專題10三角形三邊、三線、內角和與外角和壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一三角形中的中線】 1【考點二三角形中的角平分線】 4【考點三三角形中的高線】 7【考點四三角形內角和定理的證明】 9【考點五與平行線有關的三角形內角和問題】 13【考點六與角平分線有關的三角形內角和問題】 18【考點七三角形的外角和性質】 22【考點八確定第三邊的取值范圍】 27【過關檢測】 29【典型例題】【考點一三角形中的中線】例題：（2023上·浙江臺州·八年級臺州市書生中學校考階段練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則．【變式訓練】1．（2023上·新疆阿勒泰·八年級校考期中）如圖，在中，已知點D、E、F分別是的中點，且，則．2．（2023上·河北廊坊·八年級校考階段練習）在中，是的中點，，．用剪刀從點入手進行裁剪，若沿剪成兩個三角形，它們周長的差為；若點在上，沿剪開得到兩部分周長差為，則．【考點二三角形中的角平分線】例題：（2022上·安徽阜陽·八年級校考期中）如圖，平分，，，則

【變式訓練】1．（2023上·廣東茂名·八年級統考期末）如圖，在中，平分，平分，，則的度數為.2．（2023下·河南駐馬店·七年級統考期末）在中，，的平分線交于點O，外角平分線所在的直線的平分線相交于點，與的外角平分線相交于點E，則下列結論一定正確的是．（填寫所有正確結論的序號）①；②；③；④．【考點三三角形中的高線】例題：（2022上·山東淄博·七年級校考階段練習）如圖所示，在中，邊上的高是，邊上的高是；在中，邊上的高是；邊上的高是；在中，邊上的高是；邊上的高是．【變式訓練】1．（2023上·吉林·八年級統考階段練習）如圖，在中，是邊上的高，若，，則的度數為．2．（23-24七年級下·山東德州·階段練習）如圖，在直角三角形中，，，，．(1)點B到的距離是________；點到的距離是_________cm．(2)畫出表示點C到的距離的線段，并求這個距離．【考點四三角形內角和定理的證明】例題：小明在研究：三角形的內角和為．這個命題時進行了以下操作，請你根據他的思路填寫證明過程．證明：過A點作______∵（已知）∴______，______（

）∵______（

）∴∴______（

）【變式訓練】1．（23-24八年級上·河南新鄉·階段練習）在證明“三角形的內角和是180°”的結論時，有如下兩種實驗方法．小明受實驗方法1的啟發，形成了證明該結論的思路，寫出了已知、求證，并進行了證明，如下：請你參考小明的思路，寫出實驗方法2的證明過程．2．（23-24七年級上·河南南陽·期末）在學習完七年級上冊第五章《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣，張老師圍繞平行線這一節在班級內開展了一個課題學習活動：探究平行線的“等角轉化”功能．(1)觀察發現：在小學我們曾剪下三角形的兩個內角，將它們與第三個內角拼在一起，發現三個內角恰好拼成了一個平角，得出如下結論：三角形的內角和等于．問題1：請同學們嘗試用說理的方式證明該結論正確．聰明的小明同學給出如下解答，請補全證明過程．證明：如圖1所示，，，是的三個內角，過點A作．∵（已知），①（理由：②）（平角定義），（理由：③）三角形內角和等于．(2)拓展探究：聽完小明的說理過程后，善于思考的小亮同學提出：小明作輔助線的方法，就是借助平行線把三角形的三個內角轉化成一個平角，這就啟發我們構造平行線能起到轉移角的作用．對于問題1，小亮還有其他證明方法：如圖2所示，已知，，是的三個內角，延長到，過點作．請你按照小亮同學的解答思路證明．(3)遷移應用：已知，點在點的右側，，平分，平分，，所在的直線交于點，點在直線與之間．①如圖3，點在點A的左側，若，則．（填角的度數）②如圖4，點在點A的右側，且，，若，則．（用含的代數式表示）【考點五與平行線有關的三角形內角和問題】例題：（22-23七年級下·浙江杭州·期中）如圖，，連接、、，且．(1)若，求的度數．(2)若，求證：．(3)若與互補，求與的數量關系，并證明．【變式訓練】1．（23-24七年級下·廣東廣州·階段練習）如圖示，已知，平分，平分．(1)與有什么數量關系？請說明理由．(2)與平行嗎？請說明理由．2．（22-23七年級下·四川成都·階段練習）已知，點E為直線、所確定的平面內一點．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，點在的延長線上，連接、，若，，，求的度數．(3)在（2）的條件下，如圖3，過點F作交的延長線于點G，連接，作交于點H，使，當時，求的度數．【考點六與角平分線有關的三角形內角和問題】例題：（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，在中，為邊上的高，點為邊上的一點，連接．(1)當為邊上的中線時，若，的面積為，求的長；(2)當為的角平分線時，若，，求的度數．【變式訓練】1．（23-24八年級上·廣東江門·期中）如圖①，在中，與的平分線相交于點P．(1)如果，求的度數；(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點Q，試探索，之間的數量關系．2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）已知：如圖，為的角平分線，過延長線上的任意一點H作的垂線，分別交于三點．(1)如果，，則___________；(2)求證：．【考點七三角形的外角和性質】例題：（2024七年級下·江蘇·專題練習）如圖，平分的內角，平分的外角，相交于點E．(1)若，求的度數；(2)若，求的度數．【變式訓練】1．（21-22八年級上·河南鄭州·期末）如圖①，在中，與的平分線相交于點P．(1)如果，則的度數為；(2)如圖②，分別作外角的角平分線，兩條角平分線相交于點Q，試猜想與之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖③，延長線段交于點E，在中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，請直接寫出的度數．2．（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）中，，點D，E分別是邊上的點，點P是一動點，令，，．(1)如圖1，若點P在線段上，且，則；(2)如圖2，若點P在線段上運動，則之間的關系為；(3)如圖3，若點P在線段的延長線上運動，則之間的關系為．(4)如圖4，若點P運動到的內部，寫出此時之間的關系，并說明理由．(5)若點P運動到的外部，且與點A分別位于直線兩側時，請在圖5中畫出一種情形，直接寫出此時之間的關系，無需說明理由．【考點八確定第三邊的取值范圍】例題：（2023上·福建龍巖·八年級龍巖初級中學校考階段練習）已知三角形三條邊的長度為3、x、9，x的取值范圍是【變式訓練】1．（2023上·寧夏吳忠·八年級校考期中）小明要做一個三角形鏡框，他現有和的兩根木條，則第三根木條x的取值范圍是．2．（2024上·北京順義·八年級統考期末）若三角形的兩邊長分別為4和6，則第三邊的長度可以為（寫出一個即可）．【過關檢測】一、單選題1．（2024年江蘇省宿遷市九年級中考數學二模模擬試題）現有兩根長度為3和4（單位：cm）的小木棒，下列長度的小木棒不能與它們搭成三角形的是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024·河南商丘·一模）如圖，已知，，則∠3的度數為（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級下·重慶黔江·期中）如圖，在中，，G為的中點，的延長線交于點E，F為上的一點，于H，下面判斷正確的有（

