第5講二次函數的實際應用【知識點睛】利潤最大化問題與二次函數模型牢記兩公式：①單位利潤=售價-進價；②總利潤=單件利潤×銷量；謹記兩轉化：①銷量轉化為售價的一次函數；②總利潤轉化為售價的二次函數；函數性質的應用：常利用二次函數的性質求出在自變量取值范圍內的函數最值；利用二次函數解決銷售中最大利潤問題一般步驟設自變量，用含自變量的代數式表示銷售單價或銷售量及銷售收入用含自變量的代數式表示銷售商品成本用含自變量的關系式分別表示銷售利潤，根據銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數表達式根據函數表達式求出最值及取得最值時的自變量的值注意：①與現實生活結合類問題，常需要自己先建立合適的平面直角坐標系，之后再根據信息做題；②二次函數實際應用的問題，如果是分段函數，最后需要寫成一個整體，后邊分別寫上對應的取值范圍【類題訓練】1．如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數，在正常水位時水面寬AB＝30米，當水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米2．如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面3m，水面寬6m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x23．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經過的時間t（單位：s）之間的關系如下表：t01234567……h08141820201814……下列結論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線；③足球被踢出8s時落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是，其中正確的結論是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④4．一個球從地面豎直向上彈起時的速度為8米/秒，經過t秒時球的高度為h米，h和t滿足公式：h＝v0t﹣gt2（v0表示球彈起時的速度，g表示重力系數，取g＝10米/秒2），則球不低于3米的持續時間是（）A．0.4秒 B．0.6秒 C．0.8秒 D．1秒5．五一假期，小明去游樂園游玩，坐上了他向往已久的摩天輪．摩天輪上，小明離地面的高度h（米）和他坐上摩天輪后旋轉的時間t（分鐘）之間的部分函數關系如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．摩天輪旋轉一周需要6分鐘 B．小明出發后的第3分鐘和第9分鐘，離地面的高度相同 C．小明離地面的最大高度為42米 D．小明出發后經過6分鐘，離地面的高度為3米6．物理課上我們學習了物體的豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動的時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①小球在空中經過的路程是40m；②h與t之間的函數關系式為；③小球的運動時間為6s；④小球的高度h＝20m時，t＝1.5s．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離s（m）與時間t（s）的函數關系式為s＝16t﹣4t2，當遇到緊急情況剎車時，由于慣性的作用，汽車要滑行m才能停下．8．某游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，使噴水剛好落在水池邊緣，計劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱距池中心4m處達到最高，高度為6m．以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系如圖，若要在噴水池中心的正上方設計擋板（AB，AC），使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M處，擋板AB所在直線的表達式為，則拋物線l的表達式為，n的值為．9．某超市銷售一種飲料，每瓶進價為9元．經市場調查表明，當售價在10元到14元之間（含10元，14元）浮動時，日均銷售量y（瓶）與每瓶銷售價x（元）之間滿足函數關系式y＝1360﹣80x．當銷售價格定為每瓶元時，所得日均毛利潤最大（每瓶毛利潤＝每瓶售價﹣每瓶進價）．10．某型號無人機著陸后的滑行距離y（米）與滑行時間t（秒）的函數關系式滿足y＝﹣t2+60t，則無人機著陸后滑行的最大距離是米．11．對于豎直向上拋出的物體，在不考慮空氣阻力的情況下，有如下的關系式：，其中h是物體上升的高度，v是拋出時的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是拋出后的時間．如果一物體以25m/s的初速度從地面豎直向上拋出，經過秒鐘后它在離地面20m高的地方．12．如圖1，為世界最大跨度鐵路拱橋——貴州北盤江特大橋．如圖2，已知拱橋曲線呈拋物線，主橋底部跨度OA＝400m，以O為原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，點E為拋物線最高點，立柱AB，CD，EF，GH都與x軸垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O與B，D，O均三點共線．則立柱比═，以及＝．13．某品牌水果凍的高為3cm，底面圓的直徑為4cm，兩個水果凍倒裝在一個長方體盒子內，如圖為橫斷示意圖，水果凍的截面可以近似地看成兩條拋物線．以左側拋物線的頂點O為原點，建立如圖所示的直角坐標系．?（1）以O為頂點的拋物線的函數表達式是；（2）制作該長方體盒子所需紙張面積最小值是cm2（不計重疊部分）14．某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滯銷該店采取了降價措施，在每件盈利不少于24元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若該商品經過兩次降價后，每件可以獲得的利潤是32.4元，求這兩次降價的平均降價率是多少？（2）經調查，按照（1）的降價方式，無法達到商家盈利的預期．若該商店每天預期銷售利潤為1232元，則每件商品應降價多少元？（3）該商店應該在每件盈利40元的基礎上降價多少元才可以獲得最大利潤，最大利潤是多少？