試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年浙江省杭州市中考數學模擬試題分類匯編：二次函數一、單選題1．（2023·浙江杭州·校考二模）已知拋物線經過平移后得到拋物線，若拋物線上任意一點坐標是，則其對應點坐標一定是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意求得拋物線向下平移2個單位后得到拋物線，故拋物線上任意一點向下平移2個單位得到其對應點的坐標．【詳解】解：∵拋物線經過平移后得到拋物線，∴拋物線向下平移2個單位后得到拋物線，∴拋物線上任意一點坐標是，則其對應點坐標為．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像的平移，解題的關鍵是根據題意推得拋物線向下平移2個單位后得到拋物線．2．（2023·浙江杭州·校考二模）已知拋物線經過不同的兩點，，下列說法正確的是（）A．若時都有，則B．若時都有，則C．若時都有，則D．若時都有，則【答案】C【分析】根據兩點的縱坐標相同，可求得拋物線的對稱軸為直線，再由對稱軸公式即可求得答案；【詳解】解：∵拋物線經過，兩點，∴拋物線的對稱軸為直線．對于A選項，若時，∴．又，∴此時，y隨x的增大而減小．∴拋物線開口向上．∴，故A不符合題意；對于B選項，若時，∴．此時關于對稱軸對稱的點為，若，∴或．∴選項B不符合題意．若時，∴．又，∴此時，y隨x的增大而減小．∴拋物線開口向上．∴，故C符合題意．若時，∴．又，∴此時，y隨x的增大而增大．∴拋物線開口向下．∴，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題時需要熟練掌握并靈活運用．3．（2023·浙江杭州·校聯考二模）已知二次函數和一次函數（，為常數）．若．當函數的圖象經過點時，與之間的數量關系為（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】首先根據條件求出，然后將代入，得出關于、等式即可求解．【詳解】解：，，，，，，函數的圖象經過點，，或，或．故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，解一元二次方程，正確并且靈活地應用二次函數的性質是解題的關鍵．4．（2023·浙江杭州·校聯考三模）已知二次函數的圖象與x軸交于A(a，0)，B(b，0)兩點，且滿足，．當時，該函數的最大值H與m滿足的關系式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二次函數圖象與x軸交于A(a，0)，B(b，0)兩點，且，確定函數圖象的對稱軸的位置，從而確定當1≤x≤3時，時取最大值，即可得出H與m的關系．【詳解】解：∵二次函數圖象與x軸交于A(a，0)，B(b，0)兩點，且，∴二次函數圖象的對稱軸，∵二次函數，距離對稱軸越遠的點，函數值越大，∵當對稱軸為直線時，橫坐標為1和3的點到對稱軸的距離最遠，且此時這兩個點到對稱軸的距離相等，此時當或，函數值最大，∵當對稱軸不是直線，當1≤x≤3時，橫坐標為的點距離對稱軸最遠，當時，函數有最大值，，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，根據確定二次函數對稱軸的位置是解題的關鍵．5．（2023·浙江杭州·校考三模）二次函數的圖象與x軸的兩個交點為，，且，點是圖象上一點，那么下列判斷正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】D【分析】根據二次函數的圖象與性質可進行排除選項．【詳解】解：由二次函數可知開口向上，對稱軸為直線，當時，隨的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大；∵，是二次函數與x軸的交點，點是圖象上的一點，∴當時，則或；故、選項錯誤；當時，則，故正確；當且時，此時有可能，故錯誤；故選．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．6．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學校考三模）已知二次函數，當時，函數值為，當時，函數值為，若，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況根據二次函數的對稱性確定出與的大小關系，然后對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：∵∴令，即∴解得或∴二次函數與x軸的交點為和∴二次函數的對稱軸為，①當時，二次函數圖象開口向上，∵，∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，∴，即，∴，無法確定的正負情況，②時，二次函數圖象開口向下，∵，如圖，∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，∴，即，∴，無法確定的正負情況，綜上所述，正確的是．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的對稱性，難點在于根據二次項系數a的正負情況分情況討論．7．（2023·浙江杭州·校考三模）若二次函數的解析式為．若函數圖象過點和點，則q的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二次函數的解析式為，可以得到該函數的對稱軸，再根據函數過點和點，可以得到，然后即可用含m的代數式表示出p，然后根據在該函數圖象上，代入函數解析式，即可得到關于m的二次函數，再根據m的取值范圍，即可得到q的取值范圍．【詳解】解：∵二次函數的解析式為，∴該函數的對稱軸為直線，∵函數過點和點，∴，∴，∴，∴當時，q隨m的增大而減小，∵，∴當時，q取得最大值4；當時，q取得最小值，∴q的取值范圍是，故選：A．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，得到q和m的函數解析式，利用二次函數的性質求最值．8．（2023·浙江杭州·統考中考真題）設二次函數是實數，則（

）A．當時，函數的最小值為 B．當時，函數的最小值為C．當時，函數的最小值為 D．當時，函數的最小值為【答案】A【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對稱軸為直線，再分別求出當或時函數y的最小值即可求解．【詳解】解：令，則，解得：，，∴拋物線對稱軸為直線當時，拋物線對稱軸為直線，把代入，得，∵∴當，時，y有最小值，最小值為．故A正確，B錯誤；當時，拋物線對稱軸為直線，把代入，得，∵∴當，時，y有最小值，最小值為，故C、D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關鍵．9．（2023·浙江杭州·校聯考二模）已知a＜0，，是方程的兩個根，且，，是拋物線與x軸的兩個交點橫坐標，且，則，，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，是方程的兩個根，且，可得的圖象如圖示，且，對稱軸為直線，而的形狀與的形狀相同，開口方向一致，與軸交于同一點，且對稱軸為直線，結合，則，從水平方向看的圖象是的圖象先向左平移得到的；可得的圖象如圖示；再結合圖象可得答案．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，且，∴的圖象如圖示，且，對稱軸為直線，

而的形狀與的形狀相同，開口方向一致，與軸交于同一點，且對稱軸為直線，∵，則，則，∴從水平方向看的圖象是的圖象先向左平移；∴的圖象如圖示；∴，故選C【點睛】本題考查的是二次函數的圖象的平移，二次函數的性質，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．10．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團（總校）校考三模）已知二次函數和，令，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據題意畫出兩個函數圖象，然后結合函數圖象及絕對值的意義依次判斷即可．【詳解】解：∵，∴對稱軸為，∵∴相當于將向右平移1個單位長度，對稱軸為，如圖所示：當時，，即當點橫坐標到的距離大于時，由圖得即或時，當時，；當時，；故A、B選項錯誤，不符合題意；當時，即當點橫坐標到的距離小于等于時，由圖得即時，由圖得：當時，為負數，且二者之間距離最大，∴，，∴，當時，為正數，且二者之間距離最大，∴，，∴，∴時，，故選：D．

