20232024學(xué)年度高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期綜合復(fù)習(xí)卷一、單選題：1.設(shè)全集，集合則（C）A.B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】，或，.故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（B）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.3.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則結(jié)合的值，下列解三角形有兩解的為（B）A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】由正弦定理可得，，所以，因?yàn)槿切斡袃山猓?，且，因此由選項(xiàng)知，只有符合.故選：B已知向量滿足，且，則（B）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，從?故選：B.已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（A）（） B.（）C.（） D.（）【答案】A【解析】【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A已知雙曲線（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（D） B. C. D.2【答案】D【解析】【詳解】解：雙曲線的漸近線為，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故選：D甲?乙?丙?丁?戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（B）種不同的情況.18 B.24 C.36D.48【答案】B【解析】【詳解】由題意知，將丙和丁看成一個(gè)整體，分4種情況分析：①丙和丁的整體分別為第1、2名，有種情況；②丙和丁的整體分別為第2、3名，第1名只能是戊，所以甲和乙為第4、5名，有種情況；③丙和丁的整體分別為第3、4名，第1名只能是戊，所以甲和乙為第2、5名，有種情況；④丙和丁的整體分別為第4、5名，第1名只能是戊，所以甲和乙為第2、3名，有種情況；所以共有種情況.故選：B已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（C）A. B. C.D.【答案】C【解析】【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線切于M點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C多選題：某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計(jì)算得到這名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為.則（BCD）參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.A.B.估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù)約為C.估計(jì)該年級(jí)成績在分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為D.估計(jì)該年級(jí)成績在分及以上的學(xué)生成績的方差為【答案】BCD【解析】【詳解】對于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，則，解得，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù)約為，B對；對于C選項(xiàng)，估計(jì)成績在分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為分，C對；對于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績在分及以上學(xué)生成績的方差為，D對.故選：BCD.已知函數(shù)，則（BC）曲線的對稱軸為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的最大值為D.在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為【答案】BC【解析】【詳解】由題意可得：.對于選項(xiàng)A：令，解得，所以曲線的對稱軸為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)，即時(shí)，取到最大值為，故C正確；對于選項(xiàng)D：令，解得，可知的零點(diǎn)為，則在區(qū)間上零點(diǎn)為，共8個(gè)，結(jié)合A可知，這些零點(diǎn)均關(guān)于直線對稱，所以在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（ACD）A.不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B.存在圓經(jīng)過點(diǎn)（3，0）C.存在定直線始終與圓相切D.若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則【答案】ACD【解析】【詳解】解：根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑為2，依次分析選項(xiàng)：對于A，圓心為，其圓心在直線上，A正確；對于B，圓，將代入圓的方程可得，化簡得，，方程無解，所以不存在圓經(jīng)過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對于C，存在直線，即或，圓心到直線或的距離，這兩條直線始終與圓相切，C正確，對于D，若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，圓心距為，則有，解可得：或，D正確．故選：ACD．三、填空題：已知隨機(jī)變量，則等于___0.15865_______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】0.15865【解析】詳解】由題意隨機(jī)變量，則，故，故答案為：0.15865展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______42_______(用數(shù)字作答)【答案】42【解析】【詳解】的展開式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在中，令，可得?xiàng)的系數(shù)為；在中，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.所以，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為________【答案】【解析】【詳解】令，得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得，即，此時(shí)，可得，可得是奇函數(shù)，即故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為。四、解答題：設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，①因?yàn)?，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列．【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以．，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：語文成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200（1）根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？（2）在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值.（3）現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.附：【答案】（1）認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)；（2）；（3）分布列見解析，.【解析】【小問1詳解】零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績與語文成績無關(guān).據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：根據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)；【小問2詳解】∵，∴估計(jì)的值為；【小問3詳解】按分層抽樣，語文成績優(yōu)秀的5人，語文成績不優(yōu)秀的3人，隨機(jī)變量的所有可能取值為.，，，，∴的概率分布列為：0123∴數(shù)學(xué)期望.已知和為橢圓上兩點(diǎn).（1）求C的離心率;（2）若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．【答案】（1）（2）直線的方程為或.【解析】【小問1詳解】由題意得，解得，所以.【小問2詳解】法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)斜率不存在時(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】不妨設(shè)，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四邊形是菱形，，又，且平面平面平面．小問2詳解】在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，平面平面，平面平面，平面，又四邊形是菱形，，均為等邊三角形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過點(diǎn)A平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，由（1）平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則即．令，可得，平面與平面的夾角的余弦值為．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.【小問2詳解】解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題