高一數學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊)4.2指數函數【考點梳理】重難點技巧：指數函數的概念考點一：指數函數的定義一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.考點二：兩類指數模型1．y＝kax(k>0)，當a>1時為指數增長型函數模型．2．y＝kax(k>0)，當0<a<1時為指數衰減型函數模型．重難點技巧：指數函數的圖象和性質考點三：指數函數的圖象和性質指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調性在R上是增函數在R上是減函數考點四：比較冪的大小(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小，利用指數函數的單調性來判斷；(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小，利用冪函數的單調性來判斷；(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小，則通過中間值來判斷．考點五：解指數方程、不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解．考點六指數型函數的單調性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數的性質(1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有相同的定義域．(2)當a>1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調性；當0<a<1時，函數y＝af(x)與函數y＝f(x)的單調性相反．【題型歸納】題型一：指數函數的概念1．（2020·黔西南州同源中學高一期中）若是指數函數，則有（）A．或 B．C． D．且2．（2020·湖南新寧崀山實驗學校高一期中）下列是指數函數的是（）A． B． C． D．3．（2020·全國高一專題練習）已知指數函數的圖像經過點，那么這個函數也必定經過點（）A． B． C． D．題型二：求指數函數的定義域（復合型）4．（2021·浙江）函數的定義域為（）A． B． C． D．5．（2021·內蒙古赤峰·）函數的定義域為（）A． B． C． D．R6．（2021·江西高安中學高一月考）函數的定義域是（）A． B． C． D．題型三：求指數函數的值域7．（2020·陜西高一期末）函數的值域是（）A． B． C． D．8．（2020·成都市實驗外國語學校（西區(qū)）高一期中）當時，函數的值域是（）A． B． C． D．9．（2020·云南昆明八中高一月考）若函數的定義域為，則該函數的值域是（）A． B． C． D．題型四：指數函數的圖像問題10．（2021·全國高一專題練習）函數y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）A．B．C．D．11．（2020·烏魯木齊市第三十一中學高一期末）已知函數的圖像過定點P，則P的坐標是（）A． B．C． D．12．（2021·江西上饒·高一期末）當時，函數與函數在同一坐標系內的圖象可能是（）A．B．C．D．題型五：指數冪的大小比較13．（2021·全國）已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．14．（2021·全國高一單元測試）已知，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．15．（2021·全國高一專題練習）設，則（）A． B． C． D．題型六：簡單的指數不等式的解法16．（2019·烏魯木齊市第二十中學高一期中）設，則（）A． B． C． D．17．（2020·成都七中萬達學校高一月考）已知函數，且.（1）求的值（2）若，求實數的取值范圍.18．（2020·全國）設函數，求不等式的解集.題型七：判斷復合型指數函數的單調性19．（2021·羅平縣第二中學高二月考）已知函數，則下列說法正確的是（）A．函數在上是奇函數，也是增函數 B．函數在上是奇函數，也是減函數C．函數在上是偶函數，也是增函數 D．函數在上是偶函數，也是減函數20．（2021·湖南郴州·）已知函數，則使得不等式成立的實數的取值范圍是（）A． B． C． D．21．（2020·河南南陽·高一期末）函數的單調遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．題型八：指數函數的最值問題（參數、恒成立）22．（2021·四川高一開學考試）若對任意的，都有恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．23．（2019·四平市第一高級中學高一期末）已知（且），若有最小值，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．24．（2020·江西省臨川第二中學）若函數（且）在上的最大值為4，最小值為m，實數m的值為（）A． B．或 C． D．或題型九：指數函數的應用25．