-2025學年上海市虹口區豐鎮中學九年級（上）月考數學試卷（9月份）一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）已知，則下列等式中，正確的是A． B． C． D．2．（4分）下列各組線段中，能夠組成比例的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，3．（4分）下列各組圖形中，不一定相似的是A．一組鄰邊對應成比例的兩個矩形 B．兩個頂角相等的等腰三角形 C．有一個內角相等的兩個菱形 D．有兩條邊對應成比例的兩個直角三角形4．（4分）在△中，點、分別在邊、上，下列條件中，能判定的是A． B． C． D．5．（4分）下列四個三角形，與圖中的三角形相似的是A． B． C． D．6．（4分）如圖，在△中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點、分別在邊、上，如果恰好經過△的重心，那么的長為A．1 B． C． D．2二、填空題（共12題，每題4分，滿分48分）.7．（4分）已知三條線段、、，線段，線段，且線段是線段、的比例中項，則線段．8．（4分）兩個相似三角形的相似比為，周長之差為，則較大三角形的周長為．9．（4分）已知點是線段上黃金分割點，且，如果，那么．10．（4分）已知等邊三角形的邊長為，該三角形的重心到一個頂點的距離為．11．（4分）如圖，若，，，，則長為．12．（4分）如圖，點是平行四邊形邊延長線上一點，交于點，如果，那么．13．（4分）如圖，在中，點在邊上，若，，，則的長為．14．（4分）如圖，在△中，是斜邊上的高，若，，則．15．（4分）如圖，正方形內接于，點、在上，點、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長為．16．（4分）如圖，在△中，若，且，則的值為．17．（4分）如圖，已知是△的中線，，、相交于點，則．18．（4分）如圖，點E是正方形ABCD邊AD上的一點（E與A不重合），將線段BE繞著它的一個端點旋轉，使另一個端點落在DA的延長線上的F處，并作正方形AFGH，若H是線段AB的一個黃金分割點，且AH＞BH，則AE：AB的值是．三、解答題（共7題，滿分78分）.19．已知，且，求的值．

20．如圖，在△中，，．（1）若，求的長；（2）若，求．21．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點、、、均在格點上．在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的正方形網格中，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）如圖①，．（2）如圖②，在上找一點，使．（3）如圖③，在上找一點，連接、，使．

22．近期《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，同時也因其對中國地理風貌和中國古建筑、塑像、壁畫等文化寶藏的精細還原，成為文旅界關注的對象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊，也為當地文旅產業帶來新的發展機遇，更為山西的文化元素提供了一個面向全球游戲玩家群體的數字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區．某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，過程見下表．主題跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度測量方案及示意圖測量步驟步驟1：把長為2米的標桿垂直立于地面點處，塔尖點和標桿頂端確定的直線交水平于點，測得米；步驟2：將標桿沿著的方向平移到點處，塔尖點和標桿頂端確定的直線交直線于點，測得米，米；（以上數據均為近似值）根據表格信息，求飛虹塔的大致高度．

23．如圖，在中，，平分，作交于點，垂足為．作，垂足為．（1）求證：．（2）求證：．

24．在平面直角坐標系中，直線經過點，與軸交于點，與軸交于點．（1）求點、點的坐標；（2）若點為直線上的點，且，直接寫出點的坐標；（3）在直線上是否存在點，使得△與△相似，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

25．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，點D、E邊BC上（點E在點D右側，點D不與點B重合），∠DAE＝∠C，過點B作BF∥AC，交AD的延長線于點F．（1）當AF⊥BC時，求線段CE的長；（2）設CE＝x，BF＝y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（3）連接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的長．

