【成才之路】-學年高中數學2.6距離的計算基礎達標北師大版選修2-1一、選擇題1．以下說法錯誤的是()A．兩平行平面之間的距離就是一個平面內任一點到另一平面的距離B．點P到面α的距離公式是d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|，其中A為面α內任一點，n為面α的法向量C．點P到直線l的距離公式是d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\f(a,|a|)|，其中A為直線l上任一點，a為l的法向量D．異面直線l1與l2，在l1上任取一點P，在l2上任取一點Q，則|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最小值，就是l1與l2的距離[答案]C[解析]選項C中，a必須與l以及eq\o(PA,\s\up6(→))共面時，此公式才成立．2．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，則CD的長等于()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)[答案]C[解析]如圖所示，∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1，∴由eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))得|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝eq\o(DB2,\s\up6(→))＋eq\o(BA2,\s\up6(→))＋eq\o(AC2,\s\up6(→))＋2eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋2eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3＋2cos(180°－120°)＝4，∴|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2.3．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直線B1C1到平面A1A．5 B．eq\f(13,2)C．eq\f(60,13) D．8[答案]C[解析]解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求．過點B1作B1E⊥A1B于E點．∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，在Rt△A1B1B中，B1E＝eq\f(A1B1·B1B,A1B)＝eq\f(5×12,\r(52＋122))＝eq\f(60,13)，因此直線B1C1和平面A1BCD1的距離為eq\f(60,13).解法二：以D為原點，eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，則C(0,12,0)，D1(0,0,5)，設B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)，設平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，由n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(CD1,\s\up6(→))得n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，∴a＝0，n·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴b＝eq\f(5,12)c，∴可取n＝(0,5,12)，eq\o(B1B,\s\up6(→))＝(0,0，－5)，∴B1到平面A1BCD1的距離d＝eq\f(|\o(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(60,13).二、填空題4．正方形ABCD與ABEF的邊長都為a，若二面角E－AB－C的大小為30°，則EF到平面ABCD的距離為________．[答案]eq\f(1,2)a[解析]EF到平面ABCD的距離即為點E到平面ABCD的距離，∴d＝eq\f(1,2)a.5．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1B1、CD的中點，則點B到平面AEC1[答案]eq\f(\r(6),3)[解析]以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，F(0，eq\f(1,2)，0)，E(1，eq\f(1,2)，1)，B(1,1,0)．∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1，eq\f(1,2)，0)．設平面AEC1F的法向量為n＝(1，λ，μ)，則n·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝0，,－1＋\f(1,2)λ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－1.))∴n＝(1,2，－1)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，∴點B到平面AEC1F的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).三、解答題6．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA(1)求證：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(3)求點C到平面B1DP的距離．[解析]解法一：(1)連結AB1與BA1交于點O，連結OD.∵PB1∥平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，∴OD∥PB1.又AO＝B1O，∴AD＝PD.又AC∥C1P，∴CD＝C1D.(2)過A作AE⊥DA1于點E，連結BE.∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，∴BA⊥平面AA1C由三垂線定理可知BE⊥DA1.∴∠BEA為二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，A1D＝eq\r(\f(1,2)2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，又S△AA1D＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),2)·AE，∴AE＝eq\f(2\r(5),5).在Rt△BAE中，BE＝eq\r(12＋\f(2\r(5),5)2)＝eq\f(3\r(5),5).∴cos∠BEA＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,3).故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為eq\f(2,3).(3)由題意知，點C到平面B1DP的距離是點C到平面DB1A的距離，設此距離為h∵VC－DB1A＝VB1－ACD∴eq\f(1,3)S△DB1A·h＝eq\f(1,3)S△ACD·B1A1.由已知可得AP＝eq\r(5)，PB1＝eq\r(5)，AB1＝eq\r(2)，∴在等腰△AB1P中，S△AB1P＝eq\f(1,2)AB1·eq\r(AP2－\f(1,2)AB12)＝eq\f(3,2)，∴S△DB1A＝eq\f(1,2)S△AB1P＝eq\f(3,4)，又S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,4)，∴h＝eq\f(S△ACD·B1A1,S△DB1A)＝eq\f(1,3).故C到平面B1DP的距離等于eq\f(1,3).解法二：如圖，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A1－xyz，則A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，(1)設C1D＝x，∵AC∥PC1，∴eq\f(C1P,AC)＝eq\f(C1D,CD)＝eq\f(x,1－x).由此可得D(0,1，x)，P(0,1＋eq\f(x,1－x)，0)．∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,1，x)，eq\o(B1P,\s\up6(→))＝(－1,1＋eq\f(x,1－x)，0)．