）是的角平分線；是的邊上的中線；是的邊上的高；是的角平分線和高．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（23-24七年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在中，，是的平分線，和是兩個外角的平分線，、、三點在一條直線上，下列結論中：①；②；③；④；⑤，其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（23-24七年級下·廣東廣州·階段練習）如圖，四邊形中，的平分線交于點，的平分線交于點，下列結論：①；②；③；④若，則．其中正確的結論有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題6．（23-24八年級上·內蒙古鄂爾多斯·階段練習）如圖，在中，，是邊上的高，求=．7．（23-24七年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，已知為的中線，，的周長為，則的周長為．

8．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，點是兩條角平分線的交點，如果，那么．9．（23-24七年級下·重慶·階段練習）如圖，在中，D、H分別是邊的中點，E、G是上的點，且，F是的中點，若四邊形的面積為20，則圖中陰影部分面積為．10．（22-23八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，…，和的平分線交于點，則．三、解答題11．（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習）在中，．(1)設、的平分線交于點，求的度數；(2)設的外角、的平分線交于點，求的度數；(3)與有怎樣的數量關系?12．（23-24七年級下·廣東廣州·階段練習）如圖，已知分別在的延長線上，．(1)求證：；(2)若，求證：平分；(3)在（2）的條件下，若，求的度數．13．（23-24七年級下·山東淄博·期中）如圖1，在中，，分別作其內角與外角的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點．(1)；(2)分別作與的平分線，且兩條角平分線交于點．①依題意在圖1中補全圖形；②求的度數；14．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖1，，且相交于點．(1)證明：；(2)如圖2，連接，當時，在的延長線上取點，使，連接，若，求的度數；(3)如圖3，在（2）的條件下，作的平分線交于點，當，且時，求的面積．15．（23-24七年級下·山東濟南·階段練習）閱讀下面的材料，并解決問題．(1)已知在中，，圖1﹣圖3的的內角平分線或外角平分線交于點O，請直接求出下列角度的度數．如圖1，；如圖2，；如圖3，；如圖4，，的三等分線交于點，，連接，則．(2)如圖5，點O是△兩條內角平分線的交點，則．(3)如圖6，中，的三等分線分別與的平分線交于點，，若，，求的度數．16．（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習）【數學經驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，中，，則的三條高所在直線交于點；②如圖2