數列第六章第二節等差數列及其前n項和考點高考試題考查內容核心素養等差數列的通項公式，前n項和公式2017·全國卷Ⅰ·T4·5分等差數列前n項和公式及等差數列的公差數學運算2016·全國卷Ⅰ·T3·5分等差數列的通項公式，前n項和公式數學運算命題分析本節內容是高考的熱點，尤其是等差數列的通項公式及性質，前n項和公式為考查重點，試題難度不大，分值約5分.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．等差數列的有關概念(1)定義一般地，如果一個數列從第____項起，每一項與前一項的差是____________，我們稱這樣的數列為等差數列，稱這個常數為等差數列的公差，通常用字母________表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數)(n∈N＋，n≥2)或an＋1－an＝d(常數)(n∈N＋)．(2)等差中項如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么________叫作a與b的等差中項．2同一個常數dA3．等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋___________(n，m∈N＋)．(2)若{an}為等差數列，且m＋n＝p＋q(p，q，m，n∈N＋)，則______________.(3)若{an}是等差數列，公差為d，則{a2n}也是等差數列，公差為________.(4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}也是等差數列．(5)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為________的等差數列．a1＋(n－1)d

(n－m)d

am＋an＝ap＋aq

2dmd

提醒：辨明三個易誤點(1)要注意等差數列概念中的“從第2項起”．如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列．(2)注意區分等差數列定義中同一個常數與常數的區別．(3)求等差數列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數”這一隱含條件．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．(

)(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的．(

)(4)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數．(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2．(教材習題改編)在等差數列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝(

)A．－1

B．0C．1 D．6B

解析：∵{an}為等差數列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.3．已知等差數列{an}滿足：a3＝13，a13＝33，則數列{an}的公差為(

)A．1 B．2C．3 D．4B

4．(2018·臨沂模擬)已知數列{an}是首項為1，公差為d(d∈N＋)的等差數列，若81是該數列中的一項，則公差不可能是(

)A．2

B．3C．4 D．5B

[明技法]等差數列的基本運算的解題策略(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程組解決問題的思想．(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．02課堂·考點突破等差數列的基本運算[提能力]【典例】

(1)(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(

)A．1

B．2C．4 D．8C

B

C

2．設Sn為等差數列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________.答案：－72[明技法]等差數列和的性質在等差數列{an}中，Sn為其前n項和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．②S2n－1＝(2n－1)an.③當項數為偶數2n時，S偶－S奇＝nd；項數為奇數2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．等差數列的性質及應用[提能力]【典例】

(1)等差數列{an}中，a1＋a7＝26，a3＋a9＝18，則數列{an}的前9項和為(

)A．66 B．99C．144 D．297B

答案：20(2)已知{an}為等差數列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝__________.[刷好題]1．(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(

)A．5 B．7C．9 D．11A

2．一個等差數列的前12項的和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32∶27，則該數列的公差d＝__________.答案：5等差數列的判斷與證明[明技法]等差數列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N＋)為同一常數?{an}是等差數列解答題中的證明問題等差中項法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立?{an}是等差數列通項公式法an＝pn＋q(p，q為常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列選擇、填空題中的判定問題前n項和公式法驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列[刷好題]1．若{an}是公差為1的等差數列，則{a2n－1＋2a2n}是(

)A．公差為3的等差數列B．公差為4的等差數列C．公差為6的等差數列D．公差為9的等差數列C

解析：∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數列．等差數列