專題08期中-綜合大題必刷（壓軸13考點33題）

一．分式的加減法（共2小題）1．深化理解：閱讀下列材料，并解答問題：材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．解：由分母x+1，可設x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；則x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵對于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．這樣，分式就拆分成一個整式x﹣2與一個分式的和的形式．（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式為x+7+；（2）已知整數x使分式的值為整數，則滿足條件的整數x的值．【答案】（1）x+7+；（2）4或16或2或﹣10．【解答】解：（1）由分母x﹣1，可設x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，則x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．∵對于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝x+7+．故答案為：x+7+．（2）由分母x﹣3，可設2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，則2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，∵對于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝2x+11+．∵x為整數，分式的值為整數，∴為整數，∴x＝4或16或2或﹣10．2．閱讀下面的材料，并解答后面的問題材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和（差）的形式．解：由分母為x+1，可設3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．因為（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．所以，解得．所以＝＝﹣＝3x+1﹣．這樣，分式就被拆分成了一個整式3x+1與一個分式的差的形式．根據你的理解決下列問題：（1）請將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和（差）的形式；（2）若分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和（差）的形式為：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．【答案】（1）以＝2x+5+；（2）27．【解答】解：（1）由分母為x﹣1，可設2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．因為（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，因此有，解得，所以＝＝2x+5+；（2）由分母為x+2，可設5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，因為（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，因此有，解得，所以＝＝5x﹣1﹣，所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，所以m＝x+2，n＝﹣x+4，所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，因為（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，所以m2+n2+mn的最小值為27．二．分式的混合運算（共1小題）3．我們知道：分式和分數有著很多的相似點．如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質；類比分數的運算法則，我們得到了分式的運算法則，等等．小學里，把分子比分母小的分數叫做真分數．類似地，我們把分子整式的次數小于分母整式的次數的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，屬于真分式的是：③（填序號）；①②③④（2）將假分式化成整式與真分式的和的形式為：＝2+，若假分式的值為正整數，則整數a的值為﹣2、1或3；（3）將假分式化成整式與真分式的和的形式：＝a+1+．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）根據題意可得，、、都是假分式，是真分式，故答案為：③；（2）由題意可得，＝，若假分式的值為正整數，則或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，故答案為：2、，﹣2、1或3；（3）＝，故答案為：a+1+．三．分式的化簡求值（共2小題）4．閱讀理解材料：為了研究分式與分母x的關系，小明制作了表格，并得到如下數據：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.50.0.25…從表格數據觀察，當x＞0時，隨著x的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當x＜0時，隨著x的增大，的值也隨之減小．材料2：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數高于分子的次數時，我們把這個分式叫做真分式．當分母的次數不低于分子的次數時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．根據上述材料完成下列問題：（1）當x＞0時，隨著x的增大，的值減小（增大或減小）；當x＜0時，隨著x的增大，的值減小（增大或減小）；（2）當x＞1時，隨著x的增大，的值無限接近一個數，請求出這個數；（3）當0≤x≤2時，求代數式值的范圍．【答案】（1）減小，減小；（2）2；（3）﹣8≤≤．【解答】解：（1）∵當x＞0時隨著x的增大而減小，∴隨著x的增大，1+的值減小；∵當x＜0時隨著x的增大而減小，∵＝1+，∴隨著x的增大，的值減小，故答案為：減小，減小．（2）∵＝＝2+，∵當x＞1時，的值無限接近0，∴的值無限接近2．（3）∵＝＝5+，又∵0≤x≤2，∴﹣13≤≤﹣，∴﹣8≤≤．5．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．