15．汽車剎車后，車速慢慢變小至停止，這個速度變化的快慢稱為加速度a（加速度是指在某段時間內速度的變化與這段時間的比值：）．已知汽車剎車后向前滑行的距離y與時間t的函數關系如下：（v表示剎車開始時的速度，a表示加速度）．現有一輛汽車沿平直公路行駛，速度v為20m/s，剎車后加速度a為4m/s2.問：（1）剎車后2秒時，該汽車的速度為多少？（2）從開始剎車至停止，該汽車滑行了多少時間？滑行的距離是多少？16．荔枝是夏季的時令水果，儲存不太方便．某水果店將進價為18元/千克的荔枝，以28元/千克售出時，每天能售出40千克．市場調研表明：當售價每降低1元/千克時，平均每天能多售出10千克．設降價x元．（1）降價后平均每天可以銷售荔枝千克．（用含x的代數式表示）（2）設銷售利潤為y，請寫出y關于x的函數關系式．（3）該水果店想要使荔枝的銷售利潤平均每天達到480元，且盡可能地減少庫存壓力，應將價格定為多少元/千克？17．如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10米時，達到最大高度6米，現將噴灌架置于坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹AB，AB垂直水平地面且A點到水平地面的距離為3米．（1）計算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地．（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．（3）如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點B，那么噴射架應向后平移多少米？18．“道路千萬條，安全第一條”剎車系統是車輛行駛安全重要保障，某學習小組研究了剎車距離的影響因素材料一反應距離：駕駛員從開始意識危險到踩下剎車的這段時間內，機動車所行駛的距離．制動距離：駕駛員從踩下剎車開始到汽車完全停止的這段時間內，機動車所行駛的距離．材料二汽車急剎車的停車距y（m）為反應距離y1（m）與制動距離y2（m）之和，即y＝y1+y2，而反應距離、制動距離均與汽車行駛的速度x（m/s）有關，如圖是學習小組利用電腦軟件模擬出的相關實驗數據．速度x（m/s）反應距離y1（m）制動距離y2（m）107.581510.516.22015322517.5523022.978.13527.1108.54029.2123…材料三經學習小組信息收集得知，汽車的急剎車距離還與汽車本身剎車系數k有關，且滿足y＝y1+k?y2，其中y、y1、y2意義同材料二，并且不同類型汽車的剎車系數k滿足0.8≤k≤1.5．[任務一]①利用材料二判斷最適合描述y1、y2分別與x的函數關系的是；A．y1＝ax、y2＝bxB．y1＝ax、y2＝bx2C．y1＝ax2、y2＝bx2②請你利用當x＝10m/s，x＝20m/s時的兩組數據，計算y1、y2分別與x的函數關系式．[任務二]在某條限速為60km/h的道路上，一輛轎車為避險采取急剎車，通過交警判斷該車此次急剎車過程的制動距離為34m，請你利用任務一中的函數關系式，判斷該車是否超速？[任務三]某條新建道路要求所有類型的汽車在急剎車時的停車距離至少15m，試問汽車在該條道路的行駛速度應該限速多少m/s？（精確到1m/s）19．根據我市體育中考排球墊球考試要求，女生受試者需在3米×3米的正方形區域內原地將球墊起，球在運動中的最高點離地面至少為2米．某女生在測試區域中心離地面1米的P處第一次將球墊偏，之后又先后在A，B兩處將球救起，球沿拋物線C1→C2→C3運動（假設拋物線在C1，C2，C3在同一平面內），最終球正好回到P處墊起．如圖所示，已知點A，B均位于邊界正上方，且離地面高度分別為米、米，現以圖示地面所在直線為x軸且P的坐標為（0，1）建立平面直角坐標系．（1）請直接寫出A，B的坐標．（2）排球第一次被墊起后，在區域內側離邊界水平距離0.5米處達到最高，則該女生此次墊球是否達標？請說明理由．（3）第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度恰好達標，求拋物線C3的解析式．20．小王計劃建造一個150平方米的矩形大棚種植各類水果，整個過程中有以下幾個需要解決的重要問題（1）【種植計劃】小王在調查某類水果時發現：當每平方米種植4株時，平均產量為2kg；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減小0.25kg．那么，每平方米計劃種植多少株時，能獲得最大的產量？大棚最大產量是多少？請自行設函數變量，解決問題．（2）【場地規劃】小王挑選了房屋側面的空地作為大棚場地．用來側面加固的材料一共可以圍40米，為了節約材料，小王打算讓大棚其中一面靠房屋外墻，如圖1所示．已知外墻長為12米，如果節約材料，則與墻垂直一面的長度為多少？（3）【頂棚設計】在確定矩形場地規劃的情況下，如圖2是大棚頂部建好后的側面圖，相關數據如圖，頂棚曲線滿足拋物線形狀，小王需要給內部兩側距離中心線2米的點A，點B處安裝日照燈，試建立合適的坐標系，計算日照燈的安裝高度．?21．根據以下素材，探索完成任務．運用二次函數研究電纜架設問題素材1電纜在空中架設時．兩端掛起的電纜下垂都可以近似的看成拋物線的形狀．如圖，在一個斜坡BD上按水平距離間隔90米架設兩個塔柱．每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為20米（AB＝CD＝20米），按如圖建立坐標系（x軸在水平方向上）．點A、O、E在同一水平線上，經測量，AO＝60米，斜坡BD的坡比為1：10．素材2若電纜下垂的安全高度是13.5米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值不小于13.5米時，符合安全要求，否則存在安全隱患．（說明：直線GH⊥x軸分別交直線BD和拋物線于點H、G．點G距離坡面的鉛直高度為GH的長）任務1確定電纜形狀求點D的坐標及下垂電纜的拋物線表達式．任務2判斷電纜安全上述這種電纜的架設是否符合安全要求？請說明理由．任務3探究安裝方法工程隊想在坡比為1：8的斜坡上架設電纜，兩個塔柱的高度仍為20米，電纜拋物線的形狀與任務1相同，若電纜下垂恰好符合安全高度要求，則兩個塔柱的水平距離應為多少米？22．如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為（﹣，﹣10）．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線．