專題10.3兩個計數原理、排列與組合題型一分類及分步的簡單應用題型二排列數及組合數問題題型三捆綁法及插空法題型四倍縮法題型五隔板法題型六特殊元素法題型七染色問題題型八平均分組問題題型九部分平均分組問題題型一 分類及分步的簡單應用例1．“二十四節氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結晶，其劃分如圖所示．小明打算在網上搜集一些與二十四節氣有關的古詩．他準備在春季的6個節氣與夏季的6個節氣中共選出3個節氣，若春季的節氣和夏季的節氣各至少選出1個，則小明選取節氣的不同情況的種數是（）

A．90 B．180 C．270 D．360【答案】B【分析】根據題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，由組合數計算即可.【詳解】根據題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，其中1春2夏的不同情況有：種；2春1夏的不同情況有：種，所以小明選取節氣的不同情況有：種．故選：B．例2．有語文、數學、英語、物理、化學、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節課中，其中化學不排在第四節，共有種不同的安排方法．（用數字回答）【答案】300【分析】解法一，分類考慮，化學是否被排在上午，根據分類加法原理求得答案；解法二，先排上午第四節，再排其余節次的課，根據分步乘法原理求得答案；解法三，利用間接法，即求出從6門課程中任意選4門安排在上午的排法，減去化學排在第四節課的排法數，即得答案.【詳解】解法一，第一類：化學被選上，有種不同的安排方法；第二類：化學不被選上，有種不同的安排方法．故共有種不同的安排方法，故答案為：300解法二，第一步：化學不排在第四節，故第四節有種排法；第二步：其余三節有種排法，故共有種不同的安排方法，故答案為：300解法三（間接法）,從6門課程中任意選4門安排在上午，有種排法，而化學排第四節，有種排法，故共有種不同的安排方法．故答案為：300練習1．我國古代有著輝煌的數學研究成果．《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《孫子算經》《緝古算經》等10部專著是了解我國古代數學的重要文獻．這10部專著中據說有7部產生于魏晉南北朝時期．某校擬從這10部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程的學習內容，則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北朝時期的情況共有（

）A．42種 B．39種 C．10種 D．35種【答案】A【分析】根據題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時期的，二是所選的2部專著都是魏晉南北朝時期的，求出各個情況的方法數，然后利用分類加法原理可求得結果.【詳解】根據題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時期的，有種方法，二是所選的2部專著都是魏晉南北朝時期的，有種方法，所以由分類加法原理可知共有種方法，故選：A練習2．甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有種承包方式（用數字作答）.【答案】60【分析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，再讓乙承包2項，剩下的3項丙承包，根據分步乘法原理可求得結果.【詳解】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有種，再讓乙承包2項，有，剩下的3項丙承包，所以由分步乘法原理可得共有種方案，故答案為：60練習3．從5男3女共8名學生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不同的選法.（用數字作答）【答案】【分析】根據題意，可分為志愿組有3名男生，2名女生和志愿組有4名男生，1名女生，兩類情況，結合分類計數原理，即可求解.【詳解】由題意可知，當志愿組有3名男生，2名女生時，有種方法；當志愿組有4名男生，1名女生時，有種方法，由分類計數原理得，共有種不同的選法.故答案為：.練習4．2014年國務院印發《關于深化考試招生制度改革意見》，福建省在2021年高考進入“3+1+2”選科模式，即語文、數學、英語三門必考，物理和歷史二選一，化學、政治、生物、地理四選二，在此規則下，學生共有種選科方式.【答案】12【分析】根據分步乘法原理，結合組合數公式，即可求解.【詳解】依題意，根據計數乘法原理，有種方法.故答案為：12練習5．有兩個家庭共8人暑假到新疆結伴旅游（每個家庭包括一對夫妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數為.【答案】10【分析】分兩種情況考慮，即每個家庭乘坐一輛車和每對夫妻乘坐的車上恰有一個自己的孩子，根據分類加法原理即可得答案.【詳解】由題意得當每個家庭各乘坐一輛車時，有2種乘車方案；當每對夫妻乘坐的車上恰有一個自己的孩子時，乘車方案種數為，故滿足條件的不同乘車方案種數為，故答案為：10題型二 排列數及組合數問題例3．已知（，且），則（