【點睛】題目主要考查二次函數的基本性質，絕對值的意義，理解題意，采用數形結合思想求解是解題關鍵．11．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學校考三模）設函數，，直線的圖象與函數，的圖象分別交于點，，得（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．著，則【答案】C【分析】根據題意分別畫出，的圖象，繼而根據圖象即可求解．【詳解】解：如圖所示，若，則，故A選項錯誤；如圖所示，若，則或，故B選項錯誤；如圖所示，若，則，故C選項正確，D選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，理解題意，畫出圖象，數形結合是解題的關鍵．12．（2023·浙江杭州·校考二模）已知點，在二次函數的圖象上，點是函數圖象的頂點.（

）A．當＞時，的取值范圍時＜＜B．當＞時，的取值范圍是＞C．當＞時，的取值范圍是＜D．當＞時，的取值范圍是＜【答案】D【分析】通過已知條件判斷出函數有最大值和最小值兩種情況，即開口有上下兩種情況，然后根據兩點與對稱軸有同側和異側兩種情況分類討論選項中的關系是否成立．【詳解】解：A選項時，函數有最小值，圖象開口向上，若已知兩點在對稱軸同側時，如圖，關系不成立；B選項時，函數有最小值，圖象開口向上，若已知兩點在對稱軸異側時，如圖，＞關系不成立；C選項時，函數有最大值，圖象開口向下，若已知兩點在對稱軸異側時，如圖，＜關系不成立；D選項時，函數有最大值，圖象開口向下，如圖，兩點不論在對稱軸的同側還是異側都成立．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線的性質和分類討論的數學思想，關鍵在于對對稱軸與已知兩點的位置進行分類討論，較好的考查了數學分析能力．13．（2023·浙江杭州·統考二模）點在二次函數的圖象上，針對n的不同取值，存在點P的個數不同，甲乙兩位同學分別得到如下結論：甲：若P的個數為1，則；乙：若P的個數為2，則則下列判斷中正確的是（）A．甲正確，乙正確 B．甲正確，乙錯誤C．甲錯誤，乙正確 D．甲錯誤，乙錯誤【答案】B【分析】根據拋物線的對稱性可知，當是頂點的縱坐標時，P的個數為1，當不是頂點縱坐標時，P的個數為2，即可得出結論．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點坐標為：，∵點在二次函數的圖象上，∴當時，點為拋物線的頂點，只有1個，當時，根據拋物線的對稱性，點P的個數為2；∴甲正確，乙錯誤；故選B．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質．熟練掌握拋物線的對稱性，是解題的關鍵．14．（2023·浙江杭州·統考二模）已知二次函數，，（a，b為常數，且），則下列判斷正確的是（

）A．若，當時，則 B．若，當時，則C．若，當時，則 D．若，當時，則【答案】B【分析】先計算，再根據各選項給定的條件逐一分析即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，，，∴，∴；∴；故A不符合題意；∵，，∴，，，∴；∴；故B符合題意；∵，，∴，，，∴；∴；故C不符合題意；∵，，∴，，，∴可以比0大，也可以比0小；∴，的大小不確定；故D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是二次函數的函數值的大小比較，因式分解的應用，熟練的利用作差的方法比較大小是解本題的關鍵．15．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學校考二模）已知二次函數（為常數）經過點，一元二次方程的兩個解為，，當時，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根據函數與方程的聯系，確定拋物線過點，，然后根據題意求得拋物線的對稱軸為直線，進而得到拋物線為，根據拋物線的對稱性得出，即可得到，代入得到，根據圖象上點的坐標特征即可求得．【詳解】解：∵二次函數，一元二次方程的兩個解為，，∴拋物線過點，，拋物線經過點，，拋物線的對稱軸為直線，，拋物線為，拋物線經過點，，，，，∵，∴，，，，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的圖象和性質，以及二次函數與一元二次方程之間的關系，熟知二次函數的對稱性是解題的關鍵．16．（2023·浙江杭州·校考二模）關于一元二次方程，有以下命題：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若有兩個相等的實數根，則無實數根．其中真命題是()A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】①由可知是的解，據此判斷即可；②把，代入再消去b即可得到a與c的關系式，從而作出判斷；③根據有兩個不相等的實根得出從而得出，從而作出判斷；④根據有兩個相等的實數根得出，從而得到第二個方程，無法判斷正負，從而推斷④錯誤．【詳解】解：①若則是的解，即方程有實數根，故①正確；②把代入方程得到：（1）把代入方程得到：（2）把（2）式加上（1）式×2得到：

即：故②正確；③方程有兩個不相等的實數根，則它的，∴方程必有兩個不相等的實根．故③正確；④∵有兩個相等的實數根，∴∴對于方程，即來說，由于不知道a的正負，因此無法判斷的正負，故④錯誤．∴正確的有：①②③．故選A．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，命題的真假判斷，掌握根的判別式與根的情況的關系是解題的關鍵．17．（2023·浙江杭州·統考一模）已知點、是二次函數圖象上的兩個點，若當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據點A、B是該二次函數圖象上的兩點且縱坐標相等，可得對稱軸為直線，再根據開口向上，時，y隨x的增大而減小，可得，據此即可求解．【詳解】解：∵點、是二次函數圖象上的兩個點，∴該二次函數圖象的對稱軸為直線，且開口向上，∵當時，y隨x的增大而減小，∴該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側，，解得，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，得到該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側是解決本題的關鍵．18．（2023·浙江杭州·統考二模）已知y關于x的二次函數，下列結論中正確的序號是（

）①當時，函數圖象的頂點坐標為；②當m≠0時，函數圖象總過定點：③當時，函數圖象在x軸上截得的線段的長度大于；④若函數圖象上任取不同的兩點、，則當時，函數在時一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出當時，二次函數圖象的頂點坐標即可判斷①；當m≠0時，二次函數，當時，y的值與m無關，求出x的值，即可得到定點，即可判斷②；求出，函數圖象在x軸上截得的線段的長度大于；即可判斷③；當時，拋物線的對稱軸為，則拋物線開口向下，當時，只有當對稱軸在右側時，y才隨x的增大而減小，即成立，即可判斷④．【詳解】解：當時，二次函數，此時函數圖象的頂點坐標為，故①正確；當m≠0時，二次函數，當時，y的值與m無關，此時，，當時，，當時，，∴函數圖象總過定點，：故②正確；當時，，∵，∵，∴，∴當時，∴，∴函數圖象在x軸上截得的線段的長度大于；故③正確；函數圖象上任取不同的兩點、，則當時，拋物線的對稱軸為，∴拋物線開口向下，當時，只有當對稱軸在右側時，y才隨x的增大而減小，即成立，故④錯誤，綜上可知，正確的是①②③，故選：A【點睛】此題考查了拋物線與x軸的交點，主要考查了函數圖象上的點的坐標特征，要求非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等坐標的求法及這些點代表的意義及函數特征．19．（2023·浙江杭州·校聯考一模）已知二次函數（，是常數）的圖象與軸的交點坐標是，，，當時，，當時，，則（

