第26章二次函數(shù)26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)26.2.3求二次函數(shù)的表達(dá)式1.

二次函數(shù)的三種形式一般

式

（a、b、c為常數(shù)，且

a≠0）頂點(diǎn)

式

（a≠0），其

中

為頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸為直線

?交點(diǎn)

式

（a≠0），其中

x1、x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的

?y＝ax2＋bx＋c

y＝a（x－h(huán)）2＋k

（h，k）

x＝h

y＝a（x－x1）（x－x2）

橫坐標(biāo)

注意：求二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，但要根

據(jù)不同條件，設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕馕鍪剑海?）若給出拋物線上任意三點(diǎn)，通常可設(shè)一般式y(tǒng)＝

ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）若給出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最值，通常

可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）；（3）若給出拋物線與x軸的交點(diǎn)、對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)

間的距離，通常可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－x1）（x－x2）

（a≠0）.2.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)出二次函數(shù)解析式；（2）代入條件得出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組求出待定系數(shù)的值；（4）把求出的待定系數(shù)的值代回設(shè)出的解析式.題型一

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式

根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式.（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，－1）、B

（1，0）、C（－1，2）；

（2）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－3），且與y軸交

于點(diǎn)（0，1）；解：（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－3），∴設(shè)此二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x－1）2－3.將點(diǎn)（0，1）代入上式，得1＝a－3，解得a＝4.∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝4（x－1）2－3＝4x2－8x＋1.（3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M（－3，0）、N（5，0），且與y軸交于點(diǎn)P（0，－3）.

[分析]

（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c，

將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，聯(lián)立成方程組，解方程

組即可求得函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y

＝a（x－1）2－3，再將（0，1）代入即可求得函數(shù)表

達(dá)式；（3）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x＋3）（x

－5），再將（0，－3）代入即可求得函數(shù)表達(dá)式.

1.

根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.（1）圖象經(jīng)過A（3，0）、B（2，－3）、C（0，－3）三點(diǎn)；

（2）圖象經(jīng)過（0，－2）、（－1，0）和（3，0）

三點(diǎn)；

（3）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）且經(jīng)過點(diǎn)（1，4）.解：（3）由于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－2）2＋3.將點(diǎn)（1，4）代入并解得a＝1，∴該二次函數(shù)的解析式為y＝（x－2）2＋3＝x2－4x＋7.2.

如圖，二次函數(shù)y＝（x－1）（x－a）（a為常

數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2.（1）求a的值；

（第2題）（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式.解：（2）由（1）可知該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－4x＋3.則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴原二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3），要使其平移后經(jīng)過原點(diǎn)，則應(yīng)向下

平移3個(gè)單位.∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)

式為y＝x2－4x.

（第2題）題型二

用二次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題

如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖.水面寬AB

與橋長CD均為24

m，在距離點(diǎn)D

6

m的點(diǎn)E處，測得

橋面到橋拱的距離EF為1.5

m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)、

橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.圖1（1）求橋拱頂部O離水面AB的距離；

圖1（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4

m的支柱CG、

OH、DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋

物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1

m.①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩

帶，求彩帶長度的最小值.圖2

AA.

y＝－

x2＋

x＋1B.

y＝－

x2＋

x－1C.

y＝－

x2－

x＋1D.

y＝－

x2－

x－1（第3題）4.

（2024·浙江）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8

m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的

水平距離為6

m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3

m.

已知球門高OB為2.44

m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示

的平面直角坐標(biāo)系.

（第4題）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；

（第4題）（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大

高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少

米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25

m處？（第4題）（第4題）

題型三

二次函數(shù)與幾何綜合

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，同時(shí)在拋物線上

取一點(diǎn)R，使以AC為一邊且以點(diǎn)A、C、Q、R為頂點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo).

5.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx

＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－2