一次函數與三角形存在問題專項訓練卷（2022秋?新城區校級期末）如圖，直線與過點的直線交于點，且直線與軸交于點，與軸交于點．（1）求直線的解析式；（2）若點是直線上的點，過點作軸于點，要使以、、為頂點的三角形與全等，求所有滿足條件的點的坐標．（2022春?翠屏區期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點．（1）求點、的坐標；（2）在軸上是否存在點，使以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（2022春?永安市期末）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，且當時，；點在直線上．（1）求值；（2）如果點在內部，求的取值范圍；（3）如果在上，點在軸上，當為等腰三角形，直接寫出的坐標．（2022春?黔江區期末）如圖一，已知直線與軸交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，與直線交于點．（1）求直線的解析式；（2）如圖二，點在直線上且在軸左側，過點作軸交直線于點，交軸于點，當，求出，兩點的坐標；（3）將直線向左平移10個單位得到直線交軸于點，點是點關于原點對稱點．過點作直線軸，點在直線上，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．（2022春?興城市期末）如圖，一次函數的圖象與軸和軸分別交于點和點，正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點．（1）求直線的解析式；（2）求的長；（3）設是軸上一動點，若使是等腰三角形，請直接寫出符合條件的點的坐標．（2022春?木蘭縣期末）如圖，矩形中，點在軸上，點在軸上，點的坐標是，矩形沿直線折疊，使落在對角線上的點處，折痕與、軸分別交于點、．（1）求線段的長；（2）求直線的解析式；（3）為軸上一動點，在點運動的過程中，是否存在以為底邊的等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．（2022春?雙流區期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點、，是的角平分線，交直線于點．（1）求點的坐標；（2）如圖2，是的角平分線，過點作的垂線交于點，交軸于點求直線的解析式；（3）在軸上尋找點使得為等腰三角形，請直接寫出點的坐標．（2022春?曲阜市校級期末）如圖，一次函數．的圖象過點，與正比例函數的圖象交于點，過點作垂直于軸于點．（1）求的值與交點的坐標；（2）計算的面積與的長；（3）在軸上是否存在點，使得以點、、組成的三角形為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．（2022春?富縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，且與正比例函數的圖象交于點．（1）求正比例函數與一次函數的表達式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點，使為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2022春?恩平市期末）如圖，平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點，．點是線段上的一個動點（不與，重合），連接．設點的橫坐標為．（1）求一次函數的解析式；（2）求的面積與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當的面積．①判斷此時線段與的數量關系并說明理由；②第一象限內是否存在一點，使是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．一次函數與三角形存在問題專項訓練卷（2022秋?新城區校級期末）如圖，直線與過點的直線交于點，且直線與軸交于點，與軸交于點．（1）求直線的解析式；（2）若點是直線上的點，過點作軸于點，要使以、、為頂點的三角形與全等，求所有滿足條件的點的坐標．【分析】（1）將點代入直線可得，利用待定系數法即可得直線的解析式；（2）分兩種情況：①當時；②當時，根據全等三角形的性質即可得到結論．【解答】解：（1）直線與直線交于點，，，又過點和點，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為；（2）直線與軸交于點，與軸交于點．，，軸于點，，以、、為頂點的三角形與全等，分兩種情況：①如圖，當時，，直線的解析式為，當時，，，點的坐標為；②如圖，當△時，，直線的解析式為，當時，，，點的坐標為；綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，一次函數的性質，全等三角形的性質等知識，熟練掌握一次函數和全等三角形的性質是解本題的關鍵．（2022春?翠屏區期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點．（1）求點、的坐標；（2）在軸上是否存在點，使以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）令，求出，令，求出；（2）設，分三種情況討論：當時，；當時，；當時，或；【解答】解：（1）令，則，，令，則，；（2）存在點，使以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形，理由如下：設，，，，當時，，解得，（舍或；當時，，解得，；當時，，解得或，或；綜上所述，點坐標為或或或；【點評】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．（2022春?永安市期末）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，且當時，；點在直線上．（1）求值；（2）如果點在內部，求的取值范圍；（3）如果在上，點在軸上，當為等腰三角形，直接寫出的坐標．【分析】（1）當時，求出的值即可；（2）求出兩條直線的解析式，聯立方程組，求出兩直線的交點坐標為，再結合圖象求解即可；（3）由（2）知，設，分三種情況討論：當時，；當時，，或，；當時，，．【解答】解：（1）當時，，，解得；（2）點在直線上，，，，，聯立方程組，解得，兩直線的交點為，點在內部，；（3）在上，，設，，，，當時，，解得（舍或，；當時，，解得或，，或，；當時，，解得，，；綜上所述：點坐標為或，或，或，．【點評】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，數形結合，分類討論是解題的關鍵．（2022春?黔江區期末）如圖一，已知直線與軸交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，與直線交于點．（1）求直線的解析式；（2）如圖二，點在直線上且在軸左側，過點作軸交直線于點，交軸于點，當，求出，兩點的坐標；（3）將直線向左平移10個單位得到直線交軸于點，點是點關于原點對稱點．過點作直線軸，點在直線上，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．