在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標為（1，），正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規定的翻騰、打開動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線．（1）求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式并求出入水處B點的坐標；（2）若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由；（3）在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且EM＝，EN＝，該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，且頂點C距水面4米，若該運動員出水點D在MN之間（包括M，N兩點），請直接寫出a的取值范圍．23．根據以下素材，探索完成任務．如何設計拱橋上救生圈的懸掛方案？素材1圖1是一座拋物線形拱橋，以拋物線兩個水平最低點連線為x軸，過拋物線離地面的最高點的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖2所示．某時測得水面寬20m，拱頂離水面最大距離為10m，拋物線拱形最高點與x軸的距離為5m．據調查，該河段水位在此基礎上再漲1m達到最高．素材2為方便救助溺水者，擬在圖1的橋拱上方欄桿處懸掛救生圈，如圖3，為了方便懸掛，救生圈懸掛點距離拋物線拱面上方1m，且相鄰兩救生圈懸掛點的水平間距為4m．為美觀，放置后救生圈關于y軸成軸對稱分布．（懸掛救生圈的柱子大小忽略不計）問題解決任務1確定橋拱形狀根據圖2，求拋物線的函數表達式．任務2擬定設計方案求符合懸掛條件的救生圈個數，并求出最右側一個救生圈懸掛點的坐標．任務3探究救生繩長度當水位達到最高時，上游一個落水者順流而下到達拋物線拱形橋面的瞬間，若要確保救助者把拱橋上任何一處懸掛點的救生圈拋出都能拋到落水者身邊，求救生繩至少需要多長．（救生圈大小忽略不計，結果保留整數．）24．鷹眼系統能夠追蹤、記錄和預測球的軌跡．如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點O，守門員位于點A，OA的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離＝水平速度×時間）與離地高度h的鷹眼數據如表：s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…（1）根據表中數據預測足球落地時，s＝m；（2）求h關于s的函數解析式；（3）守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對足球后退過程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對足球向球門前進過程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對足球后退，能否成功防守？試計算加以說明；②若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．25．如圖1所示的某種發石車是古代一種遠程攻擊的武器．將發石車置于山坡底部O處，以點O為原點，水平方向為x軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將發射出去的石塊當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC＝2米，BC與x軸平行，點B與點O的水平距離為28米、垂直距離為6米．（1）若發射石塊在空中飛行的最大高度為10米，①求拋物線的解析式；②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；（2）若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點B、C），求a的取值范圍．

第5講二次函數的實際應用【知識點睛】利潤最大化問題與二次函數模型牢記兩公式：①單位利潤=售價-進價；②總利潤=單件利潤×銷量；謹記兩轉化：①銷量轉化為售價的一次函數；②總利潤轉化為售價的二次函數；函數性質的應用：常利用二次函數的性質求出在自變量取值范圍內的函數最值；利用二次函數解決銷售中最大利潤問題一般步驟設自變量，用含自變量的代數式表示銷售單價或銷售量及銷售收入用含自變量的代數式表示銷售商品成本用含自變量的關系式分別表示銷售利潤，根據銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數表達式根據函數表達式求出最值及取得最值時的自變量的值注意：①與現實生活結合類問題，常需要自己先建立合適的平面直角坐標系，之后再根據信息做題；②二次函數實際應用的問題，如果是分段函數，最后需要寫成一個整體，后邊分別寫上對應的取值范圍【類題訓練】1．如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數，在正常水位時水面寬AB＝30米，當水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【分析】根據正常水位時水面寬AB＝30米，求出當x＝15時y＝﹣9，再根據水位上升5米時y＝﹣4，代入解析式求出x即可．【解答】解：∵AB＝30米，∴當x＝15時，y＝﹣×152＝﹣9，當水位上升5米時，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此時水面寬CD＝20米，故選：A．2．如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面3m，水面寬6m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【分析】設出拋物線方程y＝ax2（a≠0）代入坐標求得a．【解答】解：設出拋物線方程y＝ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經過（﹣3，﹣3）點，故﹣3＝9a，a＝﹣，故y＝﹣x2，故選：A．3．