）（

）A．，至少有一個小于 B．，都小于C．，至少有一個大于 D．，都大于【答案】A【分析】根據題意易得、到和的距離至少有一個小于，進而利用二次函數的性質可進行求解．【詳解】解：∵二次函數（，是常數）的圖象與軸的交點坐標是，，且，∴，，∴，∴、到和的距離至少有一個小于，不妨設，則有：，即，∴，至少有一個小于；故選A．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．20．（2023·浙江杭州·統考一模）已知二次函數（a為不等于零的常數），命題①：點不在該函數圖象上；命題②：該函數圖象的對稱軸在y軸左側；命題③：該函數圖象與y軸的交點位于原點的上方；命題④：該函數有最小值，且最小值不大于零．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（

）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【答案】B【分析】將點代入解析式，即判斷①是真命題，進而根據二次函數的性質，開口方向，對稱軸，與軸的交點坐標，結合題意分析判斷即可求解．【詳解】解：∵①將點代入解析式，即∴∴，∵∴原方程無解，∴點不在該函數圖象上；故①是真命題；∵∴對稱軸為直線∵，而,∴的符號不確定，∵，當，，該函數圖象與y軸的交點為，若，則,該函數圖象的對稱軸在y軸右側，該函數圖象與y軸的交點位于原點的上方，函數有最小值，若，則,該函數圖象的對稱軸在y軸左側，該函數圖象與y軸的交點位于原點的下方，函數有最大值，若命題②是真命題，則命題③是假命題，命題④也是假命題，∵這四個命題中只有一個命題是假命題，∴命題②是假命題;故選：B．【點睛】本題考查了真假命題的判斷，二次函數的性質，熟練掌握掌握二次函數的性質是解題的關鍵．21．（2023·浙江杭州·統考一模）坐標平面上有一水平線與二次函數的圖形，其中為一正數，且與二次函數圖象相交于、兩點，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根據對稱軸，結合即可求解．【詳解】解：設對稱軸與交于點．.，．對稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數關于對稱軸對稱，結合圖形，找到線段的長度是解題的關鍵．22．（2023·浙江杭州·一模）點，在拋物線上，存在正數，使得且時，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據函數解析式求出對稱軸，根據關于拋物線的軸對稱性質求出，取值范圍，再根據不等關系列不等式求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，拋物線對稱軸為直線，根據二次函數對稱性可得，當時，當，，即，∵存在正數m，使得且時，都有，∴或，解得：或，故選C．【點睛】本題考查拋物線的軸對稱性及對稱軸公式，解題的關鍵是根據拋物線的對稱性，利用數形結合思想解題．23．（2023·浙江杭州·統考一模）設二次函數（a，c是常數，），已知函數的圖象經過點，，，設方程的正實數根為m，（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據二次函數的性質可得點關于對稱軸的對稱點為，點關于對稱軸的對稱點為，再由二次函數圖象與方程的關系可得二次函數的圖象與直線的右側的交點的橫坐標為m，再結合圖象即可求解．【詳解】解：∵二次函數關于y軸對稱，∴點關于對稱軸的對稱點為，點關于對稱軸的對稱點為，∵方程的正實數根為m，∴二次函數的圖象與直線的右側的交點的橫坐標為m，如圖，當時，，故A、B選項錯誤，不符合題意；當，時，，故C選項錯誤，不符合題意；D選項正確，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．24．（2023·浙江杭州·統考一模）二次函數與自變量的部分對應值表如下，已知有且僅有一組值錯誤(其中，，，均為常數)甲同學發現當時，是方程的一個根；乙同學發現當時，則．下列說法正確的是()A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都錯 D．甲乙都對【答案】A【分析】根據表格數據得出與的數據正確，進而得出，對稱軸為直線，判斷甲正確，假設乙正確，則出現2組數據錯誤，與題意不符，據此即可求解．【詳解】解：根據表格可知，與時的函數值相等，當時，，時，∴由拋物線的對稱性可得，對稱軸為直線，即∵∴當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，∴拋物線開口向上，則，∵對稱軸為，當時，∴當時，即當時，是方程的一個根；若時，則，則存在2組數據錯誤，故不符合題意，故甲對乙錯，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．25．（2023·浙江杭州·統考一模）已知拋物線，該拋物線經過平移得到新拋物線，新拋物線與x軸正半軸交于兩點，且交點的橫坐標在1到2之間，若點，在拋物線的圖象上，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設平移后解析式為，由新拋物線與x軸正半軸交于兩點，且交點的橫坐標在1到2之間得，由點，在拋物線的圖象上可得，，最后表示出的長度求范圍即可．【詳解】∵拋物線，該拋物線經過平移得到新拋物線，∴平移后解析式為，∵新拋物線與x軸正半軸交于兩點，且交點的橫坐標在1到2之間，∴，∵點，在拋物線的圖象上∴，，∴，∴當時，最小，當或時，最大，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和二次函數的平移，表示出是解題的關鍵．26．（2023·浙江杭州·統考一模）在平面直角坐標系中，已知，設函數的圖像與x軸有M個交點，函數的圖像與x軸有N個交點，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】先根據函數的圖像與x軸有M個交點解得，再對a，b分情況討論，求得答案．【詳解】對于函數，當時，函數與x軸兩交點為（－a，0）、（－b，0），∵，所以有2個交點，故對于函數①，交點為，此時②，交點為，此時③，交點為，此時綜上所述，或故選C．【點睛】本題考查二次函數與坐標軸的交點，解題的關鍵是分情況討論a，b．27．（2023·浙江杭州·統考一模）已知二次函數，與的部分對應值為：x…-2-1012…y…-1232？…關于此函數的圖象和性質，下列說法正確的是（

）A．當時，函數圖象從左到右上升 B．拋物線開口向上C．方程的一個根在與之間 D．當時，【答案】C【分析】根據表格數據知道函數圖象關于對稱，頂點為，所以圖象的開口向下，則可以判斷選項A、B、D錯誤；根據圖像與軸的交點，即可判斷C選項正確．【詳解】和時的函數值相同，都是2，拋物線的對稱軸為，拋物線的頂點為，是函數最大值，拋物線的開口向下，故B選項錯誤；當時，隨的增大而減小，即函數圖象從左到右下降，故A選項錯誤；時，，時，，方程的一個根在與之間，故C選項正確；函數圖象關于對稱，