（2021·廣東深圳·高一期末）在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數增長，已知經過天以后，該湖泊的藍藻數大約為原來的倍，那么經過天后該湖泊的藍藻數大約為原來的（）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍26．（2021·全國高一專題練習）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為，經過天后體積與天數的關系式為．若新丸經過50天后，體積變?yōu)椋瑒t一個新丸體積變?yōu)樾杞涍^的時間為（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天27．（2021·全國高一專題練習）漁民出海打魚，為了保證運回魚的新鮮度（以魚肉內的三甲胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質，進而腐敗），負被打上船后，要在最短的時間內將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度與其出海后時間(分）滿足的函數關系式為，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分鐘，這種魚失去的新鮮度為40%，那么若不及時處理，打上船的這種魚大約在多長時間剛好失去50%的新鮮度（）考數據：A．23分鐘 B．33分鐘 C．50分鐘 D．56分鐘【雙基達標】一、單選題28．（2020·麗水外國語實驗學校高一月考）設，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．29．（2019·長沙市南雅中學高一月考）下列函數中，在定義域內是單調遞增函數的是（）A．y=|x| B． C． D．30．（2021·新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學高一期末）若滿足不等式，則函數的值域是（）A． B． C． D．31．（2021·江蘇高一課時練習）函數，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．32．（2021·廣西高一期中）已知函數，則（）A．是奇函數，且在上是減函數 B．是偶函數，且在上是減函數C．是奇函數，且在上是增函數 D．是偶函數，且在上是增函數33．（2020·全國高一單元測試）函數的圖象如圖所示，其中，為常數，則下列結論正確的是（）A．， B．，C．， D．，34．（2021·全國高一課時練習）已知（，且），且，則a的取值范圍是（）A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）C．（－∞，1） D．（0，1）35．（2021·全國高一課時練習）已知，，，，則在同一平面直角坐標系內，它們的圖象大致為（）A．B．C．D．36．（2021·上海）函數且的圖像（）A．與的圖像關于軸對稱 B．與的圖像關于坐標原點對稱C．與的圖像關于軸對稱 D．與的圖像關于坐標原點對稱37．（2021·全國）不等式的解集為（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題38．（2021·江蘇高一課時練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．39．（2021·河南高一期末（文））函數的最小值為（）A． B．1 C．2 D．40．（2021·全國高一專題）已知是定義在上的偶函數，那么的最大值是（）A．1 B． C． D．41．（2021·全國）鏡片的厚度是由鏡片的折射率決定，鏡片的折射率越高，鏡片越薄，同時鏡片越輕，也就會帶來更為舒適的佩戴體驗．某次社會實踐活動中，甲、乙、丙三位同學分別制作了三種不同的樹脂鏡片，折射率分別為，，．則這三種鏡片中，制作出最薄鏡片和最厚鏡片的同學分別為（）A．甲同學和乙同學 B．丙同學和乙同學C．乙同學和甲同學 D．丙同學和甲同學42．（2021·全國高一課時練習）已知函數y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒過定點A(m，n)，則m＋n＝（）A．1 B．3C．4 D．243．（2021·安徽省太和中學高一月考）函數的部分圖象大致為（）A．B．C．D．二、多選題44．（2021·云南省永善縣第一中學）已知函數（a，），則下列結論正確的有（）A．存在實數a，b使得函數為奇函數B．若函數的圖象經過原點，且無限接近直線，則C．若函數在區(qū)間上單調遞減，則D．當時，若對，函數恒成立，則b的取值范圍為45．（2021·全國高一專題練習）已知函數，下面說法正確的有（）A．的圖像關于原點對稱 B．的圖像關于y軸對稱C．的值域為 D．，且46．（2021·江蘇吳江中學高一期中）已知定義域為的偶函數在上單調遞增，且，則下列函數中不符合上述條件的是（）A． B． C． D．47．（2021·全國高一專題練習）已知函數，則下面幾個結論正確的有（）A．的圖象關于原點對稱B．的圖象關于y軸對稱C．的值域為D．，且恒成立48．（2021·山東濰坊·高一期末）若函數（且）在上為單調函數，則的值可以是（）A． B． C． D．249．