參考答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知，則下列等式中，正確的是A． B． C． D．解：，設，，．由比例的性質得到，故本選項不符合題意；．，故本選項不符合題意；．，故本選項不符合題意；．，故本選項符合題意；故選：．2．（4分）下列各組線段中，能夠組成比例的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，解：、，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意；、，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意；、，故此選項中四條線段成比例，符合題意；、，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意，故選：．3．（4分）下列各組圖形中，不一定相似的是A．一組鄰邊對應成比例的兩個矩形 B．兩個頂角相等的等腰三角形 C．有一個內角相等的兩個菱形 D．有兩條邊對應成比例的兩個直角三角形解：．一組鄰邊對應成比例的兩個矩形，對應角都是直角，一定相似，故本選項不符合題意；．兩個頂角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本選項不符合題意；．有一個內角對應相等的兩個菱形其他角也相等，菱形四條邊相等，對應邊成比例，故一定相似，故本選項不符合題意；．有兩條邊對應成比例的兩個直角三角形，不一定相似，故本選項符合題意；故選：．4．（4分）在△中，點、分別在邊、上，下列條件中，能判定的是A． B． C． D．解：．，，故該選項符合題意；．，則，不能判定，故該選項不符合題意；．，則，不能判定，故該選項不符合題意；．，不能判定，故該選項不符合題意，故選：．5．（4分）下列四個三角形，與圖中的三角形相似的是A． B． C． D．解：通過勾股定理可得到已經圖形的三條邊分別為，2，，所以三邊之比為、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，1，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，1，，所以三邊之比為，與已知圖形之比一樣，故兩個三角形相似，故符合題意；、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，3，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，2，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；故選：．6．（4分）如圖，在△中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點、分別在邊、上，如果恰好經過△的重心，那么的長為A．1 B． C． D．2解：設△的重心是，連接，延長交于，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，．故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知三條線段、、，線段，線段，且線段是線段、的比例中項，則線段．解：線段是線段、的比例中項，，，，故答案為：．8．（4分）兩個相似三角形的相似比為，周長之差為，則較大三角形的周長為45．解：兩個相似三角形的相似比為，設較大三角形的周長為，則較小三角形的周長為，依題意，，解得，，故答案為：45．9．（4分）已知點是線段上黃金分割點，且，如果，那么．解：，，，設，則，解得：或（舍去），故答案為：．10．（4分）已知等邊三角形的邊長為，該三角形的重心到一個頂點的距離為．解：如圖，設點是等邊△的重心，連接并延長交于，是等邊△的重心，也是等邊△的外心和內心，在三條邊的垂直平分線上，，，△是等邊三角形，，是等邊△的內心，平分，，在△中，，，解得，，它的重心到一個頂點的距離為，故答案為：．11．（4分）如圖，若，，，，則長為2．解：，．，，，，解得．故答案為：2．12．（4分）如圖，點是平行四邊形邊延長線上一點，交于點，如果，那么．解：四邊形為平行四邊形，，，，，，，，△△，，．故答案為：．13．（4分）如圖，在中，點在邊上，若，，，則的長為．解：，，，，，，，，或（舍去），故答案為：．14．（4分）如圖，在△中，是斜邊上的高，若，，則．解：在△中，，，．，．，△△，，即，解得．故答案為：．15．（4分）如圖，正方形內接于，點、在上，點、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長為．解：設正方形的邊長為，則，．四邊形是正方形，．．又，．，，，，，解得．故答案為：．16．（4分）如圖，在△中，若，且，則的值為1．解：，，，△△△，，，，，△△△，，，，，故答案為：1．17．（4分）如圖，已知是△的中線，，、相交于點，則．解：過作交于，是△的中線，，，，△△，，，，，，，，，△△，，，，，，，，故答案為：．18．（4分）如圖，點E是正方形ABCD邊AD上的一點（E與A不重合），將線段BE繞著它的一個端點旋轉，使另一個端點落在DA的延長線上的F處，并作正方形AFGH，若H是線段AB的一個黃金分割點，且AH＞BH，則AE：AB的值是．解：如下圖所示，根據旋轉的性質得BF＝BE，∵AB⊥EF，∴AF＝AE，∵H是線段AB的一個黃金分割點，且AH＞BH，∴，∵正方形AFGH，∴AE＝AH，∴，故答案為：．三、（本大題共7題，滿分0分）19．已知，且，求的值．解：設，則，，，，，解得：，，，，．20．如圖，在△中，，．（1）若，求的長；（2）若，求．解：（1），，，△△，，，，則，，；（2）如圖：過點作，由（1）得，，，，，，．，，．21．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點、、、均在格點上．在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的正方形網格中，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）如圖①，．（2）如圖②，在上找一點，使．（3）如圖③，在上找一點，連接、，使．解：（1），，，，，，故答案為：；（2）如圖②，點即為所求；（3）如圖③，點即為所求22．近期《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，同時也因其對中國地理風貌和中國古建筑、塑像、壁畫等文化寶藏的精細還原，成為文旅界關注的對象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊，也為當地文旅產業帶來新的發展機遇，更為山西的文化元素提供了一個面向全球游戲玩家群體的數字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區．某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，過程見下表．主題跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度測量方案及示意圖測量步驟步驟1：把長為2米的標桿垂直立于地面點處，塔尖點和標桿頂端確定的直線交水平于點，測得米；步驟2：將標桿沿著的方向平移到點處，塔尖點和標桿頂端確定的直線交直線于點，測得米，米；（以上數據均為近似值）根據表格信息，求飛虹塔的大致高度．解：設米，米．，△△，，，，，，，△△，，，，，，，，，經檢驗，是原方程的解，，，經檢驗，是原方程的解，答：飛虹塔的高度為47米．23．如圖，在中，，平分，作交于點，垂足為．作，垂足為．（1）求證：．（2）求證：．【解答】證明：（1），，，又，，，即；（2）平分，．，，在和中，，，，，．又，，．，，，，即，．24．在平面直角坐標系中，直線經過點，與軸交于點，與軸交于點．（1）求點、點的坐標；（2）若點為直線上的點，且，直接寫出點的坐標；（3）在直線上是否存在點，使得△與△相似，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）在平面直角坐標系中，直線經過點，與軸交于點，與軸交于點．將代入得：，解得，直線，當時，，，當時，，解得，；（2）點為直線上的點，且，如圖1所示，當點在第三象限時，記為點，過點軸，，，，△△，，，，，，；如圖1所示，當點在第二象限時，記為點，過點軸，，，，△△，，，，，，；綜上所述，點的坐標或；（3）在直線上存在點，使得△與△相似；理由如下：如圖3所示，當點在第三象限時，過點作軸，，，，，，，即，，△與△不相似；如圖4所示，當點在第一象限時，過點作軸，設，，，，當時，△△，，△△，，即，，經檢驗，是原方程的解，．如圖5所示，當點在第二象限時，過點作軸，設，，，，當時，△△，，，△△，，即，，經檢驗，是原方程的解，，，，綜上所述，在直線上存在點，使得△與△相似；，或，．25．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，點D、E邊BC上（點E在點D右側，點D不與點B重合），∠DAE＝∠C，過點B作BF∥AC，交AD的延長線于點F．（1）當AF⊥BC時，求線段CE的長；（2）設CE＝x，BF＝y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（3）連接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的長．解：（1）如圖1所示：∵AB＝AC＝4，AF⊥BC，∴，在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴，在Rt△ADE中，∠DAE＝∠C，∴，∴；（2）解：∵BF∥AC，∴∠FBC＝∠C＝30°，∠BFA＝∠CAD，∴△ADC∽△FDB，∴，即，解得，在△FDB和△EDA中，∠FBD＝∠DAE＝30°，∠FDB＝∠ADE，∴∠BFD＝∠AED，∵∠