（1）若a＝﹣3，b＝2，則m＝﹣1，n＝﹣6；（2）若m＝﹣2，，求的值；（3）若n＝﹣1，當＝0時，求m的值．【答案】（1）﹣1，﹣6；（2）﹣4；（3）m1＝﹣2，m2＝1．【解答】解：（1）將a＝﹣3，b＝2代入（x+a）（x+b）得：（x+a）（x+b）＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣6．故答案為：﹣1，﹣6．（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n．∴，∴+＝＝＝＝﹣4．（3）∵a+b＝m，ab＝n＝﹣1，∴（+）+4（a+b）﹣16＝0，+4m﹣16＝0，4[（a+b）2﹣2ab]+4m﹣16＝0，4（m2+2）+4m﹣16＝0∴4m2+4m﹣8＝0，（m+2）（m﹣1）＝0，m1＝﹣2，m2＝1．四．分式方程的應用（共4小題）6．某鎮道路改造工程，由甲、乙兩工程隊合作20天可完成，甲工程隊單獨施工完成的天數是乙工程隊單獨施工完天數的2倍．（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？（2）甲工程隊獨做a天后，再由甲、乙兩工程隊合作（20﹣）天（用含a的代數式表示）可完成此項工程；（3）如果甲工程隊施工每天需付施工費1萬元，乙工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，甲工程隊至少要單獨施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊合作施工完成剩下的工程，才能使施工費不超過64萬元？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設乙單獨完成此項工程需要x天，則甲單獨完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，經檢驗x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案為：（20﹣）；（3）設甲單獨做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程隊至少要單獨施工36天．7．甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米．甲同學先步行600米，然后乘公交車去學校，乙同學騎自行車去學校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲、乙兩同學同時從家里出發去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘．（1）求乙騎自行車的速度；（2）當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠？【答案】（1）300米/分鐘；（2）600米．【解答】解：（1）設乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據題意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分鐘，經檢驗x＝300是方程的根，答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；（2）∵300×2＝600米，答：當甲到達學校時，乙同學離學校還有600米．8．育才文具店第一次用4000元購進某款書包，很快賣完，臨近開學，又用3600元購進該款書包，但這次每個書包的進價是第一次進價的1.2倍，數量比第一次少了20個．（1）求第一次每個書包的進價是多少元？（2）若第二次進貨后按80元/個的價格銷售，恰好銷售完一半時，根據市場情況，文具店決定對剩余的書包按同一標準一次性打折銷售，但要求第二批書包的利潤不少于960元，問最低可打幾折？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設第一次每個書包的進價是x元，根據題意得：﹣20＝，解得x＝50．經檢驗，x＝50是原分式方程的解，且符合題意，答：第一次書包的進價是50元．（2）設可以打y折，則3600÷（50×1.2）＝60（個）．由80×30+80××30﹣3600≥960，解得y≥9，答：最低可打9折．9．列方程解應用題某水果批發市場蘋果的價格如表：購買蘋果（千克）不超過20千克20千克以上但不超過40千克40千克以上每千克的價格6元5元4元（1）小明分兩次共購買40千克，第二次購買的數量多于第一次購買的數量，共付出216元，小明第一次和第二次各購買多少千克蘋果？（2）小強分兩次共購買100千克，第二次購買的數量多于第一次購買的數量，且兩次購買每千克蘋果的單價不相同，共付出432元，請問小強第一次，第二次分別購買蘋果多少千克？【答案】（1）第一次買16千克，第二次買24千克；（2）第一次購買16千克蘋果，第二次購買84千克蘋果或第一次購買32千克蘋果，第二次購買68千克蘋果．【解答】解：（1）設第一次購買x千克蘋果，則第二次購買（40﹣x）千克蘋果，由題意可得6x+5（40﹣x）＝216，解得：x＝16，40﹣x＝24．答：第一次買16千克，第二次買24千克．（2）設第一次購買x千克蘋果，則第二次購買（100﹣x）千克蘋果．分三種情況考慮：①第一次購買蘋果少于20千克，第二次蘋果20千克以上但不超過40千克；兩次購買的質量不到100千克，不成立；②第一次購買蘋果少于20千克，第二次蘋果超過40千克．根據題意，得：6x+4（100﹣x）＝432，解得：x＝16．100﹣16＝84（千克）；③第一次購買蘋果20千克以上但不超過40千克，第二次蘋果超過40千克根據題意，得：5x+4（100﹣x）＝432，解得：x＝32．100﹣32＝68千克；答：第一次購買16千克蘋果，第二次購買84千克蘋果或第一次購買32千克蘋果，第二次購買68千克蘋果．五．菱形的判定與性質（共3小題）10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，點P從點D出發向點A運動，運動到點A即停止；同時點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止．點P、Q的速度的速度都是1cm/s，連接PQ，AQ，CP，設點P、Q運動的時間為t（s）．（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形？（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形？（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）當四邊形ABQP是矩形時，BQ＝AP，即：t＝8﹣t，解得t＝4．