階段提升課第三課平面向量

思維導圖·構建網絡考點整合·素養提升

題組訓練一平面向量的線性運算及其應用

1.對于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定義m?n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a?b,那么向量b等于 (

)【解析】選A.設b=(x,y),由新定義及a+b=a?b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以向量b=.2.在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點.若其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.【解析】選擇作為平面向量的一組基底,則又【方法技巧】(1)向量的線性運算主要是運用它們的運算法則、運算律,解決三點共線、兩線段平行、線段相等、求點或向量的坐標等問題,而理解相關概念,用基底或用坐標表示向量是基礎.(2)向量是一個有“形”的幾何量,因此在研究向量的有關問題時,一定要結合圖形進行分析判斷求解,特別是平行四邊形法則和三角形法則的應用.

題組訓練二平面向量數量積的運算

1.已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若b·c=14,|c|=5,則向量c的坐標為________.

【解析】因為2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以b=(2,2).設c=(x,y),則由題可知解得所以c=(3,4)或c=(4,3).答案:(3,4)或(4,3)2.已知|a|=1,|b|=.(1)若a∥b,求a·b.(2)若a,b的夾角為60°,求|a+b|.(3)若(2a-b)⊥b,求a與b的夾角.【解析】(1)若a∥b,則a與b的夾角為0或π.所以a·b=|a||b|cos0=1××1=或a·b=|a||b|·cosπ=-.(2)因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=1+2×1××+2=3+,所以|a+b|=(3)設a與b的夾角為θ.若(2a-b)⊥b,則(2a-b)·b=0,即2a·b-b2=0,所以2|a||b|cosθ-|b|2=0,即2×cosθ-2=0,所以cosθ=又0≤θ≤π,所以θ=【方法技巧】向量數量積的兩種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a|·|b|cos<a,b>.(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.運用兩向量的數量積解決長度、夾角、垂直等問題,解題時應靈活選擇相應公式求解.

題組訓練三平面向量的平行與垂直

1.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是 (

)

A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.因為=(8,-4),=(2,4),所以·=8×2+(-4)×4=0,所以⊥,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.2.已知向量與的夾角為120°,且||=3,||=2.若且則實數λ的值為________.

【解析】由知=0,即=(λ)·()=(λ-1)

=(λ-1)×3×2×

-λ×9+4=0,解得λ=.答案:

【方法技巧】1.證明共線問題常用的方法(1)向量a,b(a≠0)共線?存在唯一實數λ,使b=λa.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0.(3)向量a與b共線?存在不全為零的實數λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.2.證明平面向量垂直問題的常用方法a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b為非零向量.

題組訓練四平面向量的模、夾角

1.設|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,則|3a+b|的值為________.

【解析】方法一:因為|3a-2b|=3,所以9a2-12a·b+4b2=9.又因為|a|=|b|=1,所以a·b=.所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9+6×+1=12.所以|3a+b|=2.方法二:設a=(x1,y1),b=(x2,y2).因為|a|=|b|=1,所以

因為3a-2b=(3x1-2x2,3y1-2y2),所以|3a-2b|=所以x1x2+y1y2=.所以|3a+b|=答案:22.已知平面內三點A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)|2|.(2)與夾角的余弦值.(3)與垂直的單位向量的坐標.【解析】(1)由題意可得,=(-1,1),=(1,5),所以2=(-1,7),所以|2|=(2)設與的夾角為θ,則cosθ=(3)設與垂直的單位向量的坐標為(x,y),因為·(x,y)=(2,4)·(x,y)=2x+4y=0,且x2+y2=1,所以要求的向量的坐標為【方法技巧】1.夾角問題求向量a,b夾角θ的步驟:(1)求|a|,|b|,a·b;(2)求cosθ=(夾角公式);(3)結合θ的范圍[0,π]確定θ的大小.因此求向量的夾角先轉化為求向量夾角的余弦值,再結合夾角的范圍確定夾角的大小.2.有關向量的模長問題(1)若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=(2)若向量a無坐標,則利用平方法,即|a|2=a2;|a±b|2=a2±2a·b+b2.

題組訓練五平面向量在幾何和物理方面的應用

1.點P在平面上做勻速直線運動,速度v=(4,-3),設開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點P的坐標為(速度單位:m/s,長度單位:m)(

)A.(-2,4) B.(-30,25)C.(10,-5) D.(5,-10)【解析】選C.5秒后點P的坐標為(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).2.如圖所示,P是正方形ABCD的對角線BD上一點,四邊形PECF是矩形,求證:(1)PA=EF.(2)PA⊥EF.【證明】(1)建立如圖所示的平面直角坐標系,設正方形的邊長為1,||=λ,則A(0,1),因為所以故PA=EF.(2)因為