與的值相等，時，，故D選項錯誤．故答案選C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．二、解答題28．（2023·浙江杭州·校考二模）已知拋物線．(1)若點在拋物線上，求拋物線解析式．(2)若時，隨著的增大而減小，求的取值范圍．(3)若點，，在拋物線上且，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)的取值范圍是或【分析】（1）代入點即可求解；（2）根據題意得出，解不等式即可；（3）利用二次函數的性質即可得出關于的不等式（組），解不等式（組）即可．【詳解】（1）解：∵點在拋物線上，∴，解得或，∴拋物線解析式為或；（2）對于二次函數，∵，∴該函數圖像開口向上，∵時，隨著的增大而減小，∴，解得；（3）當時，可知點，，從左至右分布，∵，∴，解得；當時，∴，解得，綜上所述，的取值范圍是或．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數圖像上點的坐標特征、二次函數的性質等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．29．（2023·浙江杭州·校考一模）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，點，與y軸交于點A．(1)求二次函數的表達式；(2)連接、，若點N在線段上運動（不與點B、C重合），過點N作，交于點M，當面積最大時，求N點的坐標；(3)連接，在（2）的結論下，求與的數量關系．

【答案】(1)；(2)當時，即時，的面積最大；(3)．【分析】（1）由點B和點C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）可設，則可用n表示出的面積，由，可求得，則可用n表示出的面積，再利用二次函數的性質可求得其面積最大時n的值，即可求得N點的坐標；（3）由N點坐標可求得M點為的中點，由直角三角形的性質可得，在和中，可分別求得和的長，可求得與的關系，從而可得到與的數量關系．【詳解】（1）解：將點，點的坐標分別代入可得，解得，∴二次函數的表達式為；（2）解：設點的坐標為，則，，∵，，∴，在中，令，可得，∴點，，∴，∵，∴，與在邊和邊上等高，∴，∴，∵，∴當時，即時，的面積最大；（3）解：當時，N為邊中點，∵，∴，∴M為邊中點，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、平行線分線段成比例、三角形的面積、二次函數的性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中找到和的面積之間的關系是解題的關鍵，在（3）中確定出為和的中間“橋梁”是解題的關鍵．30．（2023·浙江杭州·校聯考二模）在平面直角坐標系中，設二次函數(a是常數)．(1)當時，求函數圖象的頂點坐標和對稱軸．(2)若函數圖象經過點，，求證：．(3)已知函數圖象經過點，，點，若對于任意的都滿足，求a的取值范圍．【答案】(1)頂點坐標，對稱軸為直線(2)見解析(3)或【分析】（1）當時，，進而可求頂點坐標與對稱軸；（2）將，，代入得，，，則，進而結論得證；（3）由題意知，二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線，則在對稱軸右側，由對于任意的都滿足，則點A，B，C存在如下情況：情況1，如圖1，根據二次函數的圖象與性質，以及，列不等式，，求解集即可；情況2，如圖2，由二次函數的圖象與性質可得，；，分別求解滿足要求的解集即可．【詳解】（1）解：當時，，∴頂點坐標，對稱軸為直線；（2）證明：將，，代入得，，，∴，∴；（3）解：由題意知，二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線，則在對稱軸右側，∵對于任意的都滿足，∴點A，B，C存在如下情況：情況1，如圖1，