答：當t＝4時，四邊形ABQP是矩形；（2）設t秒后，四邊形AQCP是菱形當AQ＝CQ，即＝8﹣t時，四邊形AQCP為菱形．解得：t＝3．答：當t＝3時，四邊形AQCP是菱形；（3）當t＝3時，CQ＝5，則周長為：4CQ＝20cm，面積為：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）．11．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形，當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，即60﹣4t＝2t，解得t＝10．∴當t＝10秒時，四邊形AEFD為菱形．（2）①當∠DEF＝90°時，由（1）知四邊形AEFD為平行四邊形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；②當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，則∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．③若∠EFD＝90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．綜上所述，當t＝或12秒時，△DEF為直角三角形．12．如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC＝8cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）．（1）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）①當t為何值時，四邊形ACFE是菱形；②當t為何值時，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍．【答案】（1）證明見解析；（2）①8；②或．【解答】（1）證明：如圖1，∵AG∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，∵EF經過AC邊的中點D，∴AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∵AE∥FC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）解：①如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝8cm，∵四邊形ACFE是菱形，∴AE＝CF＝AC＝BC＝8cm，且點F在BC延長線上，由運動知，AE＝tcm，BF＝2tcm，∴CF＝（2t﹣8）cm，∴2t﹣8＝8，解得：t＝8，將t＝8代入CF＝2t﹣8中，得CF＝8＝AC＝AE，符合題意，即當t＝8時，四邊形ACFE是菱形；②設平行線AG與BC的距離為hcm，∴△ACE邊AE上的高為hcm，△ACF的邊CF上的高為hcm，∵△ACE的面積是△ACF的面積的2倍，∴AE＝2CF，當點F在線段BC上時（0＜t＜4），CF＝（8﹣2t），AE＝tcm，∴t＝2（8﹣2t），解得：t＝；當點F在BC的延長線上時（t＞4），CF＝（2t﹣8）cm，AE＝tcm，∴t＝2（2t﹣8），解得：t＝，即當t為或時，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍．六．矩形的性質（共1小題）13．如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，A點的坐標為（4，0），C點的坐標為（0，6），點B在第一象限內，點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著O→C→B→A→O的路線移動（移動一周）．（1）寫出點B的坐標；（2）當點P移動了4秒時，求出點P的坐標；（3）在移動過程中，當△OBP的面積是10時，直接寫出點P的坐標．【答案】（1）B（4，6）；（2）P（2，6）；（3）（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．【解答】解：（1）∵A點的坐標為（4，0），C點的坐標為（0，6），∴OA＝4，OC＝6，∴點B（4，6）；（2）∵點P移動了4秒時的距離是2×4＝8，∴點P的坐標為（2，6）；（3）如圖，①當點P在OC上時，S△OBP＝×OP1×4＝10，∴OP1＝5，∴點P（0，5）；②當點P在BC上，S△OBP＝×BP2×6＝10，∴BP2＝，∴CP2＝4﹣＝，∴點P（，6）；③當點P在AB上，S△OBP＝×BP3×4＝10，∴BP3＝5，∴AP3＝6﹣5＝1，∴點P（4，1）；④當點P在AO上，S△OBP＝×OP4×6＝10，∴OP4＝，∴點P（，0）．綜上，點P的坐標為（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．七．矩形的判定（共1小題）14．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）求證：EO＝FO；（2）當CE＝12，CF＝10時，求CO的長；（3）當O點運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，證明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形．八．正方形的性質（共8小題）15．如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，∠EAF＝m°，將∠EAF繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交BC、CD于點E、F，G是CB延長線上一點，且始終保持BG＝DF．（1）求證：△ABG≌△ADF；（2）求證：AG⊥AF；（3）當EF＝BE+DF時：①求m的值；②若F是CD的中點，求BE的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．∵BG＝DF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）；（2）證明：∵△ABG≌△ADF，∴∠GAB＝∠FAD，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；（3）①解：△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，在△AEG和△AEF中．，∴△AEG≌△AEF（SSS）．∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；②若F是CD的中點，則DF＝CF＝BG＝1．