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經過的時間t（單位：s）之間的關系如下表：t01234567……h08141820201814……下列結論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線；③足球被踢出8s時落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是，其中正確的結論是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【分析】由題意，拋物線經過（0，0），（9，0），所以可以假設拋物線的解析式為h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判斷．【解答】解：由題意，拋物線的解析式為h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距離地面的最大高度為20.25m，故①錯誤，∴拋物線的對稱軸為直線t＝4.5，故②正確，∵t＝9時，h＝0，∴足球被踢出9s時落地，故③錯誤，∵t＝1.5時，h＝11.25，故④正確．∴正確的有②④，故選：D．4．一個球從地面豎直向上彈起時的速度為8米/秒，經過t秒時球的高度為h米，h和t滿足公式：h＝v0t﹣gt2（v0表示球彈起時的速度，g表示重力系數，取g＝10米/秒2），則球不低于3米的持續時間是（）A．0.4秒 B．0.6秒 C．0.8秒 D．1秒【分析】將v0＝8，g＝10，h＝3代入h＝v0t﹣gt2求解．【解答】解：∵v0＝8，g＝10，∴h＝8t﹣5t2，將h＝3代入h＝8t﹣5t2得3＝8t﹣5t2，解得t1＝，t2＝1，∴球不低于3米的持續時間是1﹣＝＝0.4（秒），故選：A．5．五一假期，小明去游樂園游玩，坐上了他向往已久的摩天輪．摩天輪上，小明離地面的高度h（米）和他坐上摩天輪后旋轉的時間t（分鐘）之間的部分函數關系如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．摩天輪旋轉一周需要6分鐘 B．小明出發后的第3分鐘和第9分鐘，離地面的高度相同 C．小明離地面的最大高度為42米 D．小明出發后經過6分鐘，離地面的高度為3米【分析】（1）由圖象可知，用兩個最高點對應的時間作差即可．（2）根據圖象看出第3分鐘與第9分鐘小明離地面的高度均為45米．（3）觀察圖得出，拋物線的頂點對應的高度為45米，與42米不符．（4）從圖上看出，小明出發后經過6分鐘恰好到達最低點，最低點為3米，即可當得到結論．【解答】解：由圖可知小明第一次到達最高點時間節點為3分鐘，第二次到達最高點時間節點為9分鐘.9﹣3＝6．∴A選項正確．由圖可知，第3分鐘與第9分鐘小明離地面的高度均為45米，高度相同．∴B選項正確．拋物線的頂點對應的高度為45米．∴C選項錯誤，符合題意．摩天輪旋轉一周需要6分鐘，摩天輪的最低點為3米，旋轉一圈回到最低點．∴D選項正確．故選：C．6．物理課上我們學習了物體的豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動的時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①小球在空中經過的路程是40m；②h與t之間的函數關系式為；③小球的運動時間為6s；④小球的高度h＝20m時，t＝1.5s．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據二次函數圖象和性質求解．【解答】解：由圖象知小球在空中經過的路程是40×2＝80m．故①是錯誤的；設函數解析式為：h＝a（t﹣3）2+40，由題意得：a（0﹣3）2+40＝0，解得：a＝﹣，∴h＝﹣（t﹣3）2+40．故②是錯誤的；當t＝6時，高度為0，則運動時間是6s，或由圖象可知，小球6s時落地，故小球運動的時間為6s，故③是正確的；當h＝20時，﹣（t﹣3）2+40＝20，解得h＝或．故④是錯誤的；故選：A．7．公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離s（m）與時間t（s）的函數關系式為s＝16t﹣4t2，當遇到緊急情況剎車時，由于慣性的作用，汽車要滑行16m才能停下．【分析】由題意得，此題實際是求從開始剎車到停止所走的路程，即s的最大值．把拋物線解析式化成頂點式后，即可解答．【解答】解：s＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，∵﹣4＜0，∴當t＝2時，s最大，∴當t＝2時，汽車停下來，滑行了16m．故答案為：16．8．某游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，使噴水剛好落在水池邊緣，計劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱距池中心4m處達到最高，高度為6m．以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系如圖，若要在噴水池中心的正上方設計擋板（AB，AC），使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M處，擋板AB所在直線的表達式為，則拋物線l的表達式為y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10），n的值為．【分析】由題意可寫出當x＞0時，拋物線的頂點式解析式，用待定系數法求得其解析式，令x＝0，求得y值，則可得這個裝飾物的高度；根據直線AB與拋物線相切，得到判別式Δ＝0，解方程求出n．【解答】解：由題意可得，當x＞0時，拋物線的解析式為y＝a（x﹣4）2+6（0≤x≤10），把（10，0）代入得：0＝a（10﹣4）2+6，解得：a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；根據題意知，直線AB與拋物線相切，∴x+n＝﹣（x﹣4）2+6，整理得：x2﹣5x﹣20+6n＝0，∴Δ＝52﹣4×（﹣20+6n）＝0，解得：n＝，故答案為：y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；．9．某超市銷售一種飲料，每瓶進價為9元．經市場調查表明，當售價在10元到14元之間（含10元，14元）浮動時，日均銷售量y（瓶）與每瓶銷售價x（元）之間滿足函數關系式y＝1360﹣80x．當銷售價格定為每瓶13元時，所得日均毛利潤最大（每瓶毛利潤＝每瓶售價﹣每瓶進價）．【分析】設日均毛利潤為w元，根據每日的毛利潤＝每瓶的毛利潤×銷售量列出函數解析式，根據函數的性質求最值．