）A．28 B．42 C．43 D．56【答案】A【分析】先根據排列數得出n,再計算組合數即可.【詳解】,.故選:A.例4．（1）解不等式．（2）若，求正整數n．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據排列數及排列數公式，計算即可；（2）根據組合數及組合數公式，計算即可．【詳解】（1）由，可得，可得.可得，所以，即，因為，，，，，所以；（2），故，解得.練習6．（多選）滿足不等式的的值可能為（

）A．12 B．11 C．8 D．10【答案】ABD【分析】根據排列數公式得到不等式，解得的取值范圍，即可判斷.【詳解】由排列數公式得，依題意可得，解得或（舍去），又，所以可以取，，．故選：ABD．練習7．已知，求n.【答案】6【分析】利用組合數性質以及組合數公式和排列數公式，將化簡并展開，解方程即可求得答案.【詳解】由得，即，即，解得，或，由知，故.練習8．計算：(1)若，求(2)若，求【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據組合式的性質計算可得；（2）根據排列數、組合數公式計算可得.【詳解】（1）因為，所以或，解得或.（2）因為，所以，又，所以，所以，解得.練習9．（1）解方程：（2）解不等式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用組合數的性質及計算公式解方程作答.（2）利用排列數公式化簡不等式，再求解不等式作答.【詳解】（1）由組合數性質及，得，而，則，因此，即，解得，所以原方程的解為.（2）由，得且，解得，又，化簡得，解得，因此，所以不等式的解為.練習10．（1）若，則x=.（2）不等式的解集為.【答案】5【分析】（1）根據排列數公式即可求解；（2）根據組合數的運算公式及性質化簡不等式求其解集即可.【詳解】（1）且，，化簡得，解得（不合題意，舍去），；（2）∵，∴，即，解得.∵，∴.∴的取值集合為.故答案為：5；.題型三 捆綁法及插空法例5．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每周一門，連續開設六周，則下列說法錯誤的是（

