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石室成飛中學高2025屆20242025學年上期8月考試數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678DABCBCCA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。91011ACDABABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.0.1/13.14.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）解：（1）∵，∴①∵，，成等比數列，∴，∴化簡得，∵，∴②，由①②可得，，所以數列的通項公式是………………6分（2）由（1）得∴………13分16.（15分）解：（1）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，且，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，A10,0,4.

因為，分別為的中點，所以，，則，，，設平面的法向量為m=x,y,z則，即，令，則有，，即，因為，所以，又平面，所以平面；………………7分（2）由（1）可知，，，所以與平面所成角的正弦值為.………………15分17.（15分）解：（1）零假設：周平均鍛煉時長與年齡無關聯.由列聯表中的數據，可得，.根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于.所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時長有差異.………………6分（2）抽取的5人中，周平均鍛煉時長少于4小時的有人，不少于4小時的有人，所以所有可能的取值為，所以，，，所以隨機變量的分布列為：123隨機變量數學期望.…………15分18.（17分）解：（1）因為，所以，又連接四個頂點所得菱形的面積為，可得，解得，所以橢圓方程為.………………4分（2）如圖所示：設直線的方程為：聯立，可得：，則，由韋達定理可得：，由弦長公式可得：當時，取得最大值.………………10分（3）如圖所示：設直線的方程為：聯立，可得：，則由韋達定理可得：，又由，可得，代入可得，即.所以，所以故為定值.………………17分19.（17分）解：（1）由題意得，，則，由，解得．當時，單調遞增，當時，單調遞減；綜上，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減；………………4分（2）（i）由，得，設，由(1)得在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，又，當時，，且當時，，所以當時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，故的取值范圍是．………………10分（ii）不妨設，則，且．解法一：當時，，即；當時，．設則所以在區間內單調遞增，則，即，所以又在區間內單調遞減，所以，即，又，所以，故，所以，得證．解法二：設，，則，所以在區

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