【解答】解：設日均毛利潤為w元，根據題意得：w＝（x﹣9）y＝（x﹣9）（1360﹣80x）＝﹣80x2+2080x﹣12240＝﹣80（x﹣13）2+1280，∵﹣80＜0，10≤x≤14，∴當x＝13時，w有最大值，最大值為1280，∴當銷售價格定為每瓶13元時，所得日均毛利潤最大，故答案為：13．10．某型號無人機著陸后的滑行距離y（米）與滑行時間t（秒）的函數關系式滿足y＝﹣t2+60t，則無人機著陸后滑行的最大距離是1200米．【分析】將函數解析式配方成頂點式求出y的最大值即可得．【解答】解：∵y＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣40）2+1200，∴當t＝40時，y有最大值，最大值為1200，∴無人機著陸后滑行1200m才能停下來，故答案為：1200．11．對于豎直向上拋出的物體，在不考慮空氣阻力的情況下，有如下的關系式：，其中h是物體上升的高度，v是拋出時的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是拋出后的時間．如果一物體以25m/s的初速度從地面豎直向上拋出，經過1或4秒鐘后它在離地面20m高的地方．【分析】把v＝25，g＝10，h＝20代入所給關系式求t的值即可．【解答】解：由題意得：20＝25t﹣×10t2．t2﹣5t+4＝0，解得t1＝1，t2＝4．∴1秒或4秒后，物體處在離拋出點20m高的地方．故答案為：1或4．12．如圖1，為世界最大跨度鐵路拱橋——貴州北盤江特大橋．如圖2，已知拱橋曲線呈拋物線，主橋底部跨度OA＝400m，以O為原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，點E為拋物線最高點，立柱AB，CD，EF，GH都與x軸垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O與B，D，O均三點共線．則立柱比═，以及＝．【分析】根據已知條件拋物線過原點及A（400，0）利用交點式寫出拋物線的解析式y＝ax（x﹣400），易得頂點E（200，﹣40000a），由于BN∥x軸且H、F、C、B皆在BN上，故他們縱坐標相同；根據BC＝120m，HF＝40m，且FE為對稱軸，AB⊥x軸，得B橫坐標為400，進而推出H、F、C點橫坐標分別為160、200、280，因為HG∥EF∥DC∥AB∥y且GD在拋物線上，可得G（160，﹣38400a）、D（280，﹣33600a），再根據直線OG過原點，求得OG解析式為y＝﹣240ax，由于F在OG上，可求得F縱坐標﹣48000a，則H、C、B縱坐標均為﹣48000a，表示出HG、EF、CD、AB的長度，進而求比值即可．【解答】解：根據題意，可知二次函數圖象過A（400，0）．O（0，0），故設拋物線為y＝ax（x﹣400）（a＜0），∵E為拋物線頂點；∴E（200，﹣40000a），∵AB⊥x軸，∴B點橫坐標為400，∵BN∥x軸，∴H、F、C、B縱坐標相同，設為n，∵FE∥HG∥CD∥AB∥y軸，BC＝120m，HF＝40m，∴H（160，n）、F（200，n）、C（280，n）；∵HG∥y軸，故H、G橫坐標相同，∴G在拋物線上，∴G（160，﹣38400a），同理可得D（280，﹣33600a），設直線OG：y＝kx，則﹣38400a＝k×160，解得：k＝﹣240ayOG＝﹣240ax，∵F，G，O三點共線，且F橫坐標為200，∴yF＝﹣48000a，即n＝﹣48000a，∴H（160，﹣48000a）、C（280，﹣48000a）、B（400，﹣48000a），∴HG＝﹣48000a﹣（﹣38400a）＝﹣9600a，CD＝﹣4800a﹣（﹣33600a）＝﹣14400a，AB＝﹣48000a；∵E（200，﹣40000a），F（200，﹣48000a），∴EF＝﹣48000a﹣（﹣40000a）＝﹣8000a，∴，．13．某品牌水果凍的高為3cm，底面圓的直徑為4cm，兩個水果凍倒裝在一個長方體盒子內，如圖為橫斷示意圖，水果凍的截面可以近似地看成兩條拋物線．以左側拋物線的頂點O為原點，建立如圖所示的直角坐標系．?（1）以O為頂點的拋物線的函數表達式是y＝x2；（2）制作該長方體盒子所需紙張面積最小值是（80+28）cm2（不計重疊部分）【分析】（1）根據題意，用待定系數法求函數解析式；（2）果凍禮盒是一長方體，分別計算底面矩形A′B′C′D′，側面矩形ABCD以及另外兩個側面矩形的面積即可．【解答】解：（1）根據題意知，A（﹣2，3），E（2，3），設以O為頂點的拋物線的函數表達式是y＝ax2，把A（﹣2，3）代入解析式得：4a＝3，解得a＝，∴以O為頂點的拋物線的函數表達式是y＝x2，故答案為：y＝x2；（2）設兩條拋物線的切點為K，過切點K作KH⊥OD于點H，過拋物線FGC的頂點G作x軸的垂線交x軸于M，如圖所示：依題意知K（x，），當＝x2，解得x＝或x＝﹣（舍去），∴OH＝HM＝，∴BC＝BO+OH+HM+MC＝2+2+2＝4+2，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝3×（4+2）＝（12+6）cm2；底面矩形如圖所示：∴S矩形A′B′C′D′＝AB?BC＝4×（4+2）＝（16+8）cm2；所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2×3×4＝（28+80）cm2．∴一個包裝盒至少需要紙張（80+28）cm2．故答案為：（80+28）．14．某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滯銷該店采取了降價措施，在每件盈利不少于24元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若該商品經過兩次降價后，每件可以獲得的利潤是32.4元，求這兩次降價的平均降價率是多少？（2）經調查，按照（1）的降價方式，無法達到商家盈利的預期．若該商店每天預期銷售利潤為1232元，則每件商品應降價多少元？（3）該商店應該在每件盈利40元的基礎上降價多少元才可以獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）設這兩次降價的平均降價率是a，根據題意可得：40（1﹣a）2＝32.4，求解即可；（2）設每件商品降價x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根據題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1232，求解后再根據每件盈利不少于24元確定結果；（3）設每件商品降價m元，商店可獲得利潤為w元，根據題意得：w＝（40﹣m）（20+2m）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250，根據二次函數的性質可得結果．