）A．某學生從中選2門課程學習，共有15種選法B．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法C．課程“御”“書”“數”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法【答案】D【分析】根據給定條件利用組合知識可以判斷A正確；利用特殊位置法可以判斷B錯誤；相鄰問題利用捆綁法可以判斷C正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷D錯誤.【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；對于B，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，B正確；對于C，“御”“書”“數”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；對于D，先排“禮”、“御”、“書”、“數”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，D錯誤.故選：D.例6．澉浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請遠方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數為（）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【分析】應用排列數求出“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數，間接法求出上述兩道菜不能接連相鄰上菜的方法種數即可.【詳解】若“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜，則有種，再將其與其它4道菜作全排列，共有種，所以“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數有種；而六道菜依次上菜的總順序有種，所以其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜的方法數種.故選：A練習11．要從甲、乙等8人中選5人在座談會上發言，若甲乙都被選中且他們發言中間恰好間隔一人，那么不同的發言順序共有種．（用數字作答）【答案】720【分析】根據先選后排原理，再根據插空法，進行排列組合即可得解.【詳解】除甲乙外再選3人共有種可能，從選中的3人中選一人插在甲乙中間，此三人再進行排列共有種可能，再將此三人看作整體和另外兩人進行全排列，共有種可能，則共有，故答案為：720.練習12．（多選）我校以大課程觀為理論基礎，以關鍵能力和核心素養的課程化為突破口，深入探索普通高中創新人才培養的校本化課程體系.本學期共開設了八大類校本課程，具體為學科拓展（X）、體藝特長（T）、實踐創新（S）、生涯規劃（C）、國際視野（I）、公民素養（G）、大學先修（D）、PBL項目課程（P）八大類，假期里決定繼續開設這八大類課程，每天開設一類且不重復，連續開設八天，則（）A．某學生從中選3類，共有56種選法B．課程“X”“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C．課程中“S”“C”“I”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“I”的中間，共有720種排法D．課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有種排法【答案】ABD【分析】由題意，利用組合數、插空法、捆綁法、特殊元素優先法，解得分類加法原理，可得答案.【詳解】選項A，某同學從中選3類，共有(種)選法，A正確；選項B，若“X”“T”不相鄰，剩余6類排列方法為，形成7個空，則“X”“T”填入7個空的方法為，所以共有種排法，B正確；選項C，先排列“S”“C”“I”三科，則有2種排列方法，3科形成整體與剩余5科再進行全排列，則有種排列方法，所以共有(種)排法，C錯誤；選項D，分成兩類情況，一是“G”排在第一天，則此類情況下排法有種，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有種方法，則共有種排法，D正確．故選：ABD．練習13．一條長椅上有七個座位，四人坐，要求三個空位中，有兩個空位相鄰，另一個空位與這兩個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？【答案】480種【分析】首先將兩個空位看成一個整體，再利用插空法求解.【詳解】把兩個相鄰空位看成一個整體，另一個空位與這個整體不相鄰，則是用四個人把兩個元素隔開的典型問題，就可先讓四人坐在四個位置上，再讓后兩個“元素”（一個是兩個作為一個整體的空位，另一個是單獨的空位）選擇被四人造成的五個“空隙”中的兩個插入，所以共有種坐法．練習14．喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，準備一起照合影像（排成一排）.(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用捆綁法進行求解即可；（2）利用插空法進行求解即可.【詳解】（1）因為喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，所以可以把它們捆綁一起,然后與灰太狼、紅太狼全排列,所以一共有種排法.（2）喜羊羊家族的四位成員一共形成5個空,灰太狼、紅太狼進行插空,所以一共有練習15．一天課程表中，6節課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有種；要使數學與物理連排，化學不得與數學、物理連排，不同的排課方法有種．【答案】72144【分析】分類討論文理科的順序可得第一空；利用捆綁法結合插空法可得第二空.【詳解】要使文、理科間排，有兩種情況：文科排1，3，5，理科排2，4，6或理科排1，3，5，文科排2，4，6，共有種排法；數學與物理連排，則把數學、物理當作一個元素，化學不得與數學、物理連排，用插空法得：種排法．故答案為：72；144.題型四 倍縮法例7．某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，結合倍縮法可得結果.【詳解】由題意可知，與相鄰，則將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數為種.故選：C.例8．某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來5個節目的出場順序不變，則增加的2個教師節目有種不同排法（用數字作答）【答案】42【分析】用相對順序已定的排列模型求解.【詳解】5個學生節目中增加2個教師節目，共有7個節目，把7個節目看成有順序的7個位置，將這7個位置挑出2個位置安排給2個教師節目，共有種安排方法，再將剩下的5個位置安排給5個學生節目，因原來5個學生節目的出場順序不變，故只有1種安排方法，故共有種不同排法.故答案為：42練習16．小武是1993年12月18日出生的，他設置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數字進行排列得到一個8位數的密碼，那么小武同學可以設置的不同密碼的個數為（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360【答案】D【分析】先將8個數字進行全排列，再利用定序倍縮法除以重復的情況即可.【詳解】先將這8個數字進行全排列，有種情況，而這8個數字中有三個1和兩個9，可將這三個1和兩個9看作是順序固定的排列方法，所以一共可以組成個六位數，即可以設置的不同密碼的個數為．故選：D．練習17．五一國際勞動節，學校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學參加，抽簽確定出場順序．在“學生甲必須在學生乙的前面出場”的前提下，學生甲、乙相鄰出場的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設“學生甲、乙相鄰出場”為事件，“學生甲必須在學生乙的前面出場”為事件，根據倍縮法求出學生甲必須在學生乙的前面出場的種數，得出，再根據捆綁法求出學生甲必須在學生乙的前面出場且甲、乙相鄰出場的種數，求出，根據條件概率公式計算即可．【詳解】設“學生甲、乙相鄰出場”為事件，“學生甲必須在學生乙的前面出場”為事件，共有種情況，學生甲必須在學生乙的前面出場的情況有種，所以，甲乙同學按出場順序一定，且相鄰出場的情況共有種，所以，則，故選：B．練習18．《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個元素，利用捆綁法結合倍縮法求解.【詳解】因為香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.故選：B.練習19．（多選）用3，4，5，6，7，9六個數字組成沒有重復數字的六位數，下列結論正確的有（

