江蘇省大豐區新豐中學2025屆高一上數學期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列運算中，正確的是（）A. B.C. D.2．已知，則直線ax+by+c=0與圓的位置關系是A.相交但不過圓心 B.相交且過圓心C.相切 D.相離3．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形4．已知集合，，，則（）A. B.C. D.5．函數y＝的定義域是（）A. B.C. D.6．已知點是第三象限的點，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是（）A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝08．已知函數，若圖象過點，則的值為（）A. B.2C. D.9．已知某種樹木的高度（單位：米）與生長年限t（單位：年，）滿足如下的邏輯斯諦（Logistic）增長模型：，其中為自然對數的底數，設該樹栽下的時刻為0，則該種樹木生長至3米高時，大約經過的時間為（）A.2年 B.3年C.4年 D.5年10．函數在單調遞增，且為奇函數，若，則滿足的的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設當時，函數取得最大值，則__________.12．已知函數，若時，恒成立，則實數k的取值范圍是_____.13．已知正三棱柱的所有頂點都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為2，高為，則球的表面積為________14．冪函數為偶函數且在區間上單調遞減，則________，________.15．在中,邊上的中垂線分別交于點若,則_______16．函數在區間上的單調性是______．（填寫“單調遞增”或“單調遞減”）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）利用函數單調性定義證明：函數是減函數；（2）已知當時，函數的圖象恒在軸的上方，求實數的取值范圍.18．已知函數（1）求證：在上是單調遞增函數；（2）若在上的值域是，求a的值19．空氣質量指數是定量描述空氣質量狀況的指數，空氣質量指數的值越高，就代表空氣污染越嚴重，其分級如下表：空氣質量指數空氣質量類別優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染現分別從甲、乙兩個城市月份監測的空氣質量指數的數據中隨機抽取天的數據，記錄如下：甲乙（1）估計甲城市月份某一天空氣質量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個城市的統計數據中任取一個，求這兩個數據對應的空氣質量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質量指數的方差為．從甲城市月份空氣質量指數的數據中再隨機抽取一個記為，若，與原有的天的數據構成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數據構成新樣本的方差記為，試比較、、的大小．（結論不要求證明）20．6月17日是聯合國確定的“世界防治荒漠化和干旱日”，旨在進一步提高世界各國人民對防治荒漠化重要性的認識，喚起人們防治荒漠化的責任心和緊迫感.為增強全社會對防治荒漠化的認識與關注，聚集聯合國2030可持續發展目標——實現全球土地退化零增長.自2004年以來，我國荒漠化和沙化狀況呈現整體遏制、持續縮減、功能增強、成效明顯的良好態勢.治理沙漠離不開優質的樹苗，現從苗圃中隨機地抽測了400株樹苗的高度（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中實數的值和抽到的樹苗的高度在的株數；（2）估計苗圃中樹苗的高度的平均數和中位數.（同一組中數據用該組區間的中點值作代表）21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些風眼蓮（其覆蓋面積為），這些風眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關系有兩個函數模型與）可供選擇（1）試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份．（參考數據：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據對數和指數的運算法則逐項計算即可.【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.2、A【解析】∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝.∴圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝<2，∴直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝4相交，又∵點(0,0)不在直線ax＋by＋c＝0上，故選A點睛：判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題3、B【解析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A：棱柱最少有5個面，則A錯誤；對于B：棱柱的所有側面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側棱長和底面邊長不一定相等，則C錯誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯誤故選：B4、C【解析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再進行交集運算即可求解.