設BE＝x，則CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2﹣x）2+12＝（1+x）2，得x＝．∴BE的長為．16．如圖①，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）連接MN，△BMN是等邊三角形嗎？為什么？（2）求證：△AMB≌△ENB；（3）①當M點在何處時，AM+CM的值最小；②如圖②，當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，請你畫出圖形，并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】（1）解：△BMN是等邊三角形．理由如下：如圖①，∵BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等邊三角形；（2）證明：∵△ABE和△BMN都是等邊三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由兩點之間線段最短可知A、M、C三點共線時，AM+CM的值最小，∵四邊形ABCD是正方形，∴點M為BD的中點；②當點M在CE與BD的交點時，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如圖②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等邊三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由兩點之間線段最短可知，點E、N、M、C在同一直線上時，EN+MN+CM，故，點M在CE與BD的交點時，AM+BM+CM的值最小．17．閱讀下面材料：我遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，∠EAF＝45°，連接EF，求證：DE+BF＝EF．我是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉的方法，發現通過旋轉可以解決此問題．他的方法是將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG（如圖2），此時GF即是DE+BF．請回答：在圖2中，∠GAF的度數是45°．參考我得到的結論和思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一點，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的長度．（2）如圖4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB為邊作正方形ADEB，連接CD．當∠ACB＝135°時，線段CD有最大值，并求出CD的最大值．【答案】閱讀材料：45°；（1）BE＝；（2）135°．【解答】解：閱讀材料：根據旋轉△ABG≌△QDE，∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°；（1）過點A作AF⊥CB交CB的延長線于點F，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠B＝180°﹣∠D＝90°，∵AD＝CD＝10，∴四邊形AFCD是正方形，∴CF＝10，根據上面結論，可知BE＝DE+BF，設BE＝x，∵DE＝4，∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4，∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x，CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，∵∠C＝90°，∴CE2+CB2＝BE2，∴36+（14﹣x）2＝x2，解得：x＝，故BE＝；（3）過點A作AF⊥CA，取AF＝AC，連接BF，CF，∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC，∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC，∴∠BAF＝∠DAC，又∵AC＝AF，AB＝AD，∴△FAB≌△CAD（SAS），∴BF＝CD，∴線段CD有最大值時，只需BF最大即可，在△BCF中，BF≤BC+CF，當B、C、F三點共線時，BF取最大值，此時BF＝BC+CF，在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°，∴CF＝AC＝4，∵CB＝6，BF最大為：4+6，此時∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°．故答案為：135°．18．已知邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A，C不重合），過點P作PE⊥PB，PE交DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．（1）求證：PB＝PE；（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，試說明理由．【答案】（1）證明見解答；（2）點P在運動過程中，PF的長度不變，值為．【解答】（1）證明：過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．（2）解：PF的長度不變．連接BD，如圖2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝2，∴OB＝，∴PF＝OB＝．∴點P在運動過程中，PF的長度不變，值為．19．如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．（1）如圖1，當點Q在DC邊上時，探究PB與PQ所滿足的數量關系；小明同學探究此問題的方法是：過P點作PE⊥DC于E點，PF⊥BC于F點，根據正方形的性質和角平分線的性質，得出PE＝PF，再證明△PEQ≌△PFB，可得出結論，他的結論應是PB＝PQ；（2）如圖2，當點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數量關系，并證明你的猜想．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）結論：PB＝PQ，理由：過P作PF⊥BC，PE⊥CD，∵P，C為正方形對角線AC上的點，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠QPF+∠QPE＝90°，∴∠BPF＝∠QPE，在△PEQ和△PFB中，，∴Rt△PQE≌Rt△PBF，∴PB＝PQ；故答案為PB＝PQ．