專題04三角函數(shù)（新定義）一、單選題1．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）我們學(xué)過(guò)度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角SKIPIF1<0的面度數(shù)為SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)面度數(shù)的定義，可求得角SKIPIF1<0的弧度數(shù)，繼而求得答案.【詳解】設(shè)角SKIPIF1<0所在的扇形的半徑為r，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D．2．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）定義:正割SKIPIF1<0，余割SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0對(duì)任意的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0均成立，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】利用已知條件先化簡(jiǎn)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化恒成立求最值問(wèn)題【詳解】由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立,故SKIPIF1<0，故選：D.3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫(xiě)，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫(huà)一條短線，如7密位寫(xiě)成“0-07”，478密位寫(xiě)成“4-78”．若SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0可取的值用密位制表示錯(cuò)誤的是（

）A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式求出SKIPIF1<0，再根據(jù)所給算法一一計(jì)算各選項(xiàng)，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0對(duì)于A：密位制SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的角為SKIPIF1<0，符合題意；對(duì)于B：密位制SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的角為SKIPIF1<0，符合題意；對(duì)于C：密位制SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的角為SKIPIF1<0，不符合題意；對(duì)于D：密位制SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的角為SKIPIF1<0，符合題意；故選：C4．（2022秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算器是如何計(jì)算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值也就越精確.運(yùn)用上述思想，可得到SKIPIF1<0的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【分析】將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，根據(jù)新定義，取SKIPIF1<0代入公式SKIPIF1<0中，直接計(jì)算取近似值即可．【詳解】由題意可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．5．（2022春·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的SKIPIF1<0稱為1密位.用密位作為角的度量單位來(lái)度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記角的密位，且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個(gè)平角＝30—00，1個(gè)周角＝60—00，已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為（

）A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究SKIPIF1<0在給定區(qū)間上的最大值，結(jié)合題設(shè)密位制定義確定SKIPIF1<0取到最大時(shí)x用密位制.【詳解】由題設(shè)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為40—00.故選：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α終邊上一點(diǎn)，P與原點(diǎn)O之間距離為r，比值SKIPIF1<0叫做角α的正割，記作secα；比值SKIPIF1<0叫做角α的余割，記作cscα；比值SKIPIF1<0叫做角α的余切，記作cotα．四名同學(xué)計(jì)算同一個(gè)角β的不同三角函數(shù)值如下：甲：SKIPIF1<0；乙：SKIPIF1<0；丙：SKIPIF1<0；丁：SKIPIF1<0．如果只有一名同學(xué)的結(jié)果是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】當(dāng)甲錯(cuò)誤時(shí)，乙一定正確，從而推導(dǎo)出丙、丁均錯(cuò)誤，與題意不符，故甲一定正確；再由丙丁必有一個(gè)錯(cuò)誤，得到乙一定正確，由此利用三角函數(shù)的定義能求出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)甲：SKIPIF1<0錯(cuò)誤時(shí)，乙：SKIPIF1<0正確，此時(shí)SKIPIF1<0，r＝5k，y＝3k，則|x|＝4k，（k＞0），SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴丙：SKIPIF1<0不正確，丁：SKIPIF1<0不正確，故錯(cuò)誤的同學(xué)不是甲；甲：SKIPIF1<0，從而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此時(shí)，乙：SKIPIF1<0；丙：SKIPIF1<0；丁：SKIPIF1<0必有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，∵丙和丁應(yīng)該同號(hào)，∴乙正確，丙和丁中必有一個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，SKIPIF1<0，故丙正確，丁錯(cuò)誤，綜上錯(cuò)誤的同學(xué)是丁．故選：D．7．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)SKIPIF1<0，定義運(yùn)算SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由定義先得出SKIPIF1<0，然后分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種情況分別求出SKIPIF1<0的最小值，從而得出答案.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0此時(shí)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0此時(shí)，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故選：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）正割SKIPIF1<0及余割SKIPIF1<0這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家阿布爾SKIPIF1<0威發(fā)首先引入的．定義正割SKIPIF1<0，余割SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0對(duì)任意的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0均成立，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由參變量分離法可得出SKIPIF1<0，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的取值范圍，即可得解.【詳解】由已知可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故SKIPIF1<0.故選：D.9．（2022春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）對(duì)集合SKIPIF1<0和常數(shù)SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0定義為集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“正弦方差"，則集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“正弦方差”為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．與SKIPIF1<0有關(guān)的值【答案】C【分析】先確定集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“正弦方差”的表達(dá)式，再利用半角公式，兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由題知，集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“正弦方差”為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式整理得，SKIPIF1<0.故選：C.10．（2022秋·山東·高三山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有如下信息：（1）黃金分割比（簡(jiǎn)稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比，其比值為SKIPIF1<0（2）黃金三角形被譽(yù)為最美三角形，是較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比的等腰三角形．（3）有一個(gè)內(nèi)角為SKIPIF1<0的等腰三角形為黃金三角形，由上述信息可求得SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】如圖作三角形，先求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0的值.【詳解】如圖，等腰三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜切危俳馊切吻蠼?11．（2021秋·四川巴中·高一校聯(lián)考期末）定義運(yùn)算SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0的圖像的一條對(duì)稱軸為SKIPIF1<0滿足等式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最小值時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，利用切化弦和同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成SKIPIF1<0的二次方程，可求出SKIPIF1<0的值，結(jié)合對(duì)稱軸可求出SKIPIF1<0，最后利用周期公式進(jìn)行求解即可．【詳解】SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的圖象的一條對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以正數(shù)SKIPIF1<0取最小值為SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．12．（2020·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于集合SKIPIF1<0，定義：SKIPIF1<0為集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“余弦方差”，則集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“余弦方差”為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)所給“余弦方差”定義公式，代入集合中的各元素，即可得SKIPIF1<0的表達(dá)式，結(jié)合余弦降冪公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由題意可知，集合SKIPIF1<0相對(duì)于SKIPIF1<0的“余弦方差”代入公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以原式SKIPIF1<0，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義應(yīng)用，降冪公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，屬于中檔題.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0的相鄰交點(diǎn)間的距離為SKIPIF1<0，若定義SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的圖象是A． B．C． D．【答案】A【分析】由題知SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出SKIPIF1<0的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0的相鄰交點(diǎn)間的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知SKIPIF1<0正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.14．（2022春·陜西延安·高一校考階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，在使SKIPIF1<0成立的所有常數(shù)SKIPIF1<0中，我們把SKIPIF1<0的最大值稱為函數(shù)SKIPIF1<0的“下確界”.若函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“下確界”為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由下確界定義，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，由余弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，由新定義明確本題中的下確界就是函數(shù)的最小值．可通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍．15．（2020·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如果函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是凸函數(shù)，那么在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用“凸函數(shù)”的定義得到恒成立的不等式，利用三角形的內(nèi)角和為SKIPIF1<0，即可求出最大值．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是“凸函數(shù)”，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查理解題中的新定義，并利用新定義求最值，還運(yùn)用三角形的內(nèi)角和．二、多選題16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義：SKIPIF1<0為集合SKIPIF1<0相對(duì)常數(shù)SKIPIF1<0的“余弦方差”.若SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0相對(duì)SKIPIF1<0的“余弦方差”的取值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根據(jù)所給定義及三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)SKIPIF1<0的取值范圍，求出SKIPIF1<0的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：依題意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：ABC17．（2021秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考期中）數(shù)學(xué)中一般用SKIPIF1<0表示a，b中的較小值，SKIPIF1<0表示a，b中的較大值；關(guān)于函數(shù)：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，有如下四個(gè)命題，其中是真命題的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的最小正周期均為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象均關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0的最小值D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】BD【分析】先求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象即可求解【詳解】設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大致圖象如下所示：對(duì)A，由圖知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的最小正周期均為2π；故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖知，SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對(duì)稱軸，故B正確.對(duì)C，SKIPIF1<0，由圖知∶函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由圖知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故D正確；故選：BD.18．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是任意角，若滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0與SKIPIF1<0“廣義互余”SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則下列角SKIPIF1<0中，可能與角SKIPIF1<0“廣義互余”的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由題可得SKIPIF1<0，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0廣義互余，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．對(duì)于A，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0廣義互余，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能廣義互余，故A正確；對(duì)于B，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0廣義互余，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得

SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，綜上可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由此可得C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．19．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0的正矢，記作SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0的余矢，記作SKIPIF1<0，則下列命題正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】BC【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得A錯(cuò)誤，B正確；化簡(jiǎn)已知等式得到SKIPIF1<0，將所求式子化簡(jiǎn)為正余弦齊次式，由此可配湊出SKIPIF1<0求得結(jié)果，知C正確；利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理得到SKIPIF1<0，由此可知最大值為SKIPIF1<0，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的新定義的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解已知所給的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦齊次式的求解等知識(shí)來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng).20．（2022秋·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高校考期末）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù):SKIPIF1<0定義SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0的正矢，記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定義SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0的余矢，記作SKIPIF1<0，則下列命題中正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)B．函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；驗(yàn)證得SKIPIF1<0，可判斷B選項(xiàng)；由定義的誘導(dǎo)公式可判斷C選項(xiàng)；取SKIPIF1<0，代入驗(yàn)證可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，故A正確；函數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，故C正確；取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤,故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系，余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、填空題21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）我們規(guī)定把SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0的余弦方差，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)B，B對(duì)SKIPIF1<0的余弦方差是______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】根據(jù)余弦方差的定義求得正確答案.【詳解】依題意，B對(duì)SKIPIF1<0的余弦方差是：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<022．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0都是定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函數(shù).若SKIPIF1<0，以下四個(gè)函數(shù)中：①SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0.所有是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函數(shù)的序號(hào)為_(kāi)_______.【答案】①②③【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式、二倍角公式，結(jié)合題中定義逐一判斷即可.【詳解】SKIPIF1<0.①：SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，所以本函數(shù)是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函數(shù)；②：SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，本函數(shù)是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函數(shù)；③：SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，本函數(shù)是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函數(shù)；④：SKIPIF1<0，顯然不存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，因此本函數(shù)不是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上生成的函數(shù)，故答案為：①②③23．（2021春·江蘇淮安·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）形如SKIPIF1<0的式子叫做行列式，其運(yùn)算法則為SKIPIF1<0，則行列式SKIPIF1<0的值是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)新定義計(jì)算即可．【詳解】由題意SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)．給出下列四個(gè)函數(shù)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中“同形”函數(shù)有__________．（選填序號(hào)）【答案】①②【分析】利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式，對(duì)比各函數(shù)的最小正周期及振幅即可得解.【詳解】由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四個(gè)函數(shù)的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，所以“同形”函數(shù)有①②.故答案為：①②.25．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn).若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像恰好經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0階格點(diǎn)函數(shù).在SKIPIF1<0上，下列函數(shù)中，為一階格點(diǎn)函數(shù)的是___________.(選填序號(hào))①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0【答案】①②③【分析】根據(jù)題目定義以及各函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷．【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象只經(jīng)過(guò)一個(gè)格點(diǎn)SKIPIF1<0，符合題意；函數(shù)SKIPIF1<0的圖象只經(jīng)過(guò)一個(gè)格點(diǎn)SKIPIF1<0，符合題意；函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過(guò)七個(gè)格點(diǎn)，SKIPIF1<0，不符合題意．故答案為：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知任意角SKIPIF1<0以坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0為頂點(diǎn)，SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸為始邊，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，定義：SKIPIF1<0，稱“SKIPIF1<0”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)SKIPIF1<0”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)：①該函數(shù)的值域?yàn)镾KIPIF1<0；

