安徽省蚌埠市田家炳中學、五中2025屆數學高二上期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六2．九連環是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串，按一定規則移動圓環的次數決定解開圓環的個數.在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環所需的最少移動次數，若數列滿足，且當時，則解開5個圓環所需的最少移動次數為（）A.10 B.16C.21 D.223．數列，則是這個數列的第（）A.項 B.項C.項 D.項4．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.6．已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.807．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：38．已知數列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數列 D.,,成等比數列9．已知函數，則（）A.3 B.C. D.10．若直線與平行，則實數m等于（）A.1 B.C.4 D.011．已知數列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.6412．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正三角形邊長為a，則該三角形內任一點到三邊的距離之和為定值.類比上述結論，在棱長為a的正四面體內，任一點到其四個面的距離之和為定值_____.14．圓錐曲線有良好的光學性質，光線從橢圓的一個焦點發出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發，經過點F2，然后在曲線E內多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經過的路程為_________.15．過點作斜率為的直線與橢圓相交于、兩個不同點，若是的中點，則該橢圓的離心率___________.16．若直線與直線平行，則直線與之間的距離為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）王同學入讀某大學金融專業，過完年剛好得到紅包6000元，她計劃以此作為啟動資金進行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費，余款作為資金全部投入下個月，如此繼續.設第n個月月底的投資市值為an.（1）求證：數列{-5000}為等比數列；（2）如果王同學想在第二年過年的時候給奶奶買一臺全身按摩椅（商場標價為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？18．（12分）已知函數，其中，.（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）求函數的單調區間.19．（12分）已知橢圓經過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點，使MN//平面PAB？說明理由21．（12分）已知點，，雙曲線C上除頂點外任一點滿足直線RM與QM的斜率之積為4.（1）求C方程；（2）若直線l過C上的一點P，且與C的漸近線相交于A，B兩點，點A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.22．（10分）已知數列為等差數列，公差，前項和為，，且成等比數列（1）求數列的通項公式（2）設，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：2、D【解析】根據題意，結合數列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據題意，由，得.故選：D.3、A【解析】根據數列的規律，求出通項公式，進而求出是這個數列的第幾項【詳解】數列為，故通項公式為，是這個數列的第項.故選：A.4、C【解析】根據題意求出P點坐標，代入橢圓方程中，可整理得到關于a,c的等式，進一步整理為關于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標為，將P點坐標為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.5、A【解析】根據等邊三角形的面積求得邊長，根據角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得根據拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A6、C【解析】利用等差數列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數列，，∴，得，∴.故選：C.7、A【解析】求出橢圓的焦點坐標，再根據點在橢圓上，線段的中點在軸上,求得點坐標，進而計算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設點坐標為，線段的中點為，因為線段中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.8、C【解析】寫出數列前幾項，觀察規律，找到數列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數列中，，，，則此數列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數列的各項是周期為6數值循環重復的一列數，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構成等比數列.判斷錯誤.故選：C9、B【解析】由導數運算法則求出導發函數，然后可得導數值【詳解】由題意，所以故選：B10、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B11、A【解析】根據題中條件，得出數列公差，進而可求出結果.【詳解】由得，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數列的基本量運算，屬于基礎題型.12、A【解析】根據直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正四面體內任一點可將正四面體分成四個小四面體，令它們的高分別為，由體積相等即可求得；【詳解】正三角形邊長為a，則該三角形內任一點到三邊的距離分別為，即有：，解得同理，棱長為a的正四面體內，任一點到其四個面的距離分別為，即有：，解得故答案為：【點睛】本題考查了利用空間幾何體的等體積法求高的和為定值，屬于簡單題；14、【解析】結合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學性質求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點重合.根據雙曲線的定義有，所以①，②，根據橢圓的定義由，所以路程.故答案為：15、【解析】利用點差法可求得的值，利用離心率公式的值.【詳解】設點、，則，由已知可得，由題意可得，將兩個等式相減得，所以，，因此，.故答案為：.16、【解析】由直線平行求參數m，再利用平行直線的距離公式求與之間的距離.【詳解】由題設，，即，所以，，所以直線與之間的距離為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關系，變形后利用等比數列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數列的通項公式求出，再求出，再計算即可得出結論.【小問1詳解】依題意，第1個月底股票市值則又∴數列是首項為1200，公比為1.2的等比數列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學將一年理財投資所得全部取出來是足夠的.18、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）當時，，求出函數的導函數，再求出，，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出函數的導函數，再對參數分類討論，求出函數的單調區間；【詳解】解：（1）當時，，所以，所以，，所以切線方程為：，即：（2）函數定義域為，，因為，①當時，在上恒成立，所以函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；②當時，由得，由得，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為【點睛】本題考查導數的幾何意義，利用導數研究含參函數的單調區間，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結合焦點的坐標、橢圓中的關系進行求解即可；（2）根據直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式、根與系數關系、弦長公式、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設，，由得由得．由，得當且僅當，即時等號成立當直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為20、（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）為中點，連接，由中位線、線面平行的性質可得四邊形為平行四邊形，再根據線面平行的判定即可證結論；（2）取中點N，連接，，根據線面、面面平行的性質定理和判斷定理即可判斷存在性【小問1詳解】如下圖，若為中點，連接，由E是PD的中點，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.小問2詳解】取中點N，連接，，∵E，N分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，線段存在點N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的動點，平面，∴平面PAB，∴線段存在點N，使得MN∥平面21、（1）（2）1【解析】（1）由題意得，化簡可得答案，（2）求出漸近線方程，設點，，，，，由可得，代入雙曲線方程化簡可得，然后表示的坐標，再進行數量積運算，化簡后利用基本不等式可得答案【小問1詳解】由題意得，即，整理得，因為雙曲線的頂點坐標滿足上式，所以