【詳解】因為，，所以，故選：C.5、A【解析】根據偶次方根的被開方數為非負數，對數的真數大于零列不等式，由此求得函數的定義域.【詳解】依題意，所以的定義域為.故選：A6、D【解析】根據三角函數在各象限的符號即可求出【詳解】因為點是第三象限的點，所以，故的終邊位于第四象限故選：D7、C【解析】兩圓公共弦的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，求出兩圓的圓心，從而可得答案.【詳解】解：AB的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心為，圓x2＋y2－6x＝0的圓心為，則兩圓圓心所在直線的方程為，即3x－y－9＝0.故選：C.8、B【解析】分析】將代入求得，進而可得的值.【詳解】因為函數的圖象過點，所以，則，所以，，故選：B.9、C【解析】根據題意，列方程，即可求解.【詳解】由題意可得，令，即，解得：t=4.故選：C10、D【解析】是奇函數，故；又是增函數，，即則有，解得，故選D.【點睛】解本題的關鍵是利用轉化化歸思想，結合奇函數的性質將問題轉化為，再利用單調性繼續轉化為，從而求得正解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用輔助角公式化簡函數解析式，再根據最值情況可得解.【詳解】由輔助角公式可知，，，，當，時取最大值，即，，故答案為.12、【解析】當時，，當時，，又，如圖所示：當時，在處取得最大值，且，令，則數列是以1為首項，以為公比的等比數列，∴，∴，若時，恒成立，只需，當上，均有恒成立，結合圖形知：，∴，∴，令，，當時，，∴，∴，當時，，，∴，∴最大，∴，∴.考點：1.函數圖像；2.恒成立問題；3.數列的最值.13、【解析】首先判斷正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心連線的中點，然后構造直角三角形求半徑，代入公式求解.【詳解】如圖：設和分別是上下底面等邊三角形的中心，由題意可知連線的中點就是三棱柱外接球的球心，連接，是等邊三角形，且，，，球的表面積.故答案為：【點睛】本題考查求幾何體外接球的表面積的問題，意在考查空間想象能力和轉化與化歸和計算能力，屬于基礎題型.14、(1).或3(2).4【解析】根據題意可得：【詳解】區間上單調遞減，，或3，當或3時，都有，，.故答案為：或3;4.15、4【解析】設，則，，又，即，故答案為.16、單調遞增【解析】求出函數單調遞增區間，再判斷作答.【詳解】函數的圖象對稱軸為，因此，函數的單調遞增區間為，而，所以函數在區間上的單調性是單調遞增.故答案為：單調遞增三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）略；（2）【解析】（1）根據單調性的定義進行證明即可得到結論；（2）將問題轉化為在上恒成立求解，即在上恒成立，然后利用換元法求出函數的最小值即可得到所求范圍【詳解】（1）證明：設，則，∵，∴，∴，∴，∴函數是減函數（2）由題意可得在上恒成立，∴在上恒成立令，因為，所以，∴在上恒成立令,,則由（1）可得上單調遞減，∴，∴∴實數的取值范圍為【點睛】（1）用定義證明函數單調性的步驟為：取值、作差、變形、定號、結論，其中變形是解題的關鍵（2）解決恒成立問題時，分離參數法是常用的方法，通過分離參數，轉化為求具體函數的最值的問題處理18、（1）證明見解析；（2）【解析】(1）利用函數單調性的定義，設，再將變形，證明差為正即可；(2）)由(1)在上是單調遞增函數，從而在上單調遞增，由可求得a的值.【詳解】，在上是單調遞增函數，（2）在上是單調遞增函數，在上單調遞增，所以.【點睛】本題考查函數單調性的判斷與證明，著重考查函數單調性的定義及其應用，屬于中檔題.19、（1）；（2）；（3）【解析】（1）甲城市這天內空氣質量類別為良有天，利用頻率估計概率的思想可求得結果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結果；（3）根據題意可得出、、的大小關系.【詳解】（1）甲城市這天內空氣質量類別為良的有天，則估計甲城市月份某一天空氣質量類別為良的概率為；（2）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統計數據中任取一個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，用表示“這兩個數據對應的空氣質量類別都為輕度污染”，則事件包含的基本事件有：、、、，共個基本事件，所以，；（3）【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的問題有如下方法：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數的應用.20、（1），342（2）189.8，190【解析】（1）由每個小長方形的面積的總和等于，即可通過列方程求出值，根據頻數樣本容量頻率即可求出抽到的樹苗的高度在的株數；（2）由頻率分布直方圖中每個小長方形的面積與對應小正方形底邊中點的橫坐標的乘積之和即為平均數，即可算出，利用平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標即為中位數，即可算出.【小問1詳解】∵，∴，抽到的樹苗的高度在的株數為（株）【小問2詳解】苗圃中樹苗的高度的平均數：設中位數為，因為，，則，，所以.21、（1）函數模型較為合適，且該函數模型的解析式為；（2）月份.【解析】（1）根據兩個函數模型增長的快慢可知函數模型較為合適，將點、代入函數解析式，求出、的值，即可得出函數模型的解析式；（2）分析得出，解此不等式即可得出結論.【詳解】（1）由題設可知，兩個函數、）在上均為增函數，隨著的增大，函數的值增加得越來越快，而函數的值增加得越來越慢，由于風眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數模型滿足要求.由題意可得，解得，，故該函