浙江省2024年第一屆啟航杯聯考數學試題2024年7月29日一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，則的元素數量是（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知，則（）A.1 B. C.2 D.3.橢圓的左右焦點分別為為上一點，則當的面積最大時，的取值為（）A. B. C. D.4.已知邊長為6正方體與一個球相交，球與正方體的每個面所在平面的交線都為一個面積為的圓，則該球的表面積為（）A96π B.100π C. D.5.已知的二項式系數之和為64，則的展開式中常數項為（）A.1 B.6 C.15 D.206.已知對恒成立，則的最大值為（）A.0 B. C.e D.17.已知且，則的值為（）A. B. C. D.8.克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設隨機變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數，現以使最大的值估計的取值并計算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（）A. B.C. D.與10的大小無法確定9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，為的中點，為靠近的四等分點，為線段MG上一動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.C.HD最小值為 D.若，則10.設定義域為的單調遞增函數滿足，且，則下列說法正確的是（）A.當時，B.C.不等式的解集為D.若使得時，恒成立，則的最小值為211.數學有時候也能很可愛，如題圖所示是小D同學發現的一種曲線，因形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲線.對于小恐龍曲線，下列說法正確的是（）A.該曲線與最多存在3個交點B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則C.存在一個，使得這條曲線是偶函數的圖像D.時，該曲線中的部分可以表示為y關于x的某一函數二、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著某抽卡游戲在班級內流行，李華統計了6位同學獲得某角色的抽取次數，結果如下:10，60，90，80，20，180，則以上數據的下四分位數為_________.13.已知正四面體O?ABC棱長為4，棱上有一點，棱上有一點，棱上有一點.若，則的最大值為_________.14.設函數的極小值點為，若的圖象上不存在關于直線對稱的兩點，則的取值范圍為_________.三、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.已知中，角所對的邊分別為已知.（1）求的取值范圍；（2）求最大時，面積.16.已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點，線段的中點為.（1）記直線的斜率為，直線的斜率為，求.（2）當直線的斜率為3時，求點坐標.17.浙里啟航團隊舉辦了一場抽獎游戲，玩家一共抽取次.每次都有的概率抽中，的概率沒抽中.小明的抽獎得分按照如下方式計算：1.將玩家次抽獎結果按順序排列，抽中記作1，未抽中記作0，形成一個長度為的僅有01的序列.2.定義序列的得分為：對于這個序列每一段極長連續的1，設它長度為，那么得分即為.3.序列的得分即為每一段連續的1的得分和.例如:如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中獎，那么序列即為1，0，1，1，1，0，1，得分為.可能用到的公式：若為兩個隨機變量，則.（1）若，清照進行了一次游戲.記隨機變量為清照的最終得分，求.（2）記隨機變量表示長度為的序列中從最后一個數從后往前極長連續的1的長度，求.（3）若，清照進行了一次游戲.記隨機變量為清照的最終得分，求.18.定義:表示的整數部分，表示的小數部分，例如.數列滿足其中.若存在，使得當時，恒成立，則稱數為木來數.（1）分別寫出當時的值.（2）證明:是木來數（3）若為大于1的有理數.且.求證:為木來數19.稱代數系統為一個有限群，如果1.為一個有限集合，為定義在上的運算(不必交換)，2.3.稱為的單位元4.，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運算.（1）