PAGE第九章平面解析幾何第四講雙曲線練好題﹒考點自測1.[2016全國卷Ⅰ,5分]已知方程QUOTE-QUOTE=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是 ()A.(-1,3) B.(-1,QUOTE)C.(0,3) D.(0,QUOTE)2.[2024全國卷Ⅲ,5分]雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點.若|PO|=|PF|,則△PFO的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.3QUOTE3.[2024全國卷Ⅱ,5分]設O為坐標原點,直線x=a與雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點.若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為 ()A.4 B.8 C.16 D.324.[2024大同市調研測試]如圖9-4-1,雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作線段F2P與C交于點Q,且Q為PF2的中點.若等腰三角形PF1F2的底邊PF2的長等于C的半焦距,則C的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE圖9-4-15.[2024天津,5分]已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為 ()A.QUOTE-QUOTE=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=16.[多選題]以下關于雙曲線的命題說法正確的是 ()A.若點(2,3)在焦距為4的雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)上,則此雙曲線的離心率e=1B.若點F,B分別是雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一個焦點和虛軸的一個端點,則線段FB的中點在此雙曲線的漸近線上C.等軸雙曲線的漸近線相互垂直,離心率等于QUOTED.若雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)與QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率分別是e1,e2,則QUOTE+QUOTE=1(稱這兩條雙曲線互為共軛雙曲線)7.[2024北京,5分]已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1,則C的右焦點的坐標為;C的焦點到其漸近線的距離是.

8.[2024全國卷Ⅰ,5分]已知F為雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的右焦點,A為C的右頂點,B為C上的點,且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.

拓展變式1.(1)[2024廣東七校第一次聯考]P是雙曲線C:QUOTE-y2=1右支上一點,直線l是雙曲線C的一條漸近線.P在l上的射影為Q,F1是雙曲線C的左焦點,則|PF1|+|PQ|的最小值為 ()A.1 B.2+QUOTE C.4+QUOTE D.2QUOTE+1(2)[2024全國卷Ⅲ,5分]設雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為QUOTE.P是C上一點,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a= ()A.1 B.2 C.4 D.82.[2017天津,5分]已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左焦點為F,離心率為QUOTE.若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為 ()A.QUOTE-QUOTE=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=13.[2024成都三診]已知F1,F2是雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點,經過點F2且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A,且QUOTE≤∠F1AF2≤QUOTE,則該雙曲線離心率的取值范圍是 ()A.[QUOTE,QUOTE] B.[QUOTE,3] C.[3,QUOTE] D.[QUOTE,3]答案第四講雙曲線1.A解法一因為雙曲線QUOTE-QUOTE=1兩焦點之間的距離為4,則:①當焦點在x軸上時,QUOTE解得QUOTE②當焦點在y軸上時,QUOTE無解.綜上,-1<n<3.故選A.解法二取n=0,滿意題意,解除C,D;取n=2,滿意題意,解除B.選A.解法三不考慮雙曲線焦點的位置,依據雙曲線的性質可得QUOTE化簡可得QUOTE則-1<n<3,故選A.2.A設點P在第一象限,依據題意可知c2=6,所以|OF|=QUOTE.又tan∠POF=QUOTE=QUOTE,所以等腰三角形PFO底邊OF上的高h=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以S△PFO=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.故選A.3.B由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx.因為D,E分別為直線x=a與雙曲線C的兩條漸近線的交點,所以不妨設D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=QUOTE×a×|DE|=QUOTE×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,當且僅當a=b=2QUOTE時等號成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值為8,故選B.4.C連接F1Q,由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,且Q是PF2的中點,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=QUOTE,由雙曲線的定義可得|F1Q|=QUOTE+2a,依據F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(QUOTE)2+(QUOTE+2a)2=(2c)2,化簡整理得7c2-4ac-8a2=0,方程兩邊同時除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e=QUOTE,故選C.5.C解法一因為直線AB經過雙曲線的右焦點,所以不妨取A(c,QUOTE),B(c,-QUOTE),取雙曲線的一條漸近線為直線bx-ay=0,由點到直線的距離公式可得d1=QUOTE=QUOTE,d2=QUOTE=QUOTE,因為d1+d2=6,所以QUOTE+QUOTE=6,所以2b=6,得b=3.因為雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為2,即QUOTE=2,所以QUOTE=4,所以QUOTE=4,解得a2=3,所以雙曲線的方程為QUOTE-QUOTE=1,故選C.解法二由直線AB過雙曲線的右焦點且垂直于x軸,d1+d2=6,得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3,所以b=3.因為雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以QUOTE=2,所以QUOTE=4,所以QUOTE=4,解得a2=3,所以雙曲線的方程為QUOTE-QUOTE=1,故選C.6.CD對于A,雙曲線的焦點為(-2,0),(2,0),2a=|QUOTE-QUOTE|=2,a=1,從而離心率e=2,所以A錯誤;對于B,F(±c,0),B(0,±b),FB的中點坐標(±QUOTE,±QUOTE)不滿意雙曲線的漸近線方程y=±QUOTEx,所以B錯誤;對于C,由等軸雙曲線的性質可知C正確;對于D,由共軛雙曲線的性質可知D正確.故選CD.7.(3,0)QUOTE雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1中,c2=6+3=9,∴c=3,則C的右焦點的坐標為(3,0),C的漸近線方程為y=±QUOTEx,即x±QUOTEy=0,則C的焦點到其漸近線的距離d=QUOTE=QUOTE.8.2設B(c,yB),因為B為雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1上的點,所以QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE=QUOTE.因為AB的斜率為3,所以yB=QUOTE,QUOTE=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的離心率e=QUOTE=2.1.(1)D設雙曲線的右焦點為F2,因為|PF1|-|PF2|=2QUOTE,所以|PF1|=2QUOTE+|PF2|,|PF1|+|PQ|=2QUOTE+|PF2|+|PQ|.當且僅當Q,P,F2三點共線,且P在Q,F2之間時,|PF2|+|PQ|最小,且最小值為點F2到直線l的距離.由題意可得直線l的方程為y=±QUOTEx,焦點F2(QUOTE,0),點F2到直線l的距離d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值為2QUOTE+1,故選D.(2)A解法一設|PF1|=m,|PF2|=n,P為雙曲線右支上一點,則由雙曲線的定義得m-n=2a.由題意得QUOTE=QUOTEmn=4,且m2+n2=4c2,又e=QUOTE=QUOTE,所以a=1,故選A.解法二(結論解法)由題意及雙曲線焦點三角形的結論(詳見主書P203【思維拓展】(4)),得QUOTE=QUOTE=4,得b2=4,又QUOTE=5,c2=b2+a2,所以a=1.2.B由e=QUOTE知,雙曲線為等軸雙曲線,則其漸近線方程為y=±x,由P(0,4)知左焦點F的坐標為(-4,0),所以c=4,則a2=b2=QUOTE=8.故選