【解答】解：（1）設這兩次降價的平均降價率是a，根據題意可得：40（1﹣a）2＝32.4，解得：a1＝0.1，a2＝1.9（舍去），答：這兩次降價的平均降價率是10%；（2）設每件商品降價x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根據題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1232，x1＝12，x2＝18，∵40﹣18＝22＜24，∴x＝12，答：若該商店每天銷售利潤為1232元，每件商品可降價12元；（3）設每件商品降價m元，商店可獲得利潤為w元，根據題意得：w＝（40﹣m）（20+2m）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250，∵﹣2＜0，∴當m＝15時，w有最大值，∴當每件商品降價15元時，商店可獲得最大利潤，最大利潤為1250元．15．汽車剎車后，車速慢慢變小至停止，這個速度變化的快慢稱為加速度a（加速度是指在某段時間內速度的變化與這段時間的比值：）．已知汽車剎車后向前滑行的距離y與時間t的函數關系如下：（v表示剎車開始時的速度，a表示加速度）．現有一輛汽車沿平直公路行駛，速度v為20m/s，剎車后加速度a為4m/s2.問：（1）剎車后2秒時，該汽車的速度為多少？（2）從開始剎車至停止，該汽車滑行了多少時間？滑行的距離是多少？【分析】（1）根據得出v2＝v1﹣at，把數據代入即可解答；（2）汽車剎車后前行到最大距離時停下來，根據y＝vt﹣at2，由函數性質求函數最值．【解答】解：（1）∵，∴v2＝v1﹣at＝20﹣4×2＝12，答：剎車后2秒時，該汽車的速度為12m/s；（2）∵y＝vt﹣at2＝20t﹣×4t2＝﹣2t2+20t＝﹣2（t﹣5）2+50，∵﹣2＜0，當t＝5時，y有最大值，最大值為50，答：從開始剎車至停止，該汽車滑行了5s，滑行的距離是50m．16．荔枝是夏季的時令水果，儲存不太方便．某水果店將進價為18元/千克的荔枝，以28元/千克售出時，每天能售出40千克．市場調研表明：當售價每降低1元/千克時，平均每天能多售出10千克．設降價x元．（1）降價后平均每天可以銷售荔枝（40+10x）千克．（用含x的代數式表示）（2）設銷售利潤為y，請寫出y關于x的函數關系式．（3）該水果店想要使荔枝的銷售利潤平均每天達到480元，且盡可能地減少庫存壓力，應將價格定為多少元/千克？【分析】（1）根據“當售價每降低1元/千克時，平均每天能多售出10千克”可直接得出結論；（2）利用利潤＝（售價﹣成本）×銷售量可得出結論；（3）令y＝480，求出x的值，再根據題意對x的值進行取舍即可．【解答】解：（1）根據題意可知降后平均每天可以銷售荔枝：（40+10x）千克，故答案為：（40+10x）．（2）根據題意可知，y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），整理得y＝﹣10x2+60x+400．（3）令y＝480，代入函數得﹣10x2+60x+400＝480，解方程，得x1＝4，x2＝2，∵要盡可能地清空庫存，∴x＝4，此時荔枝定價為28﹣4＝24（元/千克）．答：應將價格定為24元/千克．17．如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10米時，達到最大高度6米，現將噴灌架置于坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹AB，AB垂直水平地面且A點到水平地面的距離為3米．（1）計算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地．（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．（3）如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點B，那么噴射架應向后平移多少米？【分析】（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣10）2+6，用待定系數法求得解析式；（2）先求出直線OA的解析式，再根據兩個縱坐標的差求出最大值即可；（3）設噴射架向后平移了m米，則平移后的拋物線可表示為，將點B的坐標代入可得答案．【解答】解：（1）由題可知：拋物線的頂點為（10，6），設水流形成的拋物線為y＝a（x﹣10）2+6，將點（0，1）代入可得a＝，∴拋物線為，當x＝15時，y＝﹣×25+6＝4.75＞4.2，答：能澆灌到小樹后面的草坪；（2）由題可知A點坐標為（15，3），則直線OA為，∴，答：y1﹣y2的最大值為；（3）設噴射架向后平移了m米，則平移后的拋物線可表示為，將點B（15，4.2）代入得：m＝1或m＝﹣11（舍去），答：噴射架應向后移動1米．18．“道路千萬條，安全第一條”剎車系統是車輛行駛安全重要保障，某學習小組研究了剎車距離的影響因素材料一反應距離：駕駛員從開始意識危險到踩下剎車的這段時間內，機動車所行駛的距離．制動距離：駕駛員從踩下剎車開始到汽車完全停止的這段時間內，機動車所行駛的距離．材料二汽車急剎車的停車距y（m）為反應距離y1（m）與制動距離y2（m）之和，即y＝y1+y2，而反應距離、制動距離均與汽車行駛的速度x（m/s）有關，如圖是學習小組利用電腦軟件模擬出的相關實驗數據．速度x（m/s）反應距離y1（m）制動距離y2（m）107.581510.516.22015322517.5523022.978.13527.1108.54029.2123…材料三經學習小組信息收集得知，汽車的急剎車距離還與汽車本身剎車系數k有關，且滿足y＝y1+k?y2，其中y、y1、y2意義同材料二，并且不同類型汽車的剎車系數k滿足0.8≤k≤1.5．[任務一]①利用材料二判斷最適合描述y1、y2分別與x的函數關系的是B；A．y1＝ax、y2＝bxB．y1＝ax、y2＝bx2C．y1＝ax2、y2＝bx2②請你利用當x＝10m/s，x＝20m/s時的兩組數據，計算y1、y2分別與x的函數關系式．[任務二]在某條限速為60km/h的道路上，一輛轎車為避險采取急剎車，通過交警判斷該車此次急剎車過程的制動距離為34m，請你利用任務一中的函數關系式，判斷該車是否超速？[任務三]某條新建道路要求所有類型的汽車在急剎車時的停車距離至少15m，試問汽車在該條道路的行駛速度應該限速多少m/s？