）A．這樣的六位數共有720個B．在這樣的六位數中，偶數共有240個C．在這樣的六位數中，4，6不相鄰的共有144個D．在這樣的六位數中，4個奇數數字從左到右、從小到大排序的共有30個【答案】ABD【分析】根據排列的知識對每個選項一一分析即可.【詳解】對于A，符合題意的六位數有個，故A正確；對于B，若六位數為偶數，其個位數字為4或6，有2種情況，其他數位沒有限制，則符合題意的偶數有個，故B正確；對于C，將其他4個數字全排列，再將4，6安排在產生的空位中，所以有個4，6不相鄰的六位數，故C錯誤；對于D，4個奇數數字按從左到右、從小到大的順序排好，則有個符合題意的六位數，故D正確．故選：ABD．練習20．甲、乙、丙、丁、戊5名同學從周一至周五輪流安排寫作練習，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，則不同的排列方式共有種.【答案】18【分析】先從除甲、乙外的3名學生中選出2名，安排在周一和周二，再將剩余3名學生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根據分步計數乘法原理可得答案.【詳解】先從除甲、乙外的3名學生中選出2名，安排在周一和周二，共有種排列方式；再將剩余3名學生安排在周三至周五，共有種排列方式.又甲在乙之前，則不同的排列方式共有種.故答案為：18.題型五 隔板法例9．方程的非負整數解的組的個數為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問題轉化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負整數，因為，所以，從而將問題轉化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成部分，一共有13個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有種.故選：A例10．現有6個三好學生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩個班分到三好學生名額的概率為.【答案】【分析】分只有一個班分到名額，恰有兩個班分到名額和三個班都分到了名額三種情況求出總的情況，然后利用古典概型求概率的方法能求出恰有兩個班分到三好學生名額的概率．【詳解】將6個三好學生名額分到三個班級，有3種類型：第一種是只有一個班分到名額，有3種情況；第二種是恰好有兩個班分到名額，由隔板法得有種情況，第三種是三個班都分到了名額，由隔板法得有種情況，則恰有兩個班分到三好學生名額的概率為．故答案為：．練習21．在空間直角坐標系中，，則三棱錐內部整點(所有坐標均為整數的點，不包括邊界上的點)的個數為（

）A．35 B．36 C．84 D．21【答案】A【分析】首先求平面的一個法向量，并根據法向量確定三棱錐內部的點滿足的條件，并結合隔板法，求方法種數.【詳解】由條件可知，，，設平面的一個法向量，則，令，則，故，設是平面上的點，則，故，則，不妨設三棱錐內部整數點為，則，且，，，則若時，則在平面上，若，則在三棱錐的外部，所以，當，且時，將寫成個1排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結果的個數為的取值的方法個數，顯然有個方法，所有整數點的個數為.故選：A練習22．的展開式為多項式，其展開式經過合并同類項后的項數一共有（

）A．72項 B．75項 C．78項 D．81項【答案】C【分析】由多項式展開式中的項為，即，將問題轉化為將2個隔板和11個小球分成三組，應用組合數求項數即可.【詳解】由題設，多項式展開式各項形式為且，故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即.故選：C練習23．（多選）把8個相同的小球放到編號為1，2，3，4的4個盒子中，則（

