PAGEPAGE9黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理本試卷滿分150分，答題時(shí)長(zhǎng)120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）1.用反證法證明命題：“若，則至少有一個(gè)大于.”下列假設(shè)中正確的是（）A.假設(shè)都不大于B.假設(shè)都小于C.假設(shè)至多有一個(gè)大于0D.假設(shè)至少有一個(gè)小于2.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.3.從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，給出以下事務(wù)：①兩球都不是白球；②兩球中恰有一個(gè)白球；③兩球中至少有一個(gè)白球．其中與事務(wù)“兩球都為白球”互斥而不對(duì)立的事務(wù)是()A．①②B．①③C．②③D.①②③（4題圖）4.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明，下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí)，圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡(jiǎn)，得，設(shè)勾股中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽視不計(jì)），則落在紅（朱）色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）（4題圖）（參考數(shù)據(jù)：）A．866 B．500 C．300 D．1345.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、方差分別是（）A．B．C．D．6.用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)當(dāng)在的基礎(chǔ)上加上（）A．B．C．D．7.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的，則推斷框內(nèi)填入的條件可以是（）（7題圖）A．B．C．D．（7題圖）8．某醫(yī)院為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名運(yùn)用血清的人與另外500名未運(yùn)用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得，經(jīng)查臨界值表知.則下列表述中正確的是（）A．若有人未運(yùn)用該血清，那么他一年中有95％的可能性得感冒B．有95％的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”C．這種血清預(yù)防感冒的有效率為95％D．這種血清預(yù)防感冒的有效率為5％9.某校實(shí)行演講競(jìng)賽，9位評(píng)委給選手打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，統(tǒng)計(jì)員在去掉一個(gè)最高分和一（9題圖）個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)覺(jué)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的)無(wú)法看清，若（9題圖）統(tǒng)計(jì)員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字應(yīng)當(dāng)是（）A．5B．4C．3D．210.一張儲(chǔ)蓄卡的密碼是6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0，1，…，9這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，某人在自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘了密碼的最終一位數(shù)字，假如他記得最終一位是偶數(shù)，則他不超過(guò)兩次就按對(duì)的概率為（）（11題圖）A． B．C． D．（11題圖）11．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形態(tài)為平行六面體，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為，且它們彼此的夾角都是，下列說(shuō)法中正確的是（）A．B．C．向量與向量的夾角是D．與所成角的余弦值為12．平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷13.某校高二（1）班共有48人，學(xué)號(hào)依次為1,2,3，，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法等距離抽取一個(gè)容量為6的樣本.已知學(xué)號(hào)為3,11,19,35,43的同學(xué)在樣本中，那么還有一名同學(xué)的學(xué)號(hào)為_(kāi)_________.14.視察下列式子：依據(jù)以上式子可以猜想：__________．15．下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)為_(kāi)__________.①命題“”的否定是“”；②已知，則“”是“或”的充分不必要條件；（16題圖）③命題“”的逆命題為真；（16題圖）④若為真命題，則與至少有一個(gè)為真命題；16．正方體的棱長(zhǎng)為是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上隨意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí),的取值范圍是__________.三、解答題(本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17.（10分）已知；，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）小宋在鐵人中學(xué)新址旁邊開(kāi)了一家文具店，為經(jīng)營(yíng)須要，小宋對(duì)文具店中的某種水筆的單支售價(jià)及相應(yīng)的日銷售量進(jìn)行了調(diào)查，單支售價(jià)元和日銷售量支之間的數(shù)據(jù)如下表所示：（Ⅰ）依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回來(lái)方程；（Ⅱ）請(qǐng)由（Ⅰ）所得的回來(lái)直線方程預(yù)料水筆日銷售量為支時(shí)，單支售價(jià)應(yīng)定為多少元？假如一支水筆的進(jìn)價(jià)為元，為達(dá)到日利潤(rùn)（日銷售量×單支售價(jià)-日銷售量×單支進(jìn)價(jià)）最大，在（Ⅰ）的條件下應(yīng)當(dāng)如何定價(jià)？（參考公式：回來(lái)直線方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，為樣本平均值，）19.（12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合．若曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（）．（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的一般方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值．20.（12分）年年底，某城市的地鐵建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完工，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿足度，分別從不同地鐵站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分(評(píng)分均為整數(shù)，最低分40分，最高分100分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將市民的全部打分分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí)：已知滿足度等級(jí)為“基本滿足”的市民有人．（Ⅰ）求頻率分布于直方圖中的值，并依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)評(píng)分等級(jí)為“不滿足”的人數(shù)；（Ⅱ）在（Ⅰ）所得評(píng)分等級(jí)為“不滿足”的市民中，老年人占，中青年占，現(xiàn)從該等級(jí)市民中按年齡分層抽取人了解不滿足的緣由，并從中選取人擔(dān)當(dāng)整改督導(dǎo)員，求至少有一位老年督導(dǎo)員的概率；（Ⅲ）相關(guān)部門(mén)對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收，驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是：市民對(duì)該項(xiàng)目的滿足指數(shù)不低于，否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改.已知頻率分布直方圖中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，依據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)，推斷該項(xiàng)目能否通過(guò)驗(yàn)收，并說(shuō)明理由.（注：滿足指數(shù)=）21.（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）長(zhǎng)為何值時(shí)，直線與平面所成角最大？并求此時(shí)該角的正弦值．22.（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)分別作直線、交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)兩直線、的斜率分別為，且，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

鐵人中學(xué)2024級(jí)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）參考答案一．選擇題（60分）題號(hào)123456789101112答案ADAADDCBDCBB二．填空題（20分）13.2714._______15.①②16.三．解答題（70分）17.（10分）解：由，得，即,由，即，又因?yàn)榈靡驗(yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件所以（檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，滿足題意）故所求的的取值范圍是.18.（12分）（1）因?yàn)椋运裕貋?lái)直線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，得，假設(shè)日利潤(rùn)為，則：，易知，即依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)元時(shí)，有.所以單支售價(jià)為1元時(shí)，銷售量為18件；為使日利潤(rùn)最大，單支定價(jià)為1.5元.19.（12分）(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，又由2分得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝6x＋2y，即3分由，消去參數(shù)t，得直線l的一般方程為x＋y－3＝0.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直線l的參數(shù)方程可化為()，………7分代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得.10分由韋達(dá)定理，得，則由直線參數(shù)方程t的幾何意義得|QA|·|QB|＝＝9………12分20．（12分）（1）由頻率分布直方圖知，由解得，設(shè)總共調(diào)查了個(gè)人，則基本滿足的為，解得人.不滿足的頻率為，所以共有人，即不滿足的人數(shù)為120人.（2）評(píng)分等級(jí)為“不滿足”的120名市民中按年齡分層抽取人，則中青年抽取4人分別記為，老年人抽取2人分別記為，從6人中選取人擔(dān)當(dāng)整改督導(dǎo)員的全部的抽取方法有共15種，抽不到老年人的狀況為6種，所以至少有一位老年督導(dǎo)員的概率.（3）所選樣本滿足程度的平均得分為：，估計(jì)市民滿足程度的平均得分為，所以市民滿足指數(shù)為，故該項(xiàng)目能通過(guò)驗(yàn)收.21.（12分）（1）∵平面平面，∴，又，，即（為與交點(diǎn)）．又，∴平面，又因?yàn)槠矫妫裕矫嫫矫妫?）如圖，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，則，，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，得平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等