由二次函數的圖象與性質可得，解得，，解得，∴；情況2，如圖2，

由二次函數的圖象與性質可得，解得，又∵，，解得或，∴；綜上所述，a的取值范圍為或．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質．解題的關鍵在于數形結合．31．（2023·浙江杭州·校聯考三模）已知二次函數的圖象經過點．(1)若該二次函數圖象與軸的一個交點是．①求二次函數的表達式：②當時，函數最大值為，最小值為．若，求t的值；(2)對于該二次函數圖象上的兩點，當時，始終有．求的取值范圍．【答案】(1)①；②的值為；(2)或．【分析】（1）①利用待定系數法求二次函數解析式；②利用配方法得到，則拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，再利用得，所以，根據二次函數的性質，當時，時，函數有最小值，當或時，函數有最大值，即，則，然后解方程即可；（2）先利用二次函數的圖象經過點得到，則可求出拋物線的對稱軸為直線，根據二次函數的性質，點到對稱軸的距離大于或等于點到對稱軸的距離，即，解得或，然后利用得到或，從而得到的范圍．【詳解】（1）解：①把分別代入得，解得，∴拋物線解析式為；②∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，∵，∴，解得，∴，∴當時，時，函數有最小值-4，即N=-4，當或時，函數有最大值，即，∵，∴t2-2t-3-（-4）=3，解得（舍去），，∴的值為；（2）∵二次函數的圖象經過點（，∴，解得，∴，拋物線的對稱軸為直線，∵在拋物線上，且，∴點到對稱軸的距離大于或等于點到對稱軸的距離，∴，∴或，∵，∴或，解得或．【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的最值，一元二次方程和不等式組解法，熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．32．（2023·浙江杭州·校考三模）已知二次函數和一次函數．(1)若二次函數的圖像過點，求二次函數的表達式；(2)若一次函數與二次函數的圖像交于x軸上同一點A，且這個點不是原點．①求證：；②若的另一個交點B為二次函數的頂點，求b的值．【答案】(1)(2)①見解析；②【分析】（1）直接利用待定系數法，求出函數解析式即可．（2）①先求出二次函數與軸的交點坐標，進而得到一次函數與二次函數的圖像的交點坐標，然后再代入一次函數，即可解答；②先求出二次函數的頂點坐標，然后代入一次函數即可解答．【詳解】（1）解：∵二次函數過，∴，解得：∴二次函數的表達式為．（2）①證明：∵當時，解得：，∴二次函數與x軸交于和點，又∵一次函數與二次函數的圖像交于x軸上同一點A，且這個點不是原點，∴一次函數過點，∴，∴．②∵，∴，∵兩個函數圖像的另一個交點為二次函數的頂點，∵二次函數的頂點為，∴過，∴過，∴∵，∴，解得：．∴．【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合應用．熟練掌握二次函數與一次函數的圖像和性質是解題的關鍵．33．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學校考三模）在平面直角坐標系中，設二次函數（是常數）(1)當時，求函數圖象的頂點坐標和對稱軸；(2)若函數圖象經過點，，求證：；(3)若，，的圖象交于點,，，設為圖象上一點，求的值．【答案】(1)拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線(2)見詳解(3)【分析】（1）由配方法可求出頂點坐標；（2）將已知兩點代入求出，，再表示出，由，即可求解；（3）聯立，解得：再根據與關于對稱軸對稱即可得出結果．【詳解】（1）解：當時，，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線；（2）證明：函數圖象經過點，，，，，；（3）解：聯立，解得：，，故，的圖象交于點，，與關于二次函數的對稱軸對稱，，，．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系、二次函數圖象上的點的坐標特點、二次函數的增減性，熟練掌握二次函數圖象上的點的坐標特點及二次函數的性質是解題的關鍵．34．（2023·浙江杭州·校考三模）已知拋物線．(1)當時，求拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)若該拋物線上任意兩點，都滿足：當時，，當時，，試判斷點是否在拋物線上；(3)是拋物線上的兩點，且總滿足，求的最值．【答案】(1)拋物線的對稱軸為，其頂點坐標為(2)點不在拋物線上(3)的最大值為5，最小值為3【分析】（1）將代入拋物線解析式，然后化成頂點式，即可獲得答案；（2）結合二次函數圖像的性質可確定該拋物線的對稱軸為，進而求得該拋物線解析式，然后判斷點是否在拋物線上即可；（3）結合拋物線解析式可得該拋物線開口向上，其對稱軸為，已知點在拋物線對稱軸右側．分兩種情況討論：①當點在對稱軸右側或在對稱軸上，且在點的左側或與點重合時滿足條件；②當點在對稱軸左側，且點到拋物線對稱軸的距離小于或等于點到對稱軸的距離時滿足條件．然后列關于的不等式，求解即可．【詳解】（1）解：當時，該拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，其頂點坐標為；（2）點不在拋物線上，理由如下：當時，，∴，即，當時，，∴，即，∴該拋物線的對稱軸為，此時可有，∴該拋物線解析式為，令，則，∴點不在拋物線上；（3）對于拋物線，∵，∴該拋物線開口向上，其對稱軸為直線，∴點在拋物線對稱軸右側，∵，①當點在對稱軸右側或在對稱軸上，且在點的左側或與點重合時滿足條件，∴且，解得；②當點在對稱軸左側，且點到拋物線對稱軸的距離小于或等于點到對稱軸的距離時滿足條件，∴且，解得．綜上所述，當時，滿足，∴的最大值為5，最小值為3．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與性質、二次函數圖像上點的坐標特征等知識，理解題意，運用數形結合和分類討論的思想分析問題是解題關鍵．35．（2023·浙江杭州·校考三模）已知二次函數，當時，時，，(1)求b與c的值．(2)當x取何值時，(3)拋物線上有兩點，，當時，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)，詳見解析(2)當或時，，詳見解析(3)或，詳見解析【分析】(1)由已知得到關于的二元一次方程組，解出b、c即可；(2)由(1)知：二次函數為，根據函數的增減性即可得出x的取值范圍；(3)根據二次函數圖象的增減性和點離對稱軸的距離的關系，分類討論：兩點不在對稱軸右側、兩點不在對稱軸左側，兩點分別在對稱軸兩側，分別得到關于a的不等式組，解不等式組即可得出結論．【詳解】（1）由題意得，解得：，即b與c的值分別為；（2）由(1)知：二次函數為，∴二次函數圖象的頂點為，開口向上，對稱軸是直線，當時，函數有最小值為；當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大，∴當時，，解得：；當時，，解得：，∴當或時，．（3）∵拋物線上有兩點，∴由(2)知：當時，函數有最小值為；當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大，∴當時，則，有兩點不在對稱軸右側時，；兩點不在對稱軸左側時，，有兩點分別在對稱軸兩側時，，∴由解得：；由解得：，由解得：，而無解，∴綜上所述，當時，a的取值范圍是或．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質的應用，不等式組的解法等知識點，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．36．（2023·浙江杭州·統考中考真題）設二次函數，（，是實數）．已知函數值和自變量的部分對應取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函數的表達式；(2)在（1）問的條件下，寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減小．(3)若在m、n、p這三個實數中，只有一個是正數，求的取值范圍．【答案】(1)(2)當時，則時，隨的增大而減小；當時，則時，隨的增大而減小(3)【分析】（1）用待定系數法求解即可．（2）利用拋物線的對稱性質求得拋物線的對稱軸為直線；再根據拋物線的增減性求解即可．（3）先把代入，得，從而得，再求出，，，從而得，然后m、n、p這三個實數中，只有一個是正數，得，求解即可．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴．（2）解：∵，在圖象上，∴拋物線的對稱軸為直線，∴當時，則時，隨的增大而減小，當時，則時，隨的增大而減小．（3）解：把代入，得，∴∴把代入得，，把代入得，，把代入得，，∴，∵m、n、p這三個實數中，只有一個是正數，∴，解得：．【點睛】本題考查用待定系數法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質，解不等式組，熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質是解析的關鍵．37．（2023·浙江杭州·校聯考二模）已知二次函數（為常數，）．(1)求證：無論取任何實數時，函數與軸總有交點；(2)若為正整數，且函數圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數．①已知，是該函數圖象上的兩點，且，求實數的取值范圍；②將拋物線向右平移個單位，與軸的兩個交點分別為，，若，請結合圖象直接寫出的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)①實數的取值范圍為或；②【分析】（1）根據根的判別式即可得到結論；（2）先根據為正整數，且函數圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數，求出的值，即可得到二次函數的解析式，①令，分別求出與的值，由得到不等式，解不等式即可得到答案；②先求出平移后的拋物線的解析式，再求出平移之后的拋物線與軸的交點，即，分別表示出，，代入求出的范圍，從而即可得到答案．【詳解】（1）證明：根據題意可得：，無論取任何實數時，函數與軸總有交點；（2）解：當時，，，，即，，函數圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數，，為正整數，，，①