）A．每個盒子中至少放1個小球的放法共有35種B．有空盒的放法共有161種C．恰有1個空盒的放法共有21種D．編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法共有20種【答案】AD【分析】利用隔板法可判斷選項A；根據分類加法計數原理及組合的知識結合隔板法可判斷B，D；由分步乘法計數原理及組合的知識可判斷C．【詳解】對于A，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，相當于將8個球排成一排，分為4份，即在這8個球之間形成的7個空中，選3個插入隔板，每個盒子中至少放1個小球的放法共有種，故A正確．對于B，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，有空盒的放法可分為：8個球放一個盒子里，有種放法；8個球放二個盒子里，有種放法；放三個盒子，有種方法，所以共有種放法，故B錯誤；對于C，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有1個空盒的放法,結合B可知即將8個相同的小球放入3個盒子里，共有種，故C錯誤；對于D，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法分4類：編號為2的盒子放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有種，編號為2的盒子放3個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有種，編號為2的盒子放4個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有種，編號為2的盒子放5個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有1種，則共有種放法，故D正確，故選：AD．練習24．在中國革命史上有許多與“8”有關的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數字“8”是當之無愧的新時代“英雄數字”．如果一個四位數，各個位置上數字之和等于8，這樣的數稱為“英雄數”（比如1223，，就是一個“英雄數”），則所有的“英雄數”有個（用數字回答）【答案】120【分析】根據題意，將原問題轉化為將8個小球分為4組且第一組不能為0的問題，根據0的個數分情況，結合擋板法即可求解．【詳解】根據題意，8個相同的小球排成一排，8個小球兩兩之間不包括頭尾共有7個空位中，若四位數的“英雄數”中不含0，則需要在這7個空位中隨機安排3個擋板，可以將小球分為4組每兩個擋板之間的小球的數目依次對應四位數的千、百、十、個位數字，共有個，若四位數的“英雄數”中只有一個0，則需要在這7個空位中隨機安排2個擋板，可以將小球分成個數不為0的3組，0可以作為百、十、個位其中一位上的數字，此時共有個，若四位數的“英雄數”中有兩個0，則需要在這7個空位中隨機安排1個擋板，可以將小球分成個數不為0的2組，0可以作為百、十、個位其中兩位上的數字，此時共有個，若四位數的“英雄數”中有3個0，則只能是8000，只有一種情況，綜上：共有個“英雄數”．故答案為：120．練習25．用0~9十個數字排成三位數，允許數字重復，把個位?十位?百位的數字之和等于9的三位數稱為“長久數”，則“長久數”一共有個．【答案】【分析】將“長久數”的排列轉化為將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．【詳解】設對應個位到百位上的數字，則且，相當于將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，如圖，這11個數有10個空，用2個隔板隔開分為3組，左起第一組數的和作為，第二組數的和作為，第三組數的和作為，故共種，故答案為：45．題型六 特殊元素法例11．第屆世界大學生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】對女志愿者甲是否被選中進行分類討論，分別確定各賽場的人員安排，結合分類加法計數原理可得結果.【詳解】分以下兩種情況討論：①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數為，則女志愿者甲可安排在號或號或號賽場，另一位女志愿者安排在號賽場，余下個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數為；②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數為，編號為的賽場必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號賽場，余下人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數為.由分類加法計數原理可知，不同的安排方法種數為種.故選：D.例12．為了紀念世界地球日，復興中學高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學合影，若同學與同學站在一起，同學站在邊緣，則同學不與同學或相鄰的概率為．【答案】【分析】利用分步乘法原理先求出同學與同學站在一起，同學站在邊緣的方法數，再求出其中同學不與同學或相鄰的方法數，然后利用古典概型的概率公求解即可.【詳解】將同學與同學看成一個整體，與剩下的5人排列，先讓同學站在邊上，有種方法，然后同學與同學組成的整體與剩下4人排列，有種方法，所以分步乘法原理可知同學與同學站在一起，同學站在邊緣，共有種方法，其中同學不與同學或相鄰的有：先讓同學站在邊上，有種方法，然后同學與同學組成的整體從與同學不相鄰的4個位置中選一個位置，有種方法，再讓剩下的4人去站剩下的4個位置，有種方法，所以由分步乘法原理可得同學不與同學或相鄰的共有種方法，所以所求概率為，故答案為：練習26．從0，1，2，…，9中選出三個不同數字組成四位數（其中的一個數字用兩次），如5242．這樣的四位數共有（