（2）PB＝PQ，證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對角線AC上的點，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．20．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是平面內異于點A的任意一點，以線段AE為邊作正方形AEFG，連接EB，GD．（1）如圖1，判斷EB與GD位置關系，并證明你的結論；（2）如圖2，若點E在線段DG上，∠DAE＝15°，AG＝4，求BE的長．【答案】（1）BE⊥DG，理由見解答；（2）2+2．【解答】解：（1）BE⊥DG；如圖1，延長BE交DG于H，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∵∠ADG+∠DGA＝90°，∴∠ABE+∠DGA＝90°，∴∠GHB＝90°，∴BE⊥DG；（2）作AH⊥DG于H，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴∠AGE＝45°，∴GH＝HA＝＝＝2，∵∠AGE＝45°，∴∠GAH＝45°，∴∠HAE＝45°，∵∠DAE＝15°，∴∠HAD＝∠HAE+∠DAE＝60°，∴HD＝AH?tan∠HAD＝2＝2，∴BE＝DG＝DH+GH＝2+2．21．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時（如圖1），求證：BM+DN＝MN；（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），則線段BM，DN和MN之間數量關系是BM+DN＝MN；（3）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系呢？并對你的猜想加以說明．【答案】（1）答案見證明；（2）BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN．【解答】（1）證明：如圖1，過A作AE⊥MN于E，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴AM＝AN，∠BAM＝∠DAN＝45°＝22.5°，∵AE⊥MN，∴∠NAE＝MAN＝22.5°，MN＝2EN，∴∠DAN＝∠NAE，∵AE⊥MN，∠D＝90°，∴DN＝NE，即BM＝DN＝NE，∴BM+DN＝MN；（2）解：線段BM，DN和MN之間數量關系是BM+DN＝MN，理由如下：延長CB至E，使得BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，在△ADN和△ABE中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，∵在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM，∴MN＝ME，∵ME＝BM+BE＝BM+DN，∴BM+DN＝MN，故答案為：BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：如圖3，在DC上截取DE＝BM，連接AE，由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠MAN．∵在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS），∴EN＝MN，即DN﹣DE＝MN，∴DN﹣BM＝MN．22．（1）如圖1，正方形ABCD中，點P為線段BC上一個動點，若線段MN垂直AP于點E，交線段AB于點M，交線段CD于點N，證明：AP＝MN；（2）如圖2，正方形ABCD中，點P為線段BC上一動點，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點M，E，F，N．求證：EF＝ME+FN．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【解答】解：（1）如圖1，過B點作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，∵BM∥NH，∴四邊形MBHN為平行四邊形，∴MN＝BH，∵四邊形ABCD是正方形．∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH，∴△ABP≌△BCH（ASA），∴BH＝AP，∴MN＝AP；（2）如圖2，連接FA，FP，FC∵正方形ABCD是軸對稱圖形，F為對角線BD上一點，∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN，∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN．九．正方形的判定與性質（共1小題）23．如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB的中點，求正方形DEFG的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）．【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF（ASA），∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形；（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；（3）解：連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，AB∥CD，∵F是AB中點，∴AF＝FB＝，∴DF＝＝＝，∴正方形DEFG的面積＝DF2＝（）2＝．一十．旋轉的性質（共5小題）24．如圖，已知△ABC為等邊三角形．P為△ABC內一點，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若將△PBC繞點B逆時針旋轉后得到△P′BA．（1）求點P與點P′之間的距離；（2）求∠APB的度數．【答案】（1）6；（2）150°．【解答】解：（1）連接PP′由題意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，所以∠PBP′＝60度．故△BPP′為等邊三角形，所以PP′＝BP＝BP′＝6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′為直角三角形，且∠APP′＝90°，可求∠APB＝90°+60°＝150°．25．