第5課時線面垂直的綜合應用第1章

直線與平面的位置關系學習目標1.理解斜線在平面內的射影及與平面所成角的概念，會求簡單的線面角.2.理解點到平面的距離的概念，會求簡單的點面距離.3.線面平行與垂直的有關定理的綜合運用.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考

知識點一直線與平面所成的角直線與平面所成的角是如何定義的？取值范圍是什么？答案平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角.規定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內，我們說它們所成的角是0°的角.直線與平面所成的角θ的取值范圍是[0°，90°].答案梳理有關概念對應圖形斜線一條直線與一個平面

，但不和這個平面

，圖中________斜足斜線與平面的

，圖中____射影

過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，那么過

和

的直線就是斜線在平面內的正投

影(簡稱射影)，線段

就是斜線段PA在平面α內的射影相交垂直直線PA交點點A斜足A垂足OOA直線與平面所成的角

定義：平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成

的銳角，圖中為

，

規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是

；

一條直線與平面平行或在平面內，它們所成的角是

的角取值范圍設直線與平面所成的角為θ，則____________∠PAO直角0°0°≤θ≤90°知識點二兩種距離1.點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和

間的距離，叫做這個點到這個平面的距離.2.直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上

到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.垂足任意一點題型探究例1

已知∠BAC在平面α內，P?α，∠PAB＝∠PAC.求證：點P在平面α內的射影在∠BAC的平分線上.類型一與線面角有關的問題證明證明如圖所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E，F，連結OE，OF，OA.?Rt△PAE≌Rt△PAF?AE＝AF.?AB⊥平面PEO?AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，點P在α內的射影O在∠BAC的平分線上.(1)求直線和平面所成角的步驟①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連結垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結在某個三角形中，通過解三角形，求出該角.(2)在上述步驟中，其中作角是關鍵，而確定斜線在平面內的射影是作角的關鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據，圖形中的特殊點是突破口.反思與感悟跟蹤訓練1

如圖所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，證明：點H是C1在平面ABC內的射影.證明證明連結AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H?平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴點H是C1在平面ABC上的射影.例2

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.求證：類型二直線與平面垂直的判定與性質的綜合應用證明(1)CD⊥AE；證明在四棱錐P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.證明證明由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD內的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直又可借助于線面垂直的性質.因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想.反思與感悟跟蹤訓練2

如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D為棱B1B的中點.(1)證明：A1C1∥平面ACD；證明證明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1?平面ACD，AC?平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)求異面直線AC與A1D所成角的大?。唤庠谥比庵鵄BC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D?平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴異面直線AC與A1D所成的角為90°.解答(3)證明：直線A1D⊥平面ADC.證明證明∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.當堂訓練1.下列說法：①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ<90°；②直線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ≤90°；③若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行；④若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等.其中正確的是_______.(填序號)答案2341①④解析解析②應為0°≤θ≤90°；③中這兩條直線可能平行，也可能相交或異面.52.AB是平面α的斜線段，其長為a，它在平面α內的射影A′B的長為b，則垂線A′A的長為________.答案234153.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關系為______.答案解析2341垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN?平面BCC1B1，∴AB⊥MN.54.若長方體ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為_____.2341答案解析解析依題可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即為A1C1到底面ABCD的距離.55.如圖所示，平面ABB1A1為圓柱OO1的軸截面，點C為底面圓周上異于A，B的任意一點.2341(1)求證：BC⊥平面A1AC；證明∵AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上的任意一點，∴BC⊥AC.又在圓柱OO1中，AA1⊥底面⊙O，∴AA1⊥BC，又AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面A1AC.證明5(2)若D為AC的中點，求證：A1D∥平面O1BC.2341證明52341證明取BC的中點E，連結DE，O1E，∵D為AC的中點，∴DE∥A1O1，DE＝A1O1，∴四邊形A1DEO1為平行四邊形，∴A1D∥EO1.而A1D?平面O1BC，EO1?平面O1BC，∴A1D∥平面O1BC.5規律與方法立體幾何中經常遇到由一個點向一個