）A．1692個 B．3672個 C．3708個 D．3888個【答案】D【分析】就含零的個數分類討論后可得正確的選項.【詳解】情形一不含0的四位數個數為．情形二含1個0的四位數個數為．情形三含2個0的四位數個數為．于是符合題意的四位數個數為．故選：D.練習27．用0，1，2，3，4，5共6個數字，可以組成個沒有重復數字的六位奇數．【答案】288【分析】解法一，從特殊位置入手，即先考慮個位或十萬位上的數字，根據分步計數原理可求得答案；解法二，從特殊元素入手，即先考慮0的排法，再排其他數字，根據分步計數原理可求得答案.【詳解】解法一（從特殊位置入手）①從個位入手：個位上的數字的排法有種，十萬位上的數字的排法有種，余下的數字可以在其余各位上進行全排列，有種排法．由分步乘法計數原理知，符合題意的六位奇數共有個．②從十萬位入手：十萬位排定后，個位數字的排法與十萬位所排數字是奇數還是偶數有關，因此，需分2類．第1類，十萬位排奇數的六位奇數有個；第2類，十萬位排偶數的六位奇數有個．故符合題意的六位奇數共有個．解法二（從特殊元素入手）0不在兩端有種排法，從1，3，5中任選一個排在個位有種排法，其余各數位用余下的數字全排列，由分步乘法計數原理知，符合題意的六位奇數共有個．故答案為：288練習28．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等.數學上具有這樣特征的一類數稱為“回文數”.“回文數”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如121，241142等，在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”共有個．（用數字作答）【答案】【分析】根據給定的信息，確定五位正整數中的“回文數”特征，再由0出現的次數分類求解作答.【詳解】依題意，五位正整數中的“回文數”具有：萬位與個位數字相同，且不能為0；千位與十位數字相同，求有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”的個數有兩類辦法：最多1個0，取奇數字有種，取能重復的偶數字有種，它們排入數位有種，取偶數字占百位有種，不同“回文數”的個數是個，最少2個0，取奇數字有種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數字占百位有種，不同“回文數”的個數是個，由分類加法計算原理知，在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”共有個.故答案為：練習29．某34人班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡rap，14人喜歡籃球，每個人只喜歡一種.5人站一隊參觀，但是當隊伍中第個人分別喜歡唱、跳、rap、籃球時，上述4人會討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤.當且僅當兩個隊伍中至少有一個位置上的人的喜好不同，兩個隊伍才被認為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊方案數為.【答案】【分析】就5個人中喜歡的種類分類討論后可得正確的排隊方案數.【詳解】如果5個人中喜歡的種類有1種，則不同的排隊方案數為3種，如果5個人中喜歡的種類有2種，則不同的排隊方案數為；如果5個人中喜歡的種類有3種，則不同的排隊方案數為；如果5個人中喜歡的種類有4種，則不同的排隊方案數為；故不同的排隊方案數為.故答案為：.【點睛】思路點睛：對于較為復雜的計數問題，注意根據問題的特征選擇合理的分類討論的角度，這樣能簡化計算.練習30．現有包括甲、乙在內的5名同學在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有種【答案】54【分析】利用排列組合先排特殊元素，再排其余元素即可【詳解】先排乙，從中間的3個位置中選1個安排乙，則有種方法，再排甲，從除左端外，剩下的3個位置中選1個安排甲，則有種方法，最后排其余3個，有種方法，所以由分步乘法原理可知共有種方法，故答案為：54題型七 染色問題例13．某植物園要在如圖所示的5個區域種植果樹，現有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【分析】利用分類計數原理求解，按2與4兩區域種植果樹是否相同進行分類即可.【詳解】分兩類情況：第一類：2與4種同一種果樹，第一步種1區域，有5種方法；第二步種2與4區域，有4種方法；第三步種3區域，有3種方法；最后一步種5區域，有3種方法，由分步計數原理共有種方法；第二類：2與4種不同果樹，第一步在1234四個區域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；第二步種5號區域，有2種方法，由分步計數原理共有種方法.再由分類計數原理，共有種不同的方法.故選：C.例14．在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選擇，要求相鄰的土地不種同一種莊稼，共有（）種植方式．

A．240種 B．300種 C．360種 D．420種【答案】A【分析】先選出4種莊稼，再根據可能的相同莊稼情況計算種數，運用分步乘法計數原理即可求解.【詳解】根據題意，五塊土地上種植四種莊稼，先選出4種莊稼，共有種選擇，則地種植相同莊稼或地種植相同莊稼，共有種選擇，根據分步乘法計數原理可知，有種．故選：A練習31．某小區物業在該小區的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區域．現有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個區域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種【答案】C【分析】先對圖中不同的區域命名，分與布置相同的花卉、與布置不同的花卉兩種情況，再運用分步計數和分類計數的方法從開始計數即可.【詳解】如圖，不同的布置方案分兩類：當與布置相同的花卉時，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有5種不同的選擇；再安排，有4種不同的選擇；最后安排，有4種不同的選擇，共有種.當與布置不同的花卉時，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有種不同的選擇；再安排,有3種不同的選擇；最后安排，有3種不同的選擇，共有種.所以不同的布置方案有種.故選：C練習32．中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1，2，3，..，8，現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域（如區域1與區域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種【答案】C【分析】由題意可得，只需確定區域的顏色，先涂區域1，再涂區域2，再分區域3與區域1涂的顏色不同、區域3與區域1涂的顏色相同，最后根據分步乘法原理即可求解.【詳解】由題意可得，只需確定區域的顏色，即可確定整個傘面的涂色.先涂區域1，有7種選擇；再涂區域2，有6種選擇.當區域3與區域1涂的顏色不同時，區域3有5種選擇，剩下的區域4有5種選擇.當區域3與區域1涂的顏色相同時，剩下的區域4有6種選擇.故不同的涂色方案有種.故選：C練習33．（多選）如圖，用種不同的顏色把圖中四塊區域涂上顏色，相鄰區域不能涂同一種顏色，則（