設平面BA1D的一個法向量為n1＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(A1B,\s\up6(→))＝a＋c＝0，,n1·\o(A1D,\s\up6(→))＝b＋cx＝0.))令c＝－1，則n2＝(1，x，－1)∵PB1∥平面BA1D，∴n1·eq\o(B1P,\s\up6(→))＝1×(－1)＋x·(1＋eq\f(x,1－x))＋(－1)×0＝0.由此可得x＝eq\f(1,2)，故CD＝C1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一個法向量n1＝(1，eq\f(1,2)，－1)．又n2＝(1,0,0)為平面AA1D的一個法向量．∴cos<n1，n2>＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(1,1×\f(3,2))＝eq\f(2,3).故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為eq\f(2,3).(3)∵eq\o(PB1,\s\up6(→))＝(1，－2,0)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1，eq\f(1,2))，設平面B1DP的一個法向量n3＝(a1，b1，c1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n3·\o(PB1,\s\up6(→))＝a1－2b1＝0，,n3·\o(PD,\s\up6(→))＝b1＋\f(c1,2)＝0.))令c1＝1，可得n3＝(1，eq\f(1,2)，1)．又eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,0，eq\f(1,2))，∴C到平面B1DP的距離d＝eq\f(|\o(DC,\s\up6(→))·n3|,|n3|)＝eq\f(1,3).一、選擇題1．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1DA．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)[答案]B[解析]以eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))為正交基底建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，eq\o(C1O,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，平面ABC1D1的法向量eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，點O到平面ABC1D1的距離d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up6(→))·\o(C1O,\s\up6(→))|,|\o(DA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在α內，則P(－2,1,4)到α的距離為()A．10 B．3C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)[答案]D[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，又平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距離為|eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(|－2－4－4|,3)＝eq\f(10,3).3.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點，則直線MN和平面ACDA．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(3),2)[答案]D[解析]如圖，建立空間直角坐標系，則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，eq\f(1,2))，N(eq\f(1,2)，1,1)，C(0,1,0)．所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))．所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→)).又直線AD1與MN不重合，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(AD1,\s\up6(→)).又MN?平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因為eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(D1C,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．設平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(D1C,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,y－z＝0.))所以x＝y＝z.令x＝1，則n＝(1,1,1)．又因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1,1，eq\f(1,2))－(1,0,0)＝(0,1，eq\f(1,2))，所以|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋12＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(5),2).所以點M到平面ACD1的距離為eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(5),2)×eq\f(\r(15),5)＝eq\f(\r(3),2).4．空間四點A、B、C、D每兩點的連線長都等于a，動點P在線段AB上，動點Q在線段CD上，則點P到Q的最小距離為()A．eq\f(a,2) B．eq\f(\r(2),2)aC．eq\f(\r(3),2)a D．eq\f(\r(6),2)a[答案]B[解析]如圖，求PQ的最小值，需先將PQ表示出來，再用代數方法確定最值．由題設可知，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))兩兩夾角均為60°.設eq\o(PA,\s\up6(→))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝μeq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DQ,\s\up6(→))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋μ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→)).∴|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2＝λ2eq\o(AB2,\s\up6(→))＋(1－μ)2eq\o(AD2,\s\up6(→))＋μ2eq\o(AC2,\s\up6(→))＋2λ(μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2(1－μ)μeq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－2λμeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝λ2a2＋a2－2μa2＋μ2a2＋μ2a2＋λμa2－λa2＋μa2－μ2a2－λμa2＝a2(λ2＋μ2－μ－λ＋1)＝a2[(λ－eq\f(1,2))2＋(μ－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)]≥eq\f(a2,2).∴|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(2),2)a.5．已知平面α∥平面β，線段AB、CD夾在α、β之間，AB＝13，CD＝5eq\r(5)，且它們在β內的射影之差為2，則α和β之間的距離為()A．3 B．4C．5 D．6[答案]C[解析]如圖所示，設A、C在平面β上的射影為A′、C′，則設α、β之間的距離AA′＝CC′＝a，且BA′、DC′分別為AB、CD在β內的射影．在Rt△AA′B中，AB＝13，則A′B＝eq\r(AB2－AA′2)＝eq\r(132－a2).在Rt△CC′D中，CD＝5eq\r(5)，則C′D＝eq\r(CD2－C′C2)＝eq\r(125－a2).