（精確到1m/s）【分析】（1）①根據材料二分析可選B；②y1＝ax，將x1＝10，y1＝8代入可求y1，y2＝bx2，將x1＝10，y2＝8代入可求y2；（2）60km/h＝m/s，代入y2與34作比即可；（3）如果想所有類型的車停車距離均小于15m，則制動距離應取相同速度下的最高值，故剎車系數取k＝1.5，列式得0.75x+1.5×0.08x2＝15，計算即可．【解答】解：（1）①根據材料二發現，隨著速度的增大，y1有減少趨勢，y2越來越大，且非線性變化，B選項合適；②設y1＝ax，將x1＝10，y1＝7.5代入得：7.5＝10a，解得：a＝0.75，∴y1＝0.75x，設y2＝bx2，將x1＝10，y2＝8代入得8＝100b，解得：b＝0.08，故y2＝0.08x2；（2）超速，理由：60km/h＝m/s，當x＝時，y2＝0.08×（）2≈22.2（m）＜34m，∴超速；（3）要求所有類型汽車急剎車停車距離至少15m，取最大剎車系數為k＝1.5，∴y＝y1+y2≤15，列式得0.75x+1.5×0.08x2＝15，解得x＝8，故應限速8m/s．19．根據我市體育中考排球墊球考試要求，女生受試者需在3米×3米的正方形區域內原地將球墊起，球在運動中的最高點離地面至少為2米．某女生在測試區域中心離地面1米的P處第一次將球墊偏，之后又先后在A，B兩處將球救起，球沿拋物線C1→C2→C3運動（假設拋物線在C1，C2，C3在同一平面內），最終球正好回到P處墊起．如圖所示，已知點A，B均位于邊界正上方，且離地面高度分別為米、米，現以圖示地面所在直線為x軸且P的坐標為（0，1）建立平面直角坐標系．（1）請直接寫出A，B的坐標．（2）排球第一次被墊起后，在區域內側離邊界水平距離0.5米處達到最高，則該女生此次墊球是否達標？請說明理由．（3）第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度恰好達標，求拋物線C3的解析式．【分析】（1）先建立平面直角坐標系，再根據題意寫出A，B坐標；（2）先用待定系數法求出函數解析式，再把x＝1代入解析式求出y的值與2比較即可；（3）用待定系數法求函數解析式即可．【解答】解：（1）地面所在直線為x軸且P的坐標為（0，1）建立平面直角坐標系，根據題意知，A（，），B（﹣，）；（2）設C1的解析式為y＝ax2+bx+c，∵排球第一次被墊起后，在區域內側離邊界水平距離0.5米處達到最高，∴拋物線C1的對稱軸為直線x＝1，∵P，A在拋物線上，∴，解得，∴拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+x+1，當x＝1時，y＝﹣×1+1+1＝＜2，∴該女生此次墊球不達標；（3）設拋物線C3的解析式為y＝mx2+nx+e，則，解得（舍去）或，∴拋物線C3的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1．20．小王計劃建造一個150平方米的矩形大棚種植各類水果，整個過程中有以下幾個需要解決的重要問題（1）【種植計劃】小王在調查某類水果時發現：當每平方米種植4株時，平均產量為2kg；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減小0.25kg．那么，每平方米計劃種植多少株時，能獲得最大的產量？大棚最大產量是多少？請自行設函數變量，解決問題．（2）【場地規劃】小王挑選了房屋側面的空地作為大棚場地．用來側面加固的材料一共可以圍40米，為了節約材料，小王打算讓大棚其中一面靠房屋外墻，如圖1所示．已知外墻長為12米，如果節約材料，則與墻垂直一面的長度為多少？（3）【頂棚設計】在確定矩形場地規劃的情況下，如圖2是大棚頂部建好后的側面圖，相關數據如圖，頂棚曲線滿足拋物線形狀，小王需要給內部兩側距離中心線2米的點A，點B處安裝日照燈，試建立合適的坐標系，計算日照燈的安裝高度．?【分析】（1）設每平方米種植增加a株，則產量每株減少0.25akg，據此列方程解答即可；（2）根據矩形的面積即可求出垂直墻面一邊的長度；據此列式解答；（3）設二次函數的解析式為y＝ax2+k，先根據圖2得數據求出解析式，再將x＝2代入即可求得答案．【解答】解：（1）設每平方米種植增加x株，則產量每株減少0.25xkg；產量為wkg，則w＝（4+a）（2﹣0.25a）＝﹣（a﹣2）2+9，∴當a＝2時，即每平方米種植4+2＝6（株），產量w最大，最大值為9kg；∴大棚最大產量為：150×9＝1350（kg），答：平方米計劃種植6株時，能獲得最大的產量；大棚最大產量是1350kg；（2）設與墻垂直一面的長度為多少m米，根據題意得12×m＝150平方米，解方程得m＝12.5米，∵12.5×2+12＝37＜40∴與墻垂直一面的長度為12.5米；（3）直角坐標系建立如下圖所示，設二次函數的圖象解析式為：y＝ax2+k，由題意可得，拋物線過點（0，4），∵外墻長為12米，∴拋物線過點（6，1.8），解得：，∴，當x＝2米時，y＝﹣×4+4≈3.76（株），答：燈安裝的高度約為3.76米．21．根據以下素材，探索完成任務．運用二次函數研究電纜架設問題素材1電纜在空中架設時．兩端掛起的電纜下垂都可以近似的看成拋物線的形狀．如圖，在一個斜坡BD上按水平距離間隔90米架設兩個塔柱．每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為20米（AB＝CD＝20米），按如圖建立坐標系（x軸在水平方向上）．點A、O、E在同一水平線上，經測量，AO＝60米，斜坡BD的坡比為1：10．素材2若電纜下垂的安全高度是13.5米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值不小于13.5米時，符合安全要求，否則存在安全隱患．（說明：直線GH⊥x軸分別交直線BD和拋物線于點H、G．點G距離坡面的鉛直高度為GH的長）任務1確定電纜形狀求點D的坐標及下垂電纜的拋物線表達式．任務2判斷電纜安全上述這種電纜的架設是否符合安全要求？請說明理由．任務3探究安裝方法工程隊想在坡比為1：8的斜坡上架設電纜，兩個塔柱的高度仍為20米，電纜拋物線的形狀與任務1相同，若電纜下垂恰好符合安全高度要求，則兩個塔柱的水平距離應為多少米？