課時作業提升(三十一)數列的概念與簡單表示法A組夯實基礎1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，… B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，… D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)解析：選C根據定義，屬于無窮數列的是選項A、B、C(用省略號)，屬于遞增數列的是選項C、D，故同時滿足要求的是選項C．2．在數列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，則a5＝()A．eq\f(3,2) B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,5) D．eq\f(2,3)解析：選Da2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2)＝1＋eq\f(－1,2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(－1,a4)＝eq\f(2,3).3．(2018·海淀期末)數列{an}的首項a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，則a3的值為()A．5 B．6C．7 D．8解析：選B由(n＋1)an＝nan＋1得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，所以數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))為常數列，則eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故選B．4．已知數列{an}的通項公式an＝n2－(6＋2λ)n＋2016，若a6或a7為數列{an}的最小項，則實數λ的取值范圍是()A．(3,4) B．[2,5]C．[3,4] D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(9,2)))解析：選D依題意，由二次函數的性質可知，當eq\f(11,2)＜3＋λ＜eq\f(15,2)，即eq\f(5,2)＜λ＜eq\f(9,2)時，a6或a7為數列{an}的最小項，故實數λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(9,2))).5．(2018·昆明檢測)在數列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,3)，anan＋2＝1，則a2018＋a2019＝()A．eq\f(5,6) B．eq\f(7,3)C．eq\f(7,2) D．5解析：選B依題意，a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,3)，a3＝2，a4＝3，a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,3)，…，數列{an}是周期為4的數列，所以a2018＋a2019＝a2＋a3＝eq\f(7,3).6．已知數列{an}的通項公式為an＝eq\f(4,11－2n)(n∈N*)，則滿足an＋1＜an的n的取值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C由an＋1＜an，得an＋1－an＝eq\f(4,9－2n)－eq\f(4,11－2n)＝eq\f(8,9－2n11－2n)＜0，解得eq\f(9,2)＜n＜eq\f(11,2)，又n∈N*，所以n＝5.7．已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－n，則an＝()A．2n－1－1 B．2n－1C．2n－1 D．2n＋1解析：選B當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，當n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，∴a1∴數列{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.8．數列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的通項公式為________.解析：由已知得，數列可寫成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通項公式為an＝eq\f(n,2n－1).答案：an＝eq\f(n,2n－1)9．已知數列{an}的通項公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·3n－1，n為偶數，,2n－5，n為奇數，))則a3a4＝________.解析：由題意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4答案：5410．已知數列{an}的前n項和為Sn＝3＋2n，則數列{an}的通項公式為________.解析：當n＝1時，a1＝S1＝3＋2＝5；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.因為當n＝1時，不符合an＝2n－1，所以數列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2))11．數列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.(1)這個數列的第4項是多少？(2)150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？(3)該數列從第幾項開始各項都是正數？解：(1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數列的第16項．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．所以從第7項起各項都是正數．12．已知各項均為正數的數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求數列{an}的通項公式．解：由a1＝S1＝eq\f(1,6)(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S1＞1，得a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1,6)(an＋1＋1)(an＋1＋2)－eq\f(1,6)(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因為an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項為2的等差數列，故數列{an}的通項公式為an＝3n－1.B組能力提升1．將石子擺成如圖所示的梯形，稱數列5,9,14，…為“梯形數列”，記此“梯形數列”的第n項為an，則a6＝()A．25 B．30C．35 D．40解析：選C方法一由題意知a2－a1＝4，a3－a2＝5，…，a6－a5＝8，由此得a6－a1＝4＋5＋…＋8＝eq\f(5×4＋8,2)＝30，所以a6＝30＋a1＝35.故選C．方法二觀察得出a6即為“上底為2，下底為8，高為7的梯形的面積數”即a6＝eq\f(2＋8×7,2)＝35.故選C．2．一給定函數y＝f(x)的圖象在下列各圖中，并且對任意a1∈(0,1),由關系式an＋1＝f(an)得到的數列{an}滿足an＋1>an(n∈N*)，則該函數的圖象是()解析：選A由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an，可以知道x∈(0,1)時f(x)>x，即f(x)的圖象在y＝x圖象的上方，由選項中所給的圖象可以看出，A符合條件．3．(2018·白銀月考)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，則an＝________.解析：由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，兩式相減可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，∴an＋1＝4an(n≥2)．∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1∴數列{an}是從第二項開始的等比數列，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2))4．已知數列{an}滿足前n項和Sn＝n2＋1，數列{bn}滿足bn＝eq\f(2,an＋1)且前n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn.(1)求數列{bn}的通項公式；(2)判斷數列{cn}的增減性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．所以bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)n＝1，,\f(1,n)n≥2.))(2