（2021·浙江）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，函數，以下結論正確的是（）A．在上是增函數 B．是偶函數C．是奇函數 D．的值域是三、填空題50．（2021·上海金山·高一期末）函數的值域為________.51．（2021·鎮(zhèn)雄縣第四中學）已知函數的值域為，則實數的取值范圍是___________.52．（2021·全國高一課時練習）若不等式對一切實數恒成立，則實數的取值范圍是________.53．（2021·全國高一專題練習）在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數增長，已知經過天以后，該湖泊的藍藻數大約為原來的倍，那么經過天后該湖泊的藍藻數大約為原來的_____54．（2021·全國高一課時練習）函數f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，則a的取值范圍是________.四、解答題55．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·齊齊哈爾中學高一期中）已知函數.（1）在平面直角坐標系中，畫出函數的簡圖；（2）根據函數的圖象，寫出函數的單調區(qū)間﹔（3）若，求實數的值.56．（2021·全國高一專題練習）已知函數是R上的奇函數.（1）求的值；（2）用定義證明在上為減函數；（3）若對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.57．（2021·河北正定中學）設函數f(x)=ax-a-x(x∈R，a>0且a≠1).（1）若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)＋f(4-x)<0恒成立時實數t的取值范圍；（2）若，g(x)=a2x＋a-2x-2mf(x)且g(x)在[1，+∞)上的最小值為-2，求實數m的值.58．（2021·全國高一課時練習）已知定義在R上的奇函數和偶函數滿足且），（1）若，求.（2）記，求的最小值.59．（2021·全國高一專題練習）已知函數（1）若，求a的值（2）記在區(qū)間上的最小值為①求的解析式②若對于恒成立，求k的范圍60．（2021·江蘇）已知函數．（1）解不等式；（2）若函數在上有零點，求m的取值范圍；（3）若函數，其中為奇函數，為偶函數，若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍.【答案詳解】1．C【詳解】因為是指數函數，所以，解得.故選：C．2．D【詳解】對于選項A：，因為不滿足底數且，故不是指數函數，故選項A不正確；對于選項B：不滿足指數函數前系數等于，故不是指數函數，故選項B不正確；對于選項C：沒有指出的范圍，當且時才是指數函數，故選項C不正確；對于選項D：是指數函數，故選項D正確，故選：D3．D【詳解】設，且即因為所以D正確故選D4．A【詳解】由題意，，得，所以.故選：A5．A【詳解】要使函數有意義，必須且只需,解得，故選：A.6．A【詳解】要使函數有意義，則需，即為，解得，，則定義域為.故選：A.7．C【詳解】因為函數在上單調遞增，所以，又因為，所以，即函數的值域是，故選：C.8．C【詳解】因為指數函數在區(qū)間上是增函數，所以，于是即.故選:C.9．C【詳解】令，因為，則，又因為為單調遞增函數，所以.故選：C10．D【詳解】當時，為增函數，當時，且，故A，B不符合.當時，為減函數，當時，，故C不符合，D符合.故選：D.11．D【詳解】因時，不論取符合條件的任何實數，所對應函數值均為2，即，均有，于是得函數的圖像過定點，所以P的坐標是.故選：D12．D【詳解】因為，所以是增函數；排除AB選項；二次函數開口向上，對稱軸，排除C選項；即D正確；故選：D.13．B【詳解】，，∵遞增，且，∴，即.故選：B.14．C【詳解】∵，，∴．故選：C．15．A【詳解】因為函數在上的增函數，且，所以，即又，所以，所以.故選：A.16．D【詳解】因為是單調遞減函數，又所以，故選：D.17．（1）；（2）.【詳解】（1）由題意，則，解得綜上所述，結論是：.（2）由（1）知，則是上的增函數，因為則，解得綜上所述，結論是：18．【詳解】解：等價于或，即或，或，∴不等式的解集為．19．A【詳解】，故為奇函數，排除C、D；令，則，又，，∴，即，即為增函數，排除D.故選：A20．B【詳解】函數，令，因為，所以是偶函數，其圖象關于y軸對稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關于對稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立則，即，解得，所以實數的取值范圍是故選：B21．A【詳解】因為函數的單調遞增區(qū)間為，所以根據復合函數單調性可知，的單調遞增區(qū)間為故選：A22．B【詳解】由得，，所以的最小值為，所以，．故選：B．23．B【詳解】由題意分情況討論：①當時，當時，單調遞增，此時；當時，單調遞減；，單調遞增，故時，的最小值為，故若有最小值，則；②當時，當時，單調遞減，此時；當時，單調遞增，此時，故若有最小值，則，解得，綜上實數的取值范圍是故選：B24．