besinA,

?口“BC2

17?,14

=—besinA,,—x80x—=32.

一口A

ABC25

所以，面積的最大值為32.

16.【解答】

證明：（1）連接/月，

???48C—481G是三棱柱，

48片4是平行四邊形.

ZAAXB=ZABB,=60°,反=AB=，

：.^AAXB定等邊三角形.

又?.?。是4瓦的中點,

AD±AXBX,

AD±AB

又,:平面ABBXA±平面ABC,平面ABBXAn平面ABC=AB,

.-.40,面45c

AD±BC

解：（2）由（1）得40,面48C,

AD±AB,AD±AC.

,:AB=AC=2,BC=25,

AB2+AC2=5c2,即:1AC,

兩兩垂直.

故，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

*

/

I'.1;/y

H

f

則/（0,0,0）,8（2,0,0）,。（0,2,0），4卜1,0,6），

乖=0,0,-間,鴕=（-2,2,0）.

設面48c與面48C的法向量分別為龍，萬，

?/ADl^ABC,

???不妨取比=(o,o,i).

設為=(x,y,z),

48,萬=0=px—Gz=0=]z=A/5X

BC-n=0\-2x+2y=01x=y

取x=i,得為=(1,1,G).

_\mnV15

Kn)=r-7=------.

/m\n\5

設面ABC與面ABC的夾角為a,

17nlV15.—V10,sintzV6

貝ijcos。=----,sma=A/1—COSa----,tancr=-----=——,

55coscif3

所以，面48C與面48C的夾角的正切值為*5.

3

17.【解答】

解：⑴由題意可得，2c=4^歷nc=20,川一20,0),馬(2\/^,0卜

22

所以，榔圓的方程為土+工=1.

124

y=x+t

聯立方程組《W整理得4爐+6及+3/2—12=0.

1124

???直線/與橢圓C有兩個公共點,

A=36t2-4x4x(3〃-12)>0,

解得一4</<4,

：.實數/的取值范圍為(-4,4).

(2)當/=2時，直線/的方程為y=x+2,

?./(-2,0),3(2,0),|羽=2死

由題意可知，點尸或。到直線/距離的最大值O

與直線/平行且與橢圓C相切的直線/與直線/間的距離.

由(1)中的A=36/一4x4x(3/—12)=0,解得/=4或/=一4,

此時得直線4：x—y—4=0或直線/2：x—>+4=0與橢圓C相切,

k與/之間的距離4="尸=3收力與/之間的距離4==V2，

V272

所以，四邊形R4Q5面積的最大值為S=；x|4B|x?+d2)=8.

18.【解答】

解：⑴/(x)=to(°』)

X)

42

???小)=-^壬-x+4x+1_4/+(1+*)(1一*)

,/'(x)=2

x\X+1X3+xx3+X)

,/0<x<1

1-x2>0

4x2+(l+x2

>0

x3+x2

故，/'(x)在(o/)上單調遞增.

⑵令g(x)=/(x)-[/"o)(x-Xo)+/(xo)],

則g(xo)=/(x。)—[/'(Xo)(x—Xo)+/(Xo)]=O,g'(x)=/'(xo)-f'(x0)

又,.?/'(x)在(0,1)上單調遞胤

.?.當0<x</<1時，/'(x)</'(xo)ng'(x)=/'(x)—/'(xo)<o；

ff

當0"<x<l時，f(xo)<f(x)=>g(x)^f(x)-P(xo)>O；

,,

當x=x0時，g(x)=f(x)-f(xo)=o；

故，g(x)在X=Xo處取最小值g(%o),

即：g(x)>g(xo)=o,

r

從而，f(x)-[f(x0)(x-x0)+f(x0

,

即：/(x)../(x0)(x-x0)+/(x0).

(3)xi+—〉°,

XJ

n

1

要證nX：+—〃+一

日ixiJn

(

1、...In

只需證Inn為+—[n-\—

i=l<、7

1...72-Inf72+—j.

即證Zinx.+—*

X

Z=1j)

顯然,當￡.=L(/.=1,2,…川時，不等式(*)中等號成立.

n

xl

令/(x)Tn+

X

由(2)可知：成立,

少⑶…牛［力%-力+巾+小

即:

而“(x)4++；

n

)+如"力卜《二臥T+〃」n"

f■X「

Ei=l_In

/n］、

歷一叱+〃in出

=?lnL+-

、

.》n\j…〃In]〃H—j成立,

i=lXi.7

n

從而fl1、??〃+:

X-H-----,成立,

7=1kxiJ

19.【解答】

解：（1）.?.對任意正整數”都有71,

①取4=2,則成=（=1,不符合題意；

②取4=3,則出=1+2口叫=321+20嗎斗=1+2=3,%=%=…=%=3,

此時，數列｛%｝為常值數列｛3｝；

③取4=4,則外=?=2,%=/=1，不符合題意；

-

④取4=5,則&=~~—I21哨"」=2+2?=6,a3==3,%=…=%=3

5,〃=1;

此時，數列｛%｝的通項%=<6,n=2;

3,

⑤取4=6,則出=?=3,生=%1+21嗎/=〔1+20嗎斗=3,%=…=%=3,

，、f6,?=1;

此時，數列｛%｝的通項§>2

綜上所述，滿足條件的三個4分別為3,5,6.

（答案不唯一，符合要求即可給分）

（2）按（1）的思路，取：

①取4=1,則a2=~~+20°也引=1,%=%=…=%=L?

此時，數列｛%｝為常值數列｛1｝,亦為純周期數列；

②取4=2，則出=T=L。3=。4=…=1，

此時，數列｛4｝的通項為混周期數列；

③取q=3,則出—。，21+2"陶。1]=+2^°82^=1+2=3,%=%=…=冊—3,

此時，數列｛4｝為常值數列｛3｝,亦為純周期數列；

④取a1=4,則和=；=2,%=g=L%=…=%=1，

4〃=1;

此時，數列｛4〃｝的通項為=2,〃=2;為混周期數列；

1,n.3

2

⑤取％=5,則a2=1+—2+2=6,%==3,%=…=%=3,

5,〃=1;

此時，數列｛4｝的通項為=6,〃=2;為混周期數列；

3,72