如圖1，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將△ABE繞點B順時針方向旋轉90°，得到△CBE'（點A的對應點為點C），延長AE交CE'于點F，連接DE．（1）試判斷四邊形BEFE'的形狀，并說明理由；（2）若DA＝DE，如圖2，請猜想線段CF與E'F的數量關系，并加以證明．【答案】（1）四邊形BE′FE是正方形；（2）CF＝FE'．【解答】解：（1）四邊形BE′FE是正方形．理由如下：由旋轉得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四邊形BE′FE是矩形，由旋轉得，BE′＝BE，∴四邊形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，證明如下：如圖，過點D作DG⊥AE于點G，則∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四邊形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋轉得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．26．（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉角的度數60°；②線段OD的長4；③求∠BDC的度數．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內一點，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．當OA、OB、OC滿足什么條件時，∠ODC＝90°？請給出證明．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋轉角的度數為60°；②∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD為等邊三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD為等邊三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2時，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD為等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵當CD2+OD2＝OC2時，△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴當OA、OB、OC滿足OA2+2OB2＝OC2時，∠ODC＝90°．27．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將CO繞點C順時針方向旋轉60°得到CD，連接AD，OD．（1）當α＝150°時，求證：△AOD為直角三角形；（2）求∠DAO的度數；（3）請你探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？【答案】（1）見解析；（2）50°；（3）140°或125°或110°．【解答】（1）證明：由旋轉的性質得：OC＝CD，∠DCO＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴∠CDO＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCO，∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（2）解：∵△COD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，由（1）知：△ADC≌△BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝α﹣60°，△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；（3）解：分三種情況：①當AO＝AD時，∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②當OA＝OD時，∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③當OD＝AD時，∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°，∴α＝140°，綜上所述：當α的度數為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．28．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在AB的延長線上，連接EC，EC繞點E逆時針旋轉90°得到EF，連接CF、AF，CF與對角線BD交于點G．（1）若BE＝2，求AF的長度；（2）求證：AF+2BG＝AD．【答案】（1）；（2）證明過程見解答．【解答】（1）解：連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2BC2，∴CE2＝BE2+BC2，∵EC繞點E逆時旋轉90°得到EF，∴EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF2＝EF2+CE2＝2CE2＝2BE2+2BC2，∴∠EFC＝∠EAC＝45°，∴∠FAE＝∠FCE＝45°，∴∠FAC＝90°，∴CF2＝AF2+AC2＝AF2+2BC2，∴AF2+2BC2＝2BE2+2BC2，即AF2＝2BE2，∵BE＝2，∴AF2＝2×22＝8，解得AF＝；（2）證明：連接AC，延長AF，CB交于點H，∵∠FAE＝∠ABD＝45°，∴AF∥BD，又∵AD∥BC，∴四邊形ADBH是平行四邊形，∴AD＝BH＝BC＝AB，∴AH＝AB＝CD，∵AH∥BG，∴CG＝FG，∴BG是△CHF的中位線，∴HF＝2BG，∵AH＝AF+FH，∴AD＝AF+2BG，即AF+2BG＝AD．一十一．頻數（率）分布直方圖（共1小題）29．某校為了了解本校1200名初中生對“防溺水”安全知識的掌握情況，隨機抽取了60名初中生進行“防溺水”安全知識測試，并將測試成績進行統計分析，繪制了如下不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖：組別成績x分頻數第1組50≤x＜606第2組60≤x＜7010第3組70≤x＜80a第4組80≤x＜90b第5組90≤x＜10012請結合圖表完成下列問題：（1）頻數分布表中的a＝18，b＝14．（2）將頻數分布直方圖補充完整．（3）若測試成績不低于80分定為“優秀”，則該校的初中生對“防溺水”安全知識的掌握情況為“優秀”的大約有多少人？【答案】（1）18，14；（2）見解答