一元二次方程及其一般式學問點1：一元二次方程定義及一般形式概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：。其中a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。【留意】1）只含有一個未知數；2）所含未知數的最高次數是2；3）整式方程。典例1下列屬于一元二次方程的是（）.A． B． C． D．3x＋1＝0【答案】BA.不是一元二次方程，有兩個未知數，故此選項錯誤；B.是一元二次方程，故此選項正確；C.不是一元二次方程，是分式方程，故此選項錯誤；D.不是一元二次方程，是一元一次方程，故此選項錯誤；故選：B.典例2是關于x的一元二次方程，則（）A． B． C． D．為隨意實數【答案】C【詳解】∵方程是關于x的一元二次方程，∴二次項系數p≠0，故選C.典例3若是關于的一元二次方程，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得：a-1≠0

解得a≠1

故選B．學問點二一元二次方程的解概念：使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。典例1關于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一個根是x＝3，則m的值是（）A.0 B.2 C.2或﹣2 D.﹣2【答案】C【詳解】把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，解得m＝±2．故選C．典例2已知1是關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（）A.1 B.0 C.﹣1 D.無法確定【答案】C【詳解】解：∵1是關于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一個根，

∴（m-1）×12+1+1=0，且m-1≠0，

解得：．

故選擇：C.典例3已知a是方程的一個根，則代數式的值是（）A.6 B.5 C. D.【答案】B【詳解】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一個根，∴a2-3a-1=0，整理得，a2-3a=1，∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3=2×1+3=5，故選：B．鞏固訓練一、選擇題（共10題）1．若關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根為x＝2024，則一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根為（）A． B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【詳解】對于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，設t=x-1，所以at2+bt-1=0，而關于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根為x=2024，所以at2+bt-1=0有一個根為t=2024，則x-1=2024，解得x=2024，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根為x=2024．故選：B．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．2．視察下列表格，一元二次方程x2-x=1.2的一個近似解是（）A．0.11 B．1.69 C．1.79 D．1.19【答案】C【詳解】∵x=1.7時，x2-x=1.19；x=1.8時，x2-x=1.44，∴一元二次方程x2-x=1.2的一個解為1.7＜x＜1.8．故選C．【名師點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，詳細方法是：給出一些未知數的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數的值愈接近方程的解．3．已知m是方程好x2－2x－1＝0的一個根，則代數式2m2－4m＋2024的值為()A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【詳解】∵m是方程x2?2x?1=0的一個根，∴m2?2m?1=0，∴m2?2m=1，∴2m2?4m+2024=2(m2?2m)+2024=2×1+2024=2024.故選B【名師點睛】此題考查一元二次方程的解，解題關鍵在于駕馭運算法則4．方程x2+2x﹣3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是()A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3【答案】B【詳解】方程x2+2x﹣3＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是1，2，﹣3，故選：B．【名師點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0(其中a，b，c為常數，且a≠0)．解題關鍵在于找出系數及常熟項5．關于x的方程是一元二次方程，則它的一次項系數是()A．－1 B．1 C．3 D．3或－1【答案】B【詳解】解：由題意得：m2-2m-1=2，m-3≠0，

解得m=-1或m=3．

m=3不符合題意，舍去，

所以它的一次項系數-m=1．

故選：B．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的定義．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特殊要留意a≠0的條件．這是在做題過程中簡單忽視的學問點．6．一元二次方程(a-3)x2-2x+a2-9=0的一個根是0,則a的值是()A．2 B．3 C．3或-3 D．-3【答案】D【詳解】把x=0代入方程（a-3）x2-2x+a2-9=0，得：a2﹣9=0，解得：a=±3．∵a－3≠0，∴a=－3．故選D．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的根即方程的解的定義，是一個基礎題，解題時候留意二次項系數不能為0，難度不大．7．若關于x的方程（a+1）x2-3x-2=0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：依據題意，得a+1≠0，解得，a≠-1．故選：B．【名師點睛】本題考查一元二次方程的概念，一元二次方程必需滿意四個條件：

（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．8．將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項和常數項分別是（）A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2【答案】B【詳解】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得：

-3x2+4x-2=0，

∵a＞0，

∴3x2-4x+2=0，

∴一次項和常數項分別是：-4x，2，

故選：B．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特殊要留意a≠0的條件．這是在做題過程中簡單忽視的學問點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．9．若是關于x的一元二次方程，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】依據題意得：

，

解得：，

故選C．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的定義，正確駕馭一元二次方程的定義是解題的關鍵．10．已知2是關于x的方程3x2﹣2a＝0的一個解，則a的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【詳解】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．故選：D．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．二、填空題（共5題）11．假如a是一元二次方程的一個根，那么代數式=__________.【答案】3【詳解】解：把x=a代入x2-3x-5=0得a2-3a-5=0，

所以a2-3a=5，

所以8-a2+3a=8-（a2-3a）=8-5=3．

故答案為：3．【名師點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．12．方程中，二次項系數是____,一次項系數是____,常數項是____.【答案】6-7-4【詳解】方程整理得：6x?7x?4=0，其中二次項系數是6，一次項系數為?7，常數項為?4，故答案為：6，?7，?4【名師點睛】此題考查一元二次方程的性質，解題關鍵在于將方程整理為一般形式13．已知關于的一元二次方程的一根為，則的值為__________．【答案】【詳解】把x=0代入方程得m2-4=0∴m1=2，m2=-2，∵一元二次方程的二次項系數不為0，∴m+2≠0，即m≠-2，∴m=2．故答案為：2．【名師點睛】本題考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系數的值，對不合題意的值要舍去．14．假如是一元二次方程的一個根,則常數的值為______.【答案】-10.【詳解】把代入可得解得：x=-10故答案為：-10【名師點睛】考核學問點：一元二次方程的根.理解方程的根的意義.15．若是一元二次方程的解，則代數式的值是_______【答案】-3【詳解】解：是一元二次方程的一個根，，．故答案為：．【名師點睛】此題主要考查了一元二次方程的解（根的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．三、解答題（共2題）16．關于x的方程x2+mx﹣1＝0的一個根是x＝2，求m的值．【答案