當時，，當時，，，，解得：或，實數的取值范圍為：或；②拋物線的解析式為：，拋物線向右平移個單位后的解析式為：，令，則，解得：，，，，，即，，，，，．【點睛】本題主要考查了根據一元二次方程根的情況求參數，二次函數圖象的平移，二次函數與軸的交點，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質，采用數形結合的思想解題．38．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團（總校）校考三模）在平面直角坐標系中，二次函數圖象的表達式為，其中．(1)若此函數圖象過點，求這個二次函數的表達式．(2)若、為此二次函數圖象上兩個不同點，當時，，求a的值．(3)若點在此二次函數圖象上，且當時y隨x的增大而增大，求t的范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將，代入即可；（2）由可得這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，再利用對稱軸公式計算即可；（3）由題意可得，分和分別求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得：，∴,∴這個二次函數的表達式為：；（2）∵，∴這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴，∴；（3）解：點在二次函數圖象上，∴，∵當時y隨x的增大而增大，當時，有，∴，∴，當時，不符合題意舍去，∴．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數表達式，函數圖象上點的坐標的特征，二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的各知識點是解決本題的關鍵．39．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學校考三模）已知拋物線，，是實數，與軸交于，兩點．(1)若，且，兩點的坐標分別為，，求函數的表達式及其圖象的頂點坐標；(2)函數的圖象與軸只有一個交點，經過點，，求的值；(3)若拋物線過點，，，，求證．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）由“交點式”關系式性質得，、的值為1、，再代入，即可求出關系式，再將對稱軸代入即可求出頂點；（2）判斷出兩點在同一條水平線上，故可求對稱軸為，由函數的圖象與軸只有一個交點得，與值相等，即是對稱軸的值；（3）由題意，分三種情況分類討論，從而得到兩點在對稱軸的兩側時，點離軸更近，列出方程求解即可得證．【詳解】（1）解：，兩點的坐標分別為，，、的值為1、，，，由，把代入關系式得，頂點坐標為；（2）解：，縱坐標相同，對稱軸，函數的圖象與軸只有一個交點，；（3）證明：由拋物線關系式得對稱軸，，拋物線開口向下，①當，兩點位于對稱軸左側時，隨的值的增大而增大，，不符題意；②當，兩點位于對稱軸右側時，隨的值的增大而減小，，不受、影響；③當，兩點位于對稱軸兩側時，由題意得，拋物線上的點離對稱軸越近，縱坐標越大，，點離對稱軸更近，即，解得，．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質的應用，“交點式”關系式的對稱軸的計算及其應用是解題關鍵．40．（2023·浙江杭州·校考二模）已知關于的二次函數．(1)該函數的圖象與軸只有一個交點，求與之間的關系；(2)若，當時，隨的增大而增大，求的范圍；(3)當，，該圖象不經過第三象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令，求出，，再根據函數的圖象與軸只有一個交點，可得關系式；（2）根據，求出函數圖像的對稱軸，再根據當時，隨的增大而增大，結合開口方向，可得不等式，解之可得；（3）求出函數圖像與x軸交點，再根據該圖象不經過第三象限，分圖象與x軸只有一個交點，圖象與x軸有兩個交點，兩種情況，分別討論即可．【詳解】（1）解：令，則，∴，，∵函數的圖象與軸只有一個交點，∴；（2）∵，∴，∴二次函數圖象的對稱軸為直線，∵當時，隨的增大而增大，，∴，解得：；（3）∵，，∴，令，∴，，∵該圖象不經過第三象限，∴當該圖象與x軸只有一個交點時，，解得：；當該圖象與x軸有兩個交點時，，，即，，解得：，綜上：m的取值范圍是．【點睛】本題考查了二次函數，涉及了圖像與x軸交點問題，二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握函數的圖像特征以及性質，理解參數的意義和作用，并能將已知條件轉化為不等式求解．41．（2023·浙江杭州·統考二模）已知二次函數和一次函數．(1)二次函數的圖象過點，求二次函數的表達式；(2)若一次函數與二次函數的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點．①求證：；②若兩個函數圖象的另一個交點為二次函數的頂點，求m的值．【答案】(1)二次函數的表達式為；(2)①證明見解析，②【分析】（1）待定系數法，求出函數解析式即可．（2）①先求出二次函數與軸的交點坐標，進而得到一次函數與二次函數的圖象的交點坐標，代入一次函數，即可得出結論；②求出二次函數的頂點坐標，代入一次函數即可得出結果．【詳解】（1）解：∵二次函數過，∴，∴二次函數的表達式為，將點代入，得，∴；∴二次函數的表達式為．（2）①∵當時，解得：，∴二次函數與x軸交于和點，又一次函數與二次函數的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點，∴一次函數過點，∴，∴；②∵，∴，∵兩個函數圖象的另一個交點為二次函數的頂點，∵二次函數的頂點為，∴過，∴∵，∴，∴．【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合應用．熟練掌握二次函數與一次函數的圖象和性質，是解題的關鍵．42．（2023·浙江杭州·統考二模）在平面直角坐標系中，已知二次函數（b，c是常數）．(1)當，時，求該函數圖象的頂點坐標．(2)設該二次函數圖象的頂點坐標是，當該函數圖象經過點時，求n關于m的函數解析式．(3)已知，當時，該函數有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）將二次函數化為頂點式求解即可；（2）根據二次函數的性質和已知條件得到，，，，進而求解即可；（3）當時，二次函數的對稱軸為直線，開口向下，分、、三種情況，利用二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：當，時，，∴當，時，該函數圖象的頂點坐標為；（2）解：∵該函數圖象經過點，∴，則，∵該二次函數圖象的頂點坐標是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：當時，二次函數的對稱軸為直線，開口向下，∵，∴當即時，該函數的最大值為，即，解得，，不合題意，舍去；當即時，時，y隨x的增大而減小，∴當時，y有最大值為，不合題意，舍去；當即時，時，y隨x的增大而增大，∴當時，y有最大值為，解得，符合題意，綜上，滿足條件的c的值為2．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質，利用分類討論思想求解第（3）問是解答的關鍵．43．（2023年浙江省杭州市西湖區公益中學校中考二模數學試題）在平面直角坐標系中，當和時，二次函數（，是常數，）的函數值相等．(1)若該函數的最大值為，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；(2)若該函數的圖象與軸有且只有一個交點，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，當時，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】（1）根據二次函數的性質及對稱軸即可解答；（2）根據二次函數與軸的交點個數及二次函數的性質即可解答；（3）根據二次函數的平移規律及二次函數的性質即可解答．【詳解】（1）解：∵當和時，二次函數（，是常數，）的函數值相等，∴二次函數的對稱軸為，，∵該函數的最大值為，∴該函數的頂點坐標為，∴，∴由①②可得：，∴函數表達式為：；（2）解：∵該函數的圖象與軸有且只有一個交點，∴一元二次方程，該函數的頂點坐標為，∴，，∴由①②可得（舍去），，∴，；（3）解：由（2）可得的解析式為：，∵將拋物線向上平移個單位得到拋物線，∴，∴當時，，∵的頂點坐標為，且當時，拋物線的最大值與最小值之差為，∴，隨的增大而增大，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的頂點坐標，二次函數的最值，二次函數與軸的交點坐標，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．44．（2023·浙江杭州·校考二模）設二次函數（是常數，）(1)若，求該函數圖象的頂點坐標.(2)若該二次函數圖象經過，，三個點中的一個點，求該二次函數的表達式.(3)若二次函數圖象經過，兩點，當，時，，求證：【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）當時，二次函數，即可求出頂點坐標；（2）先判斷拋物線過點，代入解析式即可求得，從而求得拋物線的解析式；（3）分和兩種情況，根據二次函數的增減性和已知條件列出的不等式便可求得結果．【詳解】（1）當時，二次函數頂點坐標為；（2）當時，，因此不過點，當時，，因此不過點，故拋物線過點，代入得，，，拋物線的關系式為；（3）二次函數是常數，的圖象與軸交于點，，，函數圖象的對稱軸為直線，當時，函數圖象開口向上，當，時，，，，解得，舍去；當時，函數圖象開口向下，時，，，，，，，故．【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了二次函數的圖象與性質，函數圖象上點的坐標特征，待定系數法，關鍵是根據題意正確列出的不等式．45．（2023·浙江杭州·統考二模）二次函數（a，b為常數，）的圖像經過點．(1)求該二次函數圖像的對稱軸（結果用含a的代數式示）(2)若該函數圖像經過點；①求函數的表達式，并求該函數的最值．②設是該二次函數圖像上兩點，其中是實數．若，求證：【答案】(1)(2)①，最大值為3；②見解析【分析】（1）首先將點代入表達式，然后利用對稱軸公式求解即可；（2）①將點代入求出函數的表達式，然后轉化成頂點式即可求出該函數的最值；②首先根據得到，然后表示出利用二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）將點代入得，，∴，∴二次函數，∴對稱軸為；（2）①將代入得，，∴解得，∴二次函數，∴，∵，∴拋物線開口向下，∴該函數的最大值為3；②∵∴，∴∵，∴的最大值為，∴．【點睛】本題考查了根據對稱性求對稱軸，待定系數法求二次函數解析式，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．46．（2023·浙江杭州·統考二模）已知函數（m，n，k為常數且）．(1)若的圖象經過點，求該函數的表達式．(2)若函數的圖象始終經過同一定點M．①求點M的坐標和k的值．②若，當時，總有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）①先求出函數經過定點，則，且在函數的圖象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出拋物線的對稱軸在定點的左側，再結合函數圖象可知當時，一次函數的函數值要大于等于二次函數的函數值，由此建立不等式求解即可．【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，∴；（2）解：①在中，當時，，∴函數經過定點，∵函數的圖象始終經過同一定點M，∴，且在函數的圖象上，∴，∴；②∵，拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線的對稱軸在定點的左側，由①得，∵，當時，總有，∴如圖所示，當時，一次函數的函數值要大于等于二次函數的函數值∴