）A．B．當時，若同色，共有48種涂法C．當時，若不同色，共有48種涂法D．當時，總的涂色方法有420種【答案】ABD【分析】根據同色或者不同色，即可結合選項，根據分步乘法計數原理求解.【詳解】對于A，由于區域與均相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區域不同色，故A正確，對于B，當時，此時按照的順序涂，每一個區域需要一個顏色，此時有種涂法，涂時，由于同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，B正確；對于C，當時，涂有種，當不同色（D只有一種顏色可選），此時四塊區域所用顏色各不相同，涂只能用與同色，此時共有24種涂法，C錯誤；對于D，當時，此時按照的順序涂，每一個區域需要一個顏色，此時有種涂法，涂時，當同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與同色的顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，當不同色，此時四塊區域所用顏色各不相同，共有，只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂此時共有種涂法，綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，故選：ABD練習34．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.【答案】96【分析】將格子自左向右編號為1，2，3，4，易得格子1，2有種選法，再分格子3與格子1相同和不同求解.【詳解】解：將格子自左向右編號為1，2，3，4，5,6格子1，2有種選法，當格子3與格子1相同時，此時格子4，5，6都有2種選法，當格子3與格子1不同時，此時格子3有1種選法，格子4，5，6都有2種選法，所以當格子1和2顏色確定后，格子4，5，6共有種選法，所以不同的涂色方法有種，故答案為：96練習35．用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種．

【答案】48【分析】根據題意，由分步乘法計數原理，即可得到結果.【詳解】先涂區域1，有4種選擇，再涂區域2，有3種選擇，接著涂區域3，有2種選擇，最后剩下的兩個區域有2種選擇．故不同的涂色方法有種．故答案為：題型八 平均分組問題例15．新高考按照“”的模式設置，其中“3”為語文，數學、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學、生物，政治，地理4門科目中選考2門科目，若學生甲、乙隨機選擇自己的選考科目，則甲、乙選考的三門科目均不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合排列組合數的運算，利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】由題意，甲、乙隨機選擇自己的選考科目的情況有種，甲、乙選考的三門科目均不相同的情況有種，所以所求的概率是.故選：A例16．臨近春節，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯分為長聯和短聯兩種，無論是長聯或短聯，內容均不相同．經過調查，四戶老人各戶需要1副長聯，其中乙戶老人需要1副短聯，其余三戶各要2副短聯．書法愛好小組按要求選出11副春聯，則不同的贈送方法種數為．【答案】15120【分析】利用全排列計算長聯的分配方式，利用平均分組分配計算短聯的分配方式，結合分布乘法原理，可得答案.【詳解】4副長聯內容不同，贈送方法有種；從剩余的7副短聯中選出1副贈送給乙戶老人，有種方法，再將剩余的6副短聯平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人，方法種數為．所以所求方法種數為．故答案為：.練習36．某冷飲店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圓葡萄”四種飲品可供選擇，現有四位同學到店每人購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意按照分組分配問題的步驟，首先計算出恰有兩種飲品沒人購買的總數，再計算出四種飲品四人隨意選擇的總數，即可求得其概率.【詳解】解決該問題，可以將四位同學先分為2，2或3，1兩堆，共有種分堆方法，再從4種飲品中選出2種，分配給兩堆人，故共有種方法.所以恰有兩種飲品沒人購買的概率為.故選：A練習37．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A．450種 B．360種 C．90種 D．70種【答案】A【分析】利用分組和分配的求法求得名航天員的安排方案，再利用分類加法計數原理即可求得.【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數為的三組，共有種；第二種：分人數為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.練習38．在某項建造任務中，需6名航天員在天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內同時進行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．450種 B．180種 C．720種 D．360種【答案】A【分析】安排方案分為兩類，第一類，每個艙各安排2人，第二類，分別安排3人，2人，1人，結合分堆分配問題解決方法求解即可.【詳解】方案