又∵C′D與A′B相差為2，即A′B－C′D＝eq\r(132－a2)－eq\r(125－a2)＝2，∴a＝5，∴平面α和β之間的距離為5.二、填空題6．在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________．[答案]eq\r(2)[解析]由已知AB，AD，AP兩兩垂直．∴以A為坐標原點AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，設平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－2c＝0，,b＝0.))∴n＝(1,0,1)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，∴d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\r(2).7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，則點B1到平面ABC1[答案]eq\f(\r(21),7)[解析]解法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，則eq\o(C1A,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(C1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，設平面ABC1的法向量為n＝(x，y,1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(C1A,\s\up6(→))·n＝0，,\o(C1B,\s\up6(→))·n＝0.))解得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，1))，則d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(C1B1,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq\f(\r(21),7).解法二：VB1—ABC1＝VA—BB1C1VA—BB1C1＝eq\f(1,3)S△BB1C1×eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),12)，又∵VB1—ABC1＝eq\f(1,3)S△ABC1·h，S△ABC1＝eq\f(1,2)AB·eq\f(\r(17),2)＝eq\f(\r(17),4)，∴h＝eq\f(\r(21),7).三、解答題8．已知三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長均為a，側棱垂直于底面，D是側棱CC1的中點，問a為何值時，點C到平面AB1D[解析]建立如圖所示的空間直角坐標系．由題設可知A(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D(0，a，eq\f(a,2))，于是有eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(a,2)，a)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(0，a，－eq\f(a,2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，0)．設n＝(x，y，z)為平面AB1D的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(B1D,\s\up6(→))＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)ax－\f(a,2)y＋az＝0,ay－\f(a,2)z＝0)).令y＝1，可得n＝(eq\r(3)，1,2)．所以點C到平面AB1D的距離d＝|eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(\r(2),4)a.令eq\f(\r(2),4)a＝1，解得a＝2eq\r(2).即a＝2eq\r(2)時，點C到平面AB1D的距離為1.[點評]如果不利用向量，此題簡直無從下手，其中的未知棱長是個障礙．向量法的好處在于具體的距離無需作出來，比起作垂線段的方法要簡便得多．9.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝eq\f(π,4)，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點，N為BC的中點．(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大小；(3)求點B到平面OCD的距離．[解析]方法1(綜合法)：(1)取OB中點E，連接ME，NE，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD.又∵NE∥OC，ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面OCD.又∵MN平面MNE，∴MN∥平面OCD.(2)∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補角)．作AP⊥CD于點P，連接MP，∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP，∵∠ADP＝eq\f(π,4)，∴DP＝eq\f(\r(2),2).∵MD＝eq\r(MA2＋AD2)＝eq\r(2)，∴cos∠MDP＝eq\f(DP,MD)＝eq\f(1,2)，∠MDC＝∠MDP＝eq\f(π,3).所以，AB與MD所成角的大小為eq\f(π,3).(3)∵AB∥平面OCD，∴點B和點A到平面OCD的距離相等．連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q.∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD.又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離．∵OP＝eq\r(OD2－DP2)＝eq\r(OA2＋AD2－DP2)＝eq\r(4＋1－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)，AP＝DP＝eq\f(\r(2),2)，∴AQ＝eq\f(OA·AP,OP)＝eq\f(2·\f(\r(2),2),\f(3\r(2),2))＝eq\f(2,3)，所以，點B到平面OCD的距離為eq\f(2,3).方法2(向量法)：作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立直角坐標系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，eq\f(\r(2),2)，0)，D(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－eq\f(\r(2),4)，eq\f(\r(2),4)，0)．(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝(1－eq\f(\r(2),4)，eq\f(\r(2),4)，－1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(2),2)，－2)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，－2)．設平面OCD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)y－2z＝0,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0))，取z＝eq\r(2)，解得n＝(0,4，eq\r(2))．∵eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝(1－eq\f(\r(2),4)，eq\f(\r(2),4)，－1)·(0,4，eq\r(2))＝0.又∵MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD.(2)設AB與MD所成角為θ，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，－1)，∴cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(MD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|·