【分析】任務1：過點B作BF⊥CD交CD的延長線于點F，交y軸于M，利用矩形的性質和解直角三角形可得OE＝30米，DE＝11米，進而可得點D的坐標，設下垂電纜的拋物線表達式為y＝ax（x+60），代入C（30，9）即可求解；任務2：由（1）可知：y＝x2+x，B（﹣60，﹣20），D（30，﹣11），利用待定系數法求得斜坡BD解析式為y＝x﹣14，可得電纜與坡面的鉛直高度h＝（x+15）2+，易知當x＝﹣15時，h有最小值h最小＝＝13.25＜13.5，即可求解；任務3：以B為坐標原點，BA方向為y軸正方向建立直角坐標系，則A（0，20），過點D作DT⊥x軸，可得電纜拋物線為y′＝x2+bx+20，設D（s，t），則DT＝t，BT＝s，由斜坡BD坡比為1：8，可知點B，D的坐標，進而可得BD的解析式，可得電纜與坡面的鉛直高度h′，由電纜下垂恰好符合安全高度要求可求得b，將點C的坐標代入y′中，求得s即可求解．【解答】解：任務1：過點B作BF⊥CD交CD的延長線于點F，交y軸于M，則四邊形ABFE，四邊形ABMO，四邊形OMFE都是矩形，∴AB＝EF＝20米，AO＝BM＝60米，BF＝AE＝90米，則OE＝MF＝BF﹣BM＝30米，∵斜坡BD的坡比為1：10，∴DF：BF＝1：10，則DF＝9米，DE＝EF﹣DE＝11米，∴點D的坐標為（30，﹣11）；∵AB＝CD＝20米，∴CE＝CD﹣DE＝9米，∴A（﹣60，0），O（0，0），C（30，9），設下垂電纜的拋物線表達式為y＝ax（x+60），將C（30，9）代入y＝ax（x+60），可得：30×（30+60）a＝9，解得：a＝，∴y＝x（x+60）＝x2+x；任務2：這種電纜的架設不符合安全要求，理由如下：由（1）可知：y＝x2+x，B（﹣60，﹣20），D（30，﹣11），設斜坡BD解析式為y＝kx+b′，代入B（﹣60，﹣20），D（30，﹣11），可得：，解得：，∴斜坡BD解析式為y＝x﹣14，則電纜與坡面的鉛直高度h＝x2+x﹣（x﹣14）＝x2+x+14＝（x+15）2+，∵＞0，∴當x＝﹣15時，h有最小值h最小＝＝13.25＜13.5，∴這種電纜的架設不符合安全要求；任務3：如圖，以B為坐標原點，BA方向為y軸正方向建立直角坐標系，則A（0，20），過點D作DT⊥x軸，∵電纜拋物線的形狀與任務1相同，∴電纜拋物線為y′＝x2+bx+20，設D（s，t），則DT＝t，BT＝s，∵斜坡BD坡比為1：8，∴t：s＝1：8，則：D（s，s），C（s，s+20），則斜坡BD的解析式為：y＝x，則電纜與坡面的鉛直高度h′＝x2+bx+20﹣x＝x2+（b﹣）x++20，∵電纜下垂恰好符合安全高度要求，∴h′最小＝13.5，即：＝13.5，解得：b＝﹣+（b＝+舍去），y′＝x2+（﹣+）x+20，∴將C（s，s+20）代入y′＝x2+（﹣+）x+20中，可得：s2+（﹣+）s+20＝s+20，解得s＝10（s＝0舍去），即：BT＝10，∴兩個塔柱的水平距離應為10米．22．如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為（﹣，﹣10）．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線．在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標為（1，），正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規定的翻騰、打開動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線．（1）求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式并求出入水處B點的坐標；（2）若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由；（3）在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且EM＝，EN＝，該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，且頂點C距水面4米，若該運動員出水點D在MN之間（包括M，N兩點），請直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）根據題意，利用待定系數法求出拋物線解析式，令y＝﹣10得出點B的坐標為（4，﹣10）；（2）當距點E水平距離為5時，對應的橫坐標為5﹣＝，將．x＝代入解析式得y＝﹣，根據﹣﹣（﹣10）＝＜5，確定該運動員此次跳水失誤了；（3）根據題意得到點E（﹣，﹣10），M（9，﹣10），N（12，﹣10），當拋物線過點M時，y＝a（x﹣）2﹣14，分情況求出α值，進而根據點D在MN之間得出≤a≤．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a0（x﹣1）2+，把（0，0）代入解析式得：a0＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+；令y＝﹣10，則﹣10＝﹣（x﹣1）2+，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝4，∴入水處B點的坐標為（4，﹣10）；（2）當距點E水平距離為5時，對應的橫坐標為5﹣＝，將．x＝代入解析式得y＝﹣×（﹣1）2+＝﹣，∵﹣﹣（﹣10）＝＜5，∴該運動員此次跳水失誤了；（3）∵EM＝，EN＝，點E的坐標為（﹣，﹣10），∴點M，N的坐標分別為（9，﹣10），（12，﹣10），∵該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，∴當拋物線過點M時，y＝a（x﹣）2﹣14，把M（9，﹣10）代入，得a＝，同理，當拋物線過點N（12，﹣10）時，a＝，由點D在MN之間得a的取值范圍為≤a≤．23．根據以下素材，探索完成任務．如何設計拱橋上救生圈的懸掛方案？素材1圖1是一座拋物線形拱橋，以拋物線兩個水平最低點連線為x軸，過拋物線離地面的最高點的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖2所示．某時測得水面寬20m，拱頂離水面最大距離為10m，拋物線拱形最高點與x軸的距離為5m．據調查，該河段水位在此基礎上再漲1m達到最高．素材2為方便救助溺水者，擬在圖1的橋拱上方欄桿處懸掛救生圈，如圖3，為了方便懸掛，救生圈懸掛點距離拋物線拱面上方1m，且相鄰兩救生圈懸掛點的水平間距為4m．為美觀，放置后救生圈關于y軸成軸對稱分布．（懸掛救生圈的柱子大小忽略不計）問題解決任務1確定橋拱形狀根據圖2，求拋物線的函數表達式．任務2擬定設計方案求符合懸掛條件的救生圈個數，并求出最右側一個救生圈懸掛點的坐標．任務3探究救生繩長度當水位達到最高時，上游一個落水者順流而下到達拋物線拱形橋面的瞬間，若要確保救助者把拱橋上任何一處懸掛點的救生圈拋出都能拋到落水者身邊，