∴，∴．【點睛】本題主要考查了求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數與不等式，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．47．（2023·浙江杭州·校聯考一模）已知二次函數.(1)求該二次函數圖象與x軸的交點坐標；(2)若m＜0，當1≤x≤4時，y的最大值是2，求當1≤x≤4時，y的最小值；(3)已知P（2，），Q（4，）為平面直角坐標系中兩點，當拋物線與線段PQ有公共點時，請求出m的取值范圍.【答案】(1)（3,0）（1,0）；(2)-6；(3)m≥或m≤.【分析】（1）令y=0，解方程即可得出結論；（2）構建方程求出m的值即可解決問題；（3）分兩種情況討論：①當m＞0時，②當m＜0時．【詳解】（1）設y=0，則mx2-4mx+3m=0，∴m（x2-4x+3）=0．∵m≠0，∴x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1，∴該拋物線與x軸交點坐標為（3，0）或（1，0）．（2）∵該二次函數的圖象開口向下，且對稱軸為直線x＝2，∴當x＝2時，y取到在1≤x≤4上的最大值為2，∴4m﹣8m+3m＝2，∴m＝﹣2，y＝﹣2x2+8x﹣6．∵當1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，∴當x＝1時，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，∴當x＝4時，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6，∴當1≤x≤4時，y的最小值為﹣6．（3）當x=2時，y=4m-8m+3m=-m；當x=4時，y=16m-16m+3m=3m．①當m＞0時，依題意可得：，解得：，∴；②當m＜0時，依題意可得：，解得：，∴．綜上所述：或．【點睛】本題是二次函數綜合題．考查了二次函數的性質，函數的最值問題等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．48．（2023·浙江杭州·統考一模）已知二次函數．(1)若，試求該二次函數圖象與軸的交點坐標．(2)若該二次函數圖象的頂點坐標為，求證：．(3)若，且當自變量x滿足時，，求m的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）將代入，令，解一元二次方程即可求解；（2）根據頂點坐標公式，得出，，即可得證；（3）①當時，最小值為，不合題意，②當，最小值為時，，根據題意得出，進而將點代入得，，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將代入即，當時，解得：∴該二次函數圖象與軸的交點坐標為（2）解：∵圖象的頂點坐標為，∴，∴（3）解：∵，則對稱軸為直線，自變量x滿足時，，，當時，，在對稱軸左側，隨的增大而增大，①當時，最小值為，不合題意，②當，最小值為時，，最大值為時，，∴，∴拋物線解析式為：，將點代入得，，解得：，∵，即，∴．【點睛】本題考查了求拋物線與軸的交點，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．49．（2023·浙江杭州·統考一模）二次函數的圖象與y軸的交點為．(1)求a的值．(2)求二次函數在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實數k，規定：當時，關于x的函數的最小值記作：，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入解析式即可；（2）根據（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；（3）先求出的解析式，再根據的對稱軸，然后分，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象與y軸的交點為，∴，解得，∴a的值為；（2）解：由（1）知，，∴，令，則，解得，，∴，∴二次函數在x軸上截得的線段長的值為；（3）解：∵，∴，∴對稱軸為，當即時，當時，有最小值，∴；當時，即，當時，有最小值，∴；當即時，當時，有最小值，∴，綜上所述，的解析式為：．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質，利用分類討論思想是解題的關鍵．50．（2023·浙江杭州·一模）已知二次函數，(1)若，求函數的對稱軸和頂點坐標．(2)若函數圖象向下平移一個單位，恰好與x軸只有一個交點，求a的值．(3)若拋物線過點，且對于拋物線上任意一點都有，若點是這條拋物線上不同的兩點，求證：．【答案】(1)，(2)(3)見詳解【分析】（1）將帶入二次函數，再將二次函數化為頂點式即可得到答案；（2）根據二次函數平移的性質得到平移后的函數，再根據新函數與x軸只有一個交點建立方程，解方程即可得到答案；（3）由題意可得為拋物線頂點，從而得到拋物線的對稱軸為，從而計算出a的值，再將帶入如拋物線的解析式得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴函數的對稱軸和頂點坐標分別為：直線，；（2）解：函數圖象向下平移一個單位得，∴與x軸只有一個交點，∴，解方程得：；（3）解：∵拋物線過點，且對于拋物線上任意一點都有，∴為拋物線的頂點，∴拋物線的對稱軸為，∴，∴，∴拋物線為：，∵在拋物線上，∴，，∴，∴，∵是這條拋物線上不同的兩點，∴，∴∴．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數頂點式以及二次根式的性質．51．（2023·浙江杭州·統考一模）在直角坐標系中，設函數（a，b，c是常數，）．(1)當時，①若該函數圖象的對稱軸為直線，且過點，求該函數的表達式；②若該函數的圖象與x軸有且只有一個交點，求證：；(2)已知該函數的圖象經過點，．若，，求a的取值范圍．【答案】(1)①；②見解析(2)【分析】（1）①根據二次函數的對稱軸公式即可求出b的值，再將代入該二次函數的解析式即可求出c的值，即得出該函數的表達式；②根據該函數的圖象與x軸有且只有一個交點，即說明其相關一元二次方程有且只有一個實數解，再利用其根的判別式即得出，整理為，進而可求出，再配方，結合二次函數的性質即可求解；（2）將，代入該二次函數解析式，得，，兩式相減并整理得．結合題意可求出，根據，說明，即．最后利用，求出a的取值范圍即可．【詳解】（1）解：①∵，∴該函數解析式為．∵該函數圖象的對稱軸為直線，∴，解得：．∵該函數圖象過點，∴，解得：，∴該函數解析式為；②∵該函數解析式為，且其圖象與x軸有且只有一個交點，∴方程有且只有一個實數解，∴，整理，得：，即，∴．∵，∴；（2）解：∵該函數的圖象經過點，，∴，，∴，整理，得：，∴．∵，∴．又∵，∴，即．∵，∴，解得：．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數圖象與x軸的交點問題，整式的加減，分解因式等知識．掌握二次函數圖象上的點滿足其解析式是解題關鍵．52．（2023·浙江杭州·統考一模）已知關于x的二次函數（m，n為常數）．(1)若二次函數圖象經過兩點，求二次函數的表達式；(2)若，試說明該函數圖象與x軸必有兩個不同的交點；(3)若時，函數的最大值為p，最小值為q，且，求k的值．