資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】拓展3導數與零點、不等式的綜合運用（精講）考點一不等式成立【例1】（2022遼寧省）已知函數，定義域都是，且為偶函數，為奇函數，．(1)求函數和的解析式；(2)若恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】（1）因為為偶函數，為奇函數，所以，由，，.（2）因為為奇函數，所以為偶函數，，當時，，所以為上單調遞增，又為偶函數，所以在上單調遞減，所以，，所以．根據題意，恒成立，所以．故實數的取值范圍是．【一隅三反】1．（2022·寧夏）已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)若函數恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）函數的定義域為，且，當時，，當時，，當時，，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.當時，，有兩根－1，，且，，則；，則；故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.綜上可知：當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）函數恒成立轉化為在上恒成立.令，則，，，，，故在上為增函數，在上為減函數.所以，則，又，故實數的取值范圍為.2（2022·貴州）已知函數.(1)當時，求的最大值；(2)當時，.若對恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)0(2)【解析】（1）函數的定義域為，當時，，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減.所以.（2）當時，，，必要性：，，故，即.充分性：當時，，故，恒成立.函數在上是減函數，恒成立，滿足.綜上所述：的取值范圍是.考點二函數的零點【例2】（2022·全國·高二專題練習）已知函數的圖像在x＝1處的切線與直線垂直．(1)求的解析式；(2)若在內有兩個零點，求m的取值范圍；(3)若對任意的，不等式恒成立，求實數k的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)3【解析】（1），則，∵函數的圖像在x＝1處的切線與直線x+3y﹣1＝0垂直，∴，即，解得，∴；（2）由（1）得，則，則，由得x＝1，由得，由得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，取得極小值也是最小值，要使在內有兩個零點，只需滿足，即，解得，故實數的取值范圍為；（3）對任意的，不等式恒成立，轉化為對任意的，恒成立，①當時，，顯然成立，此時；②當時，恒成立，令，則，∵x＞0，∴恒成立，由得，由得，由得0＜x＜1，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴當x＝1時，取得極小值也是最小值，且，∴；③當時，恒成立，令，此時m（x）＜0，由②得（），令，，∴在上單調遞增，又，由零點存在定理得存在，使得，有，即，由得，由得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，取得極大值也是最大值，且＝，∴，綜上所述，實數k的取值范圍為，∴實數k的最大值為3．【一隅三反】1．（2022·廣東廣州·高二期末）已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)若函數有兩個不同的零點、，求實數的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）解：函數的定義域為，，當時，對任意的，，此時函數的單調遞增區間為；當時，由可得，由可得，此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）解：由（1）可知，當時，函數在上單調遞增，此時函數至多一個零點，不合乎題意；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，令，其中，則，所以，函數在上單調遞減，且，所以，，故.令，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，即，所以，，所以，，，又因為，由零點存在定理可知，函數在、上各有一個零點，合乎題意.綜上所述，實數的取值范圍是.2（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知函數，.(1)求函數的極值；(2)當時，判斷函數在上零點個數.【答案】(1)答案見解析(2)兩個【解析】（1）由知定義域為，①當時，在上，故單調遞減，所以無極值.②當時，由得:，當時，當時，.所以函數有極小值為，無極大值.（2）當時，，，當時，，當時，單調遞增，且，，故在上存在使得，而當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以，又，故由零點的存在性定理在上存在一個零點，在上也存在一個零點.所以在上有兩個零點.3．（2022·全國·高二專題練習）已知函數，其中.(1)若的極小值為－16，求；(2)討論的零點個數.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）由題得，其中，當時，，單調遞增，無極值；當時，令，解得或；令，解得，所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，，所以當時，取得極小值，所以，解得.（2）由（1）知當時，的極小值為，的極大值為，當，即時，有三個零點，如圖①曲線；當，即時，有兩個零點，如圖②曲線；當，即時，有一個零點，如圖③曲線；當時，，易知有一個零點.

綜上，當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有三個零點.考點三雙變量問題【例3】（2021·江西·高安中學高二期中（理））巳知函數.(1)求函數f（x）的最大值;(2)若關于x的方程有兩個不等實數根證明:【答案】(1)2(2)證明見詳解【解析】（1）因為，所以.令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.（2）方程可化為.設，顯然在上是增函數，又，所以有，即方程有兩個實數根，.由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.因為方程有兩個實數根，，所以，則，要證，即證.，需證.需證.不妨設，令，則，即要證.設，則，所以在上是增函數，，即成立，故原式成立.【一隅三反】1（2022·陜西安康·高二期末（理））已知函數．(1)若時，，求的取值范圍；(2)當時，方程有兩個不相等的實數根，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）∵，，∴，設，，當時，令得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴，與已知矛盾．當時，，∴在上單調遞增，∴，滿足條件；綜上，取值范圍是．（2）證明：當時，，當，，當，，則在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，不妨設，則，要證，只需證，∵在區間上單調遞增，∴只需證，∵，∴只需證．設，則，∴在區間上單調遞增，∴，∴，即成立，∴．2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））已知函數（k為常數），函數．(1)討論函數的單調性；(2)當，時，有且只有兩個不相等的實數根，且；有且只有兩個不相等的實數，，且．證明：．【答案】(1)詳見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）因為，當時，，函數在單調遞增；當時，令，解得，當時，，當時，，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，綜上，當時，函數在單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．（2）當時，，，∴，所以方程與的根互為倒數，又因為方程有且只有兩個不相等的實數根，，且，方程有且只有兩個不相等的實數根，，且，所以，，可得，，所以，故要證，只需證明，要證，只需證，因為，所以，因為在上單調遞增，所以只需證，進而只需證，因為，只需證明，構造函數，，則，所以函數在上單調遞增，又，所以當時，，則，即，所以，即，故．3．（2022·重慶·萬州純陽中學校高二期中）設函數.(1)討論函數的單調性；(2)若有兩個零點，①求a的取值范圍；②證明：.【答案】(1)當時，在為增函數，當時，在上是減函數，在上為增函數；(2)；詳見證明過程．【解析】(1)的定義域為，且，當時，成立，所以在為增函數，當時，①當時，，所以在上為增函數，②當時，，所以在上為減函數；綜上：當時，在為增函數，當時，在上是減函數，在上為