10.2排列組合問(wèn)題思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照_____排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合_____，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有_____的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)_____表示．(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的_____的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作_____.3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝_____＝__________；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝_____＝_____(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)Aeq\o\al(n,n)＝_____；(2)0！＝_____；(3)Ceq\o\al(0,n)＝_____，Ceq\o\al(m,n)＝_____；(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝_____解決排列與組合問(wèn)題的“四項(xiàng)基本原則”(1)特殊優(yōu)先原則：如果問(wèn)題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列時(shí)，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進(jìn)行排列．(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時(shí)，采用間接法解決問(wèn)題．(4)先分組后分配原則：在分配問(wèn)題中如果被分配的元素多于位置，這時(shí)要先進(jìn)行分組，再進(jìn)行分配．典型例題分析考向一排列與排列數(shù)問(wèn)題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排乙前面；(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．求解有限制條件排列問(wèn)題的主要方法直接法分類(lèi)法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類(lèi)型，分別計(jì)算每個(gè)類(lèi)型中的排列數(shù)，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中定序法對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題，一般利用正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法【變式】1.用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字，(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無(wú)重復(fù)數(shù)字)?考向二組合與組合數(shù)問(wèn)題【例2】某課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名隊(duì)長(zhǎng)．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)男生甲和女生乙當(dāng)選；(5)最多有兩名女生當(dāng)選．組合問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及求解策略(1)“含有”或“不含有”問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取．(2)“至少”或“最多”問(wèn)題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．【例3】圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這10個(gè)等分點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20C．40 D．60【變式】(多選)在某地實(shí)施的新高考改革方案中，選擇性考試科目有物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門(mén)．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門(mén)科目中選擇1門(mén)，再?gòu)恼巍⒌乩怼⒒瘜W(xué)、生物4門(mén)科目中選擇2門(mén)，考試成績(jī)計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門(mén)課程中選三門(mén)作為選考科目，下列說(shuō)法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門(mén)，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門(mén)，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1考向三排列組合綜合問(wèn)題【例4】按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本．解決分組、分配問(wèn)題的策略(1)對(duì)于整體均分，分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對(duì)于部分均分，若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！.【變式】(多選)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，每人安排一項(xiàng)工作，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若每項(xiàng)工作不必都有人參加，則不同的方法數(shù)為54B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．可表示為（

）A． B． C． D．2．（

）A．40 B．56 C．168 D．3363．四名志愿者到3個(gè)小區(qū)開(kāi)展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識(shí).每名志愿者只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．18種 B．30種 C．36種 D．72種4．某中學(xué)招聘5位老師，其中安排2位老師去高一，安排2位老師去高二，安排1位老師去高三，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種5．一名同學(xué)有2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，3本不同的物理書(shū)，現(xiàn)要將這些書(shū)放在一個(gè)單層的書(shū)架上．如果要將全部的書(shū)放在書(shū)架上，且不使同類(lèi)的書(shū)分開(kāi)，則不同放法的種數(shù)為（

）A．24 B．12 C．120 D．606．在重慶召開(kāi)的“市長(zhǎng)峰會(huì)”期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（

）A． B． C． D．二、多選題7．在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種8．若，則等于（

）A． B． C． D．三、填空題9．名學(xué)生報(bào)名參加籃球、足球、排球、計(jì)算機(jī)課外興趣小組，每人選報(bào)一門(mén)，則不同的報(bào)名方案有種.10．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為.11．某中學(xué)為迎接新年到來(lái)，籌備“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”為主題的元旦文藝晚會(huì).晚會(huì)組委會(huì)計(jì)劃在原定排好的5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來(lái)5個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，則增加的2個(gè)教師節(jié)目有種不同排法（用數(shù)字作答）12．用個(gè)，個(gè)，個(gè)組成一個(gè)十位數(shù)，則個(gè)連在一起的不同的十位數(shù)共有個(gè)．四、解答題13．判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題（1）會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？（2）從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程?（3）平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？14．現(xiàn)有7本不同的書(shū)準(zhǔn)備分給甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？15．甲、乙、丙、丁4個(gè)公司承包6項(xiàng)工程，甲、乙公司均承包2項(xiàng)，丙、丁公司各承包1項(xiàng)，則共有多少種承包方式？16．某校舉辦元旦晩會(huì)，現(xiàn)有4首歌曲和3個(gè)舞蹈需要安排出場(chǎng)順序.（結(jié)果用數(shù)字作答）(1)如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？(2)如果3個(gè)舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？提升題型訓(xùn)練_一、單選題1．以下四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)小球排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲?乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲?乙兩地2．在抗擊新冠肺炎疫情過(guò)程中，中醫(yī)藥發(fā)揮了重要作用，特別是通過(guò)臨床篩選出的“三藥三方”有顯著的防治效果．“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宣肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出2種，則恰好選出“一藥一方”的方法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．6 D．93．在2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)城市志愿者的招募項(xiàng)目中有一個(gè)“國(guó)際服務(wù)項(xiàng)目”，截止到2022年1月25日還有8個(gè)名額空缺，需要分配給3個(gè)單位，則每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的方法種數(shù)是（

）A．14 B．12 C．10 D．84．1765年數(shù)學(xué)家歐拉在柏林皇家科學(xué)院的《學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一個(gè)抽彩問(wèn)題：設(shè)張彩票編號(hào)從1至，隨機(jī)抽取三張，那么抽到三張彩票沒(méi)有連續(xù)號(hào)碼的概率為多少？該問(wèn)題的結(jié)果用組合數(shù)可表示為（

）A． B． C． D．5．馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，9九盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（

）A． B． C． D．6．長(zhǎng)郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為（）A． B． C． D．二、多選題7．從7名男生和5名女生中選4人參加夏令營(yíng)，規(guī)定男、女生至少各有1人參加，則不同的選法種數(shù)應(yīng)為(

)A． B．C． D．8．現(xiàn)有12張不同編碼的抽獎(jiǎng)券，其中只有2張有獎(jiǎng)，若將抽獎(jiǎng)券隨機(jī)地平均分給甲、乙、丙、丁4人，則（

）A．2張有獎(jiǎng)券分給同一個(gè)人的概率是B．2張有獎(jiǎng)券分給不同的人的概率是C．2張有獎(jiǎng)券都沒(méi)有分給甲和乙的概率為D．2張有獎(jiǎng)券分給甲和乙各一張的概率為三、填空題9．6個(gè)人排成一排，其中甲與乙必須相鄰，而丙與丁不能相鄰，則不同的排法種數(shù)有種.10．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）11．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某志愿者協(xié)會(huì)開(kāi)展“黨史下鄉(xiāng)”宣講活動(dòng)，準(zhǔn)備派遣10名志愿者去三個(gè)鄉(xiāng)村開(kāi)展宣講，每名志愿者只去一個(gè)鄉(xiāng)村，每個(gè)鄉(xiāng)村至少安排3個(gè)志愿者，則不同的安排方法共有種．（用數(shù)字作答）12．有7人站成一排照相，要求，兩人相鄰，，，三人互不相鄰，則不同的排法種數(shù)為.四、解答題13．解下列方程：(1)；(2).14．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．15．有6名男醫(yī)生，