②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱；

④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為SKIPIF1<0；⑤該函數(shù)的遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.其中正確的是__________．（填上所有正確性質(zhì)的序號(hào)）【答案】①④⑤.【詳解】分析：根據(jù)“正余弦函數(shù)”的定義得到函數(shù)SKIPIF1<0，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．詳解：①中，由三角函數(shù)的定義可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以是正確的；②中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是錯(cuò)誤的；③中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱是錯(cuò)誤的；④中，SKIPIF1<0，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為SKIPIF1<0，所以是正確的；⑤中，因?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，所以是正確的，綜上所述，正確命題的序號(hào)為①④⑤．點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的新定義的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)函數(shù)的新定義求出函數(shù)SKIPIF1<0的表達(dá)式是解答的關(guān)鍵，同時(shí)要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答額基礎(chǔ)，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．27．（2015秋·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）定義一種運(yùn)算，令，且，則函數(shù)的最大值是_______________【答案】SKIPIF1<0【詳解】試題分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴SKIPIF1<0由題意可得，SKIPIF1<0函數(shù)的最大值SKIPIF1<0考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值四、解答題28．（2023春·云南文山·高一校考階段練習(xí)）人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則曼哈頓距離為：SKIPIF1<0，余弦相似度為：SKIPIF1<0，余弦距離為SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求A，B之間的曼哈頓距離SKIPIF1<0和余弦距離；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)公式直接計(jì)算即可.（2）根據(jù)公式得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故余弦距離等于SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．與之類似，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)SKIPIF1<0．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．頂角SKIPIF1<0的正對(duì)記作SKIPIF1<0，這時(shí)SKIPIF1<0．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：(1)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0(2)對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的正對(duì)值SKIPIF1<0的取值范圍是______．(3)已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為銳角，試求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)B(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）在等腰SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用正對(duì)的定義可得出SKIPIF1<0的值；（2）在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，推導(dǎo)出SKIPIF1<0，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得SKIPIF1<0的取值范圍；（3）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出SKIPIF1<0，利用二倍角公式可求得SKIPIF1<0，由此可得出SKIPIF1<0的值.【詳解】（1）解：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等邊三角形，所以，SKIPIF1<0，故選：B.（2）解：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.（3）解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.30．（2020秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0，平面內(nèi)一點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，我們稱SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“相伴特征點(diǎn)”，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的“相伴函數(shù)”．（1）已知SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的“相伴特征點(diǎn)”；（2）記SKIPIF1<0的“相伴函數(shù)”為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的SKIPIF1<0倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的SKIPIF1<0（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象上所有點(diǎn)向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）作圖見(jiàn)解析.【分析】（1）利用二倍角的降冪公式化簡(jiǎn)得出SKIPIF1<0，由此可得出函數(shù)SKIPIF1<0的“相伴特征點(diǎn)”的坐標(biāo)；（2）由題中定義可得出SKIPIF1<0，利用三角函數(shù)圖象變換得出SKIPIF1<0，然后通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線，可得出函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的圖象.【詳解】（1）SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的“相伴特征點(diǎn)”為SKIPIF1<0；（2）由題意可得SKIPIF1<0，將函數(shù)SKIPIF1<0圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的SKIPIF1<0倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的SKIPIF1<0（縱坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，再將所得的圖象上所有點(diǎn)向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象如下圖所示.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的新定義、利用三角函數(shù)圖象變換求解析式，同時(shí)也考查了五點(diǎn)作圖法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.五、雙空題31．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）對(duì)任意閉區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間