D【詳解】當時，在單調遞增，所以，解得：，所以此時，，當時，在單調遞減，所以，解得：，所以此時，，所以m的值為或，故選：D25．C【詳解】某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數增長，經過30天以后，該湖泊的藍藻數大約為原來的6倍，設湖泊中原來藍藻數量為，則，經過60天后該湖泊的藍藻數量為：經過60天后該湖泊的藍藻數大約為原來的36倍.故選：C.26．C【詳解】解析：由題意知，當時，有．即，得．所以當時，有．即，得．所以．故選：C27．B【詳解】由題意可得，解得．故．令，即，兩邊同時取對數，故分鐘故選：B28．B【詳解】解：∵，函數是減函數，，∴，∴.又函數是R上的增函數，，∴，即，綜上可得，，故選：B.29．D【詳解】，在定義域內都不是單調遞增的，不滿足題意，在定義域上單調遞減，不滿足題意，在定義域上單調遞增，滿足題意，.故選：D30．B【詳解】由可得，因為在上單調遞增，所以即，解得：，所以，即函數的值域是，故選：B.31．C解：滿足對任意，都有成立，在上是減函數，因為，解得，的取值范圍是．故選：．32．C【詳解】解：，定義域為，為奇函數，故可排除，；又在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，在上是增函數，符合題意，可排除；故選：．33．A【詳解】由，可得，因為由圖像可知函數是減函數，所以，所以，因為，所以，所以，故選：A34．D【詳解】由，且，排除AC；∵，當時，為單調遞減函數，∴，與已知矛盾矛盾，故B錯誤；當時，為單調遞增函數，∴，符合題意.故選：D.35．A【詳解】與是增函數，與是減函數，在第一象限內作直線，該直線與四條曲線交點的縱坐標的大小對應各底數的大小，易知：選A．故選：A36．D【詳解】函數y=a-x是把y=-ax中的x換成-x，把y換成-y，所以兩個函數的圖像關于原點對稱，故選：D.37．D【詳解】當時，由，則，即，解得或，所以或，又因，所以；當時，，由，即，即，即，解得，所以，又因，所以，綜上所述：不等式的解集為.故選：D.38．B【詳解】要使有意義，則，解得，所以函數的定義域為.故選：B.39．D【詳解】令，則，故原函數化為，當時，可得最小值為．故選：D．40．D【詳解】解：根據題意，是定義在，上的偶函數，則有，則，同時，即，則有，必有，則，其定義域為，，則，設，若，則有，在區(qū)間，上，且為減函數，在區(qū)間，上為增函數，則在，上為減函數，其最大值為，故選：．41．C【詳解】，．∵．∴．又∵，，∴．∴有．又因為鏡片折射率越高，鏡片越薄，故甲同學創(chuàng)作的鏡片最厚，乙同學創(chuàng)作的鏡片最薄．故選：C.42．C【詳解】由題意知，當x＝1時，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,故選：C.43．A【詳解】由，得．當時，，所以B，D錯誤；當時,，所以C錯誤．故選：.44．ABC【詳解】A.當時，，此時為奇函數，故選項A正確；B.為偶函數，在區(qū)間上為減函數，圖象過點，且以x軸為漸近線.若函數的圖象經過原點，且漸近線為時，，，選項B正確;C.因為偶函數，在區(qū)間上為減函數，故若函數在區(qū)間上單調遞減，則，選項C正確：D.當時，,，若恒成立，得，即，而，此時，，當時，，得，若恒成立，得，當時，，得，若恒成立，得，即，而，因此得，選項D不正確，故選:ABC.45．ACD【詳解】的定義域為關于原點對稱,，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，故選項A正確，選項B不正確；，因為，所以，所以，，所以，可得的值域為，故選項C正確；設任意的，則，因為，，，所以，即，所以，故選項D正確；故選：ACD46．ABD【詳解】A：由在定義域上的值域為，顯然不符合，；B：在定義域上單調遞增，但在定義域上有，即為奇函數，不符合題設函數性質；C：在定義域上是偶函數，在上單調遞增，且，符合題設函數的性質；D：由冪函數的性質知：在上單調遞減，不合題設函數性質；故選：ABD.47．ACD【詳解】對于A，，則，則為奇函數，故圖象關于原點對稱，故A正確.對于B，計算，，故的圖象不關于y軸對稱，故B錯誤.對于C，，，故，易知：，故的值域為,故C正確.對于D，，因為在上為增函數，為上的減函數，由復合函數的單調性的判斷法則可得在上單調遞減，故，且，恒成立，故D正確.故選：ACD.48．ABD【詳解】解：因為函數（且）在上為單調函數，所以或，解得或，所以滿足條件的有ABD；故選：ABD49．ACD【詳解】函數，定義域為R，又指數函數是單調遞增的，可知是單調遞減的，取值為，故是單調遞增的，值域為，故A正確；當時，，當時，，故的值域是，D正確；又，故是奇函數，即C正確；因為，故，，故，即，故不可能是偶函數，B錯誤.故選：ACD.50．由指數函數的性質知：，∴.故答案為：51．由題意，的值域為：要使得：的值域為必為減函數，因此可作出函數圖象如圖，由圖象可知解之得.故答案為：52．【詳解】原不等式可變形為，因為指數函數為增函數，則有，即對一切實數恒成立.①當時，，滿足題意；②當時，若二次函數大于0恒成立，則需且，即且，解得.綜上，實數的取值范圍是.故答案為：53．36倍【詳解】某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數增長，經過30天以后，該湖泊的