【答案】(1)(2)見解析(3)k的值為或3【分析】（1）利用待定系數法求解析式；（2）由得，代入得函數解析式為，求出判別式即可判斷；（3）確定拋物線的對稱軸為直線，開口向下，最大值為，再分兩種情況當時，當時，求出k的值．【詳解】（1）將代入，得，解得，∴次函數的表達式是；（2）∵，∴，∴函數解析式為，∵，∴，即，∴該函數圖象與x軸必有兩個不同的交點；（3）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向下，最大值為，∴當時，當時有最大值，即；當時有最小值，，∵，∴，解得；當時，當時有最大值，即；當時有最小值，，∵，∴，解得或（舍去）綜上，k的值為或3．【點睛】此題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象與x軸交點問題，二次函數的最值問題，正確掌握二次函數的知識是解題的關鍵．53．（2023·浙江杭州·統考一模）二次函數與x軸交于兩點．(1)當時，求m的值．(2)當時，①求證：．②點在該拋物線上，且，試比較與的大小．【答案】(1)；(2)①見解析；（2）【分析】（1）當時，，把代入求得，得到，把代入得，，解方程即可得到答案；（2）①把代入得，，由得到，進一步得，則，由解方程求出m，即可判斷．②由①得，，則，把代入得，，則，由，得到,，進一步即可得到答案．【詳解】（1）解：當時，，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得或；∵二次函數與x軸交于兩點，∴；（2）①把代入得，，，∵，∴，，由得到，則，∴，∴（舍去），，∵∴．②由①得，，∴，把代入得，，，∴，∵，∴,∵∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了二次函數的性質、解一元二次方程、比較函數值大小等知識，讀懂題意并準確計算是解題的關鍵．54．（2023·浙江杭州·統考一模）汽車剎車后，車速慢慢變小至停止，這個速度變化的快慢稱為加速度（加速度是指在某段時間內速度的變化與這段時間的比值：）．已知汽車剎車后向前滑行的距離與時間的函數關系如下：（表示剎車開始時的速度，表示加速度）．現有一輛汽車沿平直公路行駛，速度為，剎車后加速度為．問：(1)剎車后2秒時，該汽車的速度為多少？(2)從開始剎車至停止，該汽車滑行了多少時間？滑行的距離是多少？【答案】(1)(2)，【分析】（1）由得，將，，代入計算即可；（2）由得，當汽車停止時，，從而計算出汽車滑行的時間，再根據滑行的距離求解即可．【詳解】（1）解：，，將，，代入，得：，答：剎車后2秒時，該汽車的速度為．（2）解：，，當汽車停止時，，從開始剎車至停止，該汽車滑行時間：，該汽車滑行的距離：，答：從開始剎車至停止，該汽車滑行了，滑行的距離是．【點睛】本題考查了根據公式進行計算，理解公式并代入相關數據進行計算即可，但因是高中物理內容，對初中學生來說有一定難度．55．（2023·浙江杭州·統考一模）設二次函數（b，c是常數）的圖像與x軸交于A，B兩點．(1)若A，B兩點的坐標分別為(1，0)，(2，0)，求函數的表達式及其圖像的對稱軸．(2)若函數的表達式可以寫成（h是常數）的形式，求的最小值．(3)設一次函數（m是常數）．若函數的表達式還可以寫成的形式，當函數的圖像經過點時，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數法計算即可．（2）根據等式的性質，構造以b+c為函數的二次函數，求函數最值即可．（3）先構造y的函數，把點代入解析式，轉化為的一元二次方程，解方程變形即可．【詳解】（1）由題意，二次函數（b，c是常數）經過(1，0)，(2，0)，∴，解得，∴拋物線的解析式．∴圖像的對稱軸是直線．（2）由題意，得，∵，∴b=-4h，c=∴，∴當時，的最小值是．（3）由題意，得因為函數y的圖像經過點，所以，所以，或．【點睛】本題考查了二次函數的待定系數法，二次函數的最值，對稱性，熟練掌握二次函數的最值，對稱性是解題的關鍵．56．（2023·浙江杭州·統考一模）已知二次函數y＝ax2＋bx－4(a，b是常數.且a0)的圖象過點(3，－1).(1)試判斷點(2，2－2a)是否也在該函數的圖象上，并說明理由.(2)若該二次函數的圖象與x軸只有一個交點，求該函數表達式.(3)已知二次函數的圖像過(，)和(，)兩點，且當＜時，始終都有＞，求a的取值范圍.【答案】（1）不在；（2）；；（3）【分析】（1）將點代入函數解析式，求出a和b的等式，將函數解析式改寫成只含有a的形式，再將點代入驗證即可；（2）令，得到一個一元二次方程，由題意此方程只有一個實數根，由根的判別式即可求出a的值，從而可得函數表達式；（3）根據函數解析式求出其對稱軸，再根據函數圖象的增減性判斷即可.【詳解】（1）二次函數圖像過點代入得，，代入得將代入得，得，不成立，所以點不在該函數圖像上；（2）由（1）知，與x軸只有一個交點只有一個實數根，或當時，，所以表達式為：當時，，所以表達式為：；（3）對稱軸為當時，函數圖象如下：若要滿足時，恒大于，則、均在對稱軸左側，當時，函數圖象如下：，此時，必小于綜上，所求的a的取值范圍是：.【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質（與x的交點問題、對稱軸、增減性），熟記性質是解題關鍵.57．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，過點C作軸，與拋物線交于另一點D，直線與相交于點M．(1)已知點C的坐標是，點B的坐標是，求此拋物線的解析式；(2)若，求證：；(3)如圖2，設第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G，點P是拋物線上在對稱軸右側部分的一點，點P的橫坐標為t，點Q是直線上一點，是否存在這樣的點P，使得是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出當時，拋物線的解析式為，由此求出，再求出，求出直線的解析式為，設直線與y軸交于點E，則，得到，則，同理得，從而得到，即可證明；（3）如圖所示，連接，求出拋物線對稱軸為直線，則，推出，求出直線的解析式為，設，然后分當點Q在點P下方時，如圖3-1所示，過點Q、P分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，證明，得到，解方程即可；當點Q在點P上方時，如圖3-2所示，過點G作軸，過點P、Q分別作直線的垂線，垂足分別為N、M，同理可得，解方程即可．【詳解】（1）解：把，代入得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴拋物線解析式為，令，則，解得或，∴，∴拋物線對稱軸為直線，∵軸，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設直線與y軸交于點E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，∵拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴；∵，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設，當點Q在點P下方時，如圖3-1所示，過點Q、P分別作x軸