1.3空間向量及其運算的坐標表示1.3.1空間直角坐標系【學習目標】1.在空間向量基本定理的基礎上,知道空間直角坐標系的概念.2.結合簡單幾何體,能寫出有關點和向量的坐標.◆知識點一空間直角坐標系1.空間直角坐標系定義:如圖,在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}.以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫作.這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz,O叫作,i,j,k都叫作,通過每兩條坐標軸的平面叫作,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.

2.空間直角坐標系的畫法(1)空間直角坐標系的畫法:畫空間直角坐標系Oxyz時,一般使∠xOy=,∠yOz=.

(2)右手直角坐標系:在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

◆知識點二空間向量的坐標1.空間中點的坐標如圖,由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使OA=.在單位正交基底{i,j,k}下與向量OA對應的有序實數組(x,y,z),叫作點A在空間直角坐標系中的坐標,記作,其中x叫作點A的橫坐標,y叫作點A的縱坐標,z叫作點A的豎坐標.

2.空間中向量的坐標如圖,在空間直角坐標系Oxyz中,給定向量a,作OA=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序實數組叫作a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,可簡記作.

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示點. ()(2)點(2,0,3)在空間直角坐標系中的y軸上. ()(3)點(0,0,3)在空間直角坐標系中的Oxy平面上. ()(4)已知i,j,k分別是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸的正方向上的單位向量,且AB=-i+j-k,則點B的坐標一定是(-1,1,-1).()◆探究點一求空間點的坐標例1已知在正四棱錐P-ABCD中,O為底面中心,底面邊長和高都是2,E,F分別是側棱PA,PB的中點.(1)如圖①,以O為坐標原點,分別以DA,DC,OP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,寫出點A,B,C,D,P,E,F的坐標;(2)如圖②,以O為坐標原點,分別以OA,OB,OP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,寫出點A,B,C,D,P,E,F的坐標.變式(1)(多選題)在棱長為1的正方體中,建立如圖所示的空間直角坐標系,則下列各點在正方體內或正方體表面上的是 ()A.(1,0,1) B.25,-15,15 (2)如圖,棱長為2的正四面體A-BCD的三個頂點A,B,C分別在空間直角坐標系的x,y,z軸的正半軸上,則頂點D的坐標為()A.(1,1,1) B.(2,2,2)C.(3,3,3) D.(2,2,2)[素養小結](1)建立空間直角坐標系時應遵循的兩個原則:①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內;②充分利用幾何圖形的對稱性.(2)求某點M的坐標的方法:作MM'垂直于平面Oxy,垂足為M',求M'的橫坐標x,縱坐標y,即點M的橫坐標x,縱坐標y,再求點M在z軸上射影的豎坐標z,即為點M的豎坐標z,于是得到點M的坐標(x,y,z).◆探究點二求空間向量的坐標例2如圖,在空間直角坐標系Oxyz中有一長方體OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5.(1)寫出點B'的坐標,并將OB'用單位正交基底{i,j,k}表示(2)求OC'的坐標變式如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點,G在棱CD上,且CG=14CD,H為C1G的中點.建立適當的空間直角坐標系,寫出EF和GH的坐標[素養小結]用坐標表示空間向量的步驟:◆探究點三空間中點的對稱問題例3在空間直角坐標系中,點P(-2,1,4).(1)求點P關于x軸的對稱點P1的坐標;(2)求點P關于Oxy平面的對稱點P2的坐標;(3)求點P關于點M(2,-1,-4)的對稱點P3的坐標.變式關于空間直角坐標系Oxyz中的一點P(1,2,3),有下列說法:①OP的坐標為(1,2,3);②點P關于x軸對稱的點的坐標為(-1,-2,-3);③點P關于原點對稱的點的坐標為(1,2,-3);④點P關于Oxy平面對稱的點的坐標為(1,2,-3).其中正確說法的個數是 ()A.1 B.2C.3 D.4[素養小結]在空間直角坐標系中,點P(x,y,z)關于坐標軸和坐標平面的對稱點的坐標特點如下:(1)關于坐標原點的對稱點的坐標為(-x,-y,-z);(2)關于橫軸(x軸)的對稱點的坐標為(x,-y,-z);(3)關于縱軸(y軸)的對稱點的坐標為(-x,y,-z);(4)關于豎軸(z軸)的對稱點的坐標為(-x,-y,z);(5)關于Oxy平面的對稱點的坐標為(x,y,-z);(6)關于Oyz平面的對稱點的坐標為(-x,y,z);(7)關