【分析】（1）將點代入，求出點坐標，再用待定系數法求函數的解析式即可；（2）設，則，，由題意可得，則，求出的值即可求點的坐標；（3）分別求出，，設，分三種情況討論：當時，或；當時，．【解答】解：（1）將點代入，，解得，，設直線的解析式為，，解得，；（2）設，則，，，，，，，解得，，；（3）由題意可得直線的解析式為，，，，設，，，，當時，，解得，或；當時，，解得或（舍，；綜上所述：點坐標為或或．【點評】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．（2022春?興城市期末）如圖，一次函數的圖象與軸和軸分別交于點和點，正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點．（1）求直線的解析式；（2）求的長；（3）設是軸上一動點，若使是等腰三角形，請直接寫出符合條件的點的坐標．【分析】（1）由解析式求得的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線的解析式；（2）過點作軸于點，利用勾股定理即可求解；（3）根據軸上點的坐標特點設出點的坐標，再根據兩點間的距離公式解答即可．【解答】解：（1）點在上，，即點坐標為，將和點代入中，得，解得，直線的解析式為；（2）過點作軸于點，點坐標為，，，；（3）在中，令，解得，，，設點坐標為，當時，，，解得，點的坐標為，；當時，，，解得或，點的坐標為或；當時，，，解得（與點重合，舍去）或，點的坐標為；綜上，點坐標為，或或或．【點評】本題是一次函數的綜合題，考查待定系數法求函數解析式、勾股定理及兩點間的距離公式，等腰三角形的性質，在解（2）時要注意分類討論，不要漏解．（2022春?木蘭縣期末）如圖，矩形中，點在軸上，點在軸上，點的坐標是，矩形沿直線折疊，使落在對角線上的點處，折痕與、軸分別交于點、．（1）求線段的長；（2）求直線的解析式；（3）為軸上一動點，在點運動的過程中，是否存在以為底邊的等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由矩形的性質得出，，，由勾股定理即可得出答案；（2）由折疊的性質得到，，，進而求出的長，設，則有，在直角三角形中，利用勾股定理列出關于的方程，求出方程的解得到的值，確定出的長，進而得到的坐標，設直線解析式為，把與坐標代入求出與的值，即可確定出直線解析式；（3）根據以為底邊的等腰三角形，可得，即可得點的坐標．【解答】解：（1）由可得，．四邊形是矩形，，由勾股定理可得：；（2）設，由題意可得：，，，．在直角三角形中由勾股定理可列：，即，解得，所以設直線的解析式為，由，可得：，解得，所以直線的解析式為：；（3）存在以為底邊的等腰三角形，等腰三角形為以為底邊的等腰三角形，，為軸上一動點，存在以為底邊的等腰三角形，點的坐標為或．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，等腰三角形的性質等知識，利用數形結合的思想解決問題是本題的關鍵．（2022春?雙流區期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點、，是的角平分線，交直線于點．（1）求點的坐標；（2）如圖2，是的角平分線，過點作的垂線交于點，交軸于點求直線的解析式；（3）在軸上尋找點使得為等腰三角形，請直接寫出點的坐標．【分析】（1）過點作于點，設點坐標為，根據已知條件易證，列方程求解即可；（2）先證明，可得，再求出點和點坐標，根據勾股定理，求出的長度，進一步即可確定點坐標；（3）設點坐標為，為等腰三角形，分情況討論：①，②，③，分別列方程求解即可．【解答】解：（1）過點作于點，如圖所示：根據題意，可設點坐標為，，，，是的角平分線，，，，，解得，點坐標為，；（2）是的角平分線，，于點，，又，，，當時，，點，，當時，，點，，根據勾股定理，得，，點坐標為，設直線的解析式為，代入點和，得，解得，直線的解析式為；（3）設點坐標為，，，，，，為等腰三角形，分情況討論：①，，解得或，點坐標為或；②，，解得或（舍去），點坐標為；③，，解得，點坐標為，，綜上所述，滿足條件的點坐標為或或或，．【點評】本題考查了一次函數的綜合應用，涉及待定系數法求解析式，角平分線的定義，等腰三角形的性質等，熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵，本題綜合性較強，注意等腰三角形分情況討論．（2022春?曲阜市校級期末）如圖，一次函數．的圖象過點，與正比例函數的圖象交于點，過點作垂直于軸于點．（1）求的值與交點的坐標；（2）計算的面積與的長；（3）在軸上是否存在點，使得以點、、組成的三角形為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）把點代入即可求出的值，構建方程組求出點的坐標；（2）利用三角形面積公式求解；（3）分三種情況討論：①當時，②當時，③當時．【解答】解：（1）一次函數的圖象經過點，，，，由，解得，；（2），，，，的面積；（3）存在．設，①當時，，解得，，；②當時，，解得或，或③當時，，解得（舍棄）或，，故存在點坐標為：，或或或．【點評】本題屬于一次函數綜合題，考查了一次函數的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會構建方程組確定交點坐標，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．（2022春?富縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，且與正比例函數的圖象交于點．（1）求正比例函數與一次函數的表達式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點，使為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將代入可求正比例函數關系式，將，代入可求一次函數關系式；（2）根據三角形的面積公式即可得到結論；（3）設點，分別表示三邊長度，再分情況列方程求出，即可得答案．【解答】解：（1）將代入得：，解得，，正比例函數關系式為；將，代入得：，解得，，一次函數關系式為；（2）在中，令，解得，；（3）存在軸上的點，使為等腰三角形，理由如下：設點，而，，，，，①當時，，，或，②當時，，或（舍去），，③當時，，，，綜上所述，為等腰三角形，坐標為或或或．【點評】此題是一次函數綜合題，主要考查待定系數法求一次函數、全等三角形的判定和性質、勾股定理、添加輔助線構造全等三角形等知識，學會分類討論的數學思想是正確解題的關鍵．（2022春?恩平市期末）如圖，平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點，．點是線段上的一個動點（不與，重合），連接．設點的橫坐標為．（1）求一次函數的解析式；（2）求的面積與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當的面積．①判斷此時線段與的數量關系并說明理由；②第一象限內是否存在一點，使是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）根據表示出點的坐標，然后根據三角形面積公式列函數關系式；（3）①根據三角形面積列方程求點的坐標，然后利用勾股定理求得與的長，從而求解；②根據全等三角形的判定和性質求解