高級中學名校試卷PAGEPAGE2廣東省佛山市S6高質量發展聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知函數的圖象上一點及附近一點，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題有：.故選：D.2.在數列中，若，則（）A.17 B.23 C.25 D.41〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D3.已知函數，則的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，函數的定義域為，由，排除選項A、D；當時，，所以，故排除選項B.故選：C4.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2，反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈，這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．若取正整數，根據上述運算法則得出，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），則當時，需要（）步“雹程”？A.13 B.16 C.19 D.21〖答案〗B〖解析〗時，根據上述運算法則得出：共需經過16個步驟變成1.故選：B5.已知函數，則經過點且與曲線在該點切線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，又，所以所求直線方程為，即.故選：B6.用半徑為的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，當容器的容積最大時（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，那么，因此，，令得，當時，，當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，時，取得極大值，并且這個極大值即是最大值．把代入，得（負值舍去），由，解得，即圓心角為弧度時，容器的容積最大.故選：A.7.已知函數的定義域為，且恒成立，則不等式的解集為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因為即，則，所以在上單調遞增，故若，即，即，由單調性可得，，所以不等式的解集為.故選：B.8.經過曲線與的公共點，且與曲線和的公切線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，消去整理得，令，則，所以在上單調遞增，又，所以方程組的解為，即曲線與的公共點的坐標為，設與和分別相切于，，而，，，，，解得，，即公切線的斜率為，故與垂直的直線的斜率為，所以所求直線方程為，整理得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知首項為正數的等差數列的前項和為，公差為，若則（）A. B.若，則C.時，的最小值為27 D.最大時，〖答案〗ABC〖解析〗對于A，首項為正數的等差數列的前項和為，所以，若，則一定大于零，不符合題意，所以，，故A正確；對于B，由，，可得，即，解得，故B正確；對于C，，，所以時，的最小值為27，故C正確；對于D，由A可知，因為，，可知，即當時，，當時，，所以時，取最大值，故D錯誤.故選：ABC.10.數列1，1，2，3，5，8，13…是意大利數學家萊昂納多·斐波那契在他寫的《算盤全數》中提出的，所以它常被稱作斐波那契數列．該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它的前面兩個數的和．記斐波那契數列為，其前項和為，則（）A. B.是偶數C. D.〖答案〗AB〖解析〗依題意可得，，，，，，，，，，可得A正確；由上述計算，觀察分析發現，這個數列的數字是按照奇數、奇數、偶數這三個一組循環排列的，而，可得是偶數，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB．11.已知定義在實數集上的函數的導函數為，且滿足，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗易知，故，故，則，而對于，兩側同時求導得，故可視為以為首項，以1為公差的等差數列，故，其前項和為，對于A，顯然，故A正確，對于B，顯然，故B正確，對于C，顯然，故C錯誤，對于D，顯然，故D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則_________．〖答案〗〖解析〗由題，所以，則.故〖答案〗為：.13.已知函數在處取得極小值，且，若值域為，則其定義域可以為_____________．（寫出一個符合條件的即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗由題意知，，因為函數在處取得極小值，且，所以，解得，所以，令或，所以函數在上單調遞減，在、上單調遞增，故函數在處取得極小值，在處取得極大值，且，令，則，解得，若滿足的值域為，則定義域可以為.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一)14.若數列滿足，若，抽去數列的第3項、第6項、第9項、、第項、，余下的項的順序不變，構成一個新數列，則數列的前100項的和為_________________．〖答案〗〖解析〗由，得，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以，設數列的前項的和為，則.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）當的圖象與軸相切時，求實數的值；（2）若關于的方程有兩個不同的實數根，求的取值范圍．解：（1）由題意設切點為，，則，解得，所以；（2）函數的定義域為，關于的方程有兩個不同的實數根，即方程有兩個不同的實數根，即函數的圖象有兩個不同的交點，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又當時，，當時，且，作出函數的大致圖象，如圖所示，由圖可知，所以.16.已知數列的首項，前項和為，且，．（1）證明：數列為等差數列，并求通項公式；（2）設數列，求數列的前項和．解：（1）因為，所以，因為，即，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以，所以；（2）由（1），當時，，所以，又適合上式，所以，所以，所以，．17.已知等比數列的前項和為，，數列滿足．（1）求數列，的通項公式；（2）令，求的前項和．解：（1）因為，所以公比，由，即，解得，所以；由，得，兩式相減，得，所以，當時，滿足上式，故.（2）由（1）知，，，所以，，，兩式加減，得，所以.18.已知函數．（1）討論的單調區間；（2）若函數，且是的兩個極值點，求的最小值．解：（1）因為，則，，當時，，則函數在單調遞增，當時，，當，，則單調遞減，當，，則單調遞增，綜上所述，當時，函數上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）因為，，則，因為函數有兩個極值點，所以方程在上有兩個不等實根，則，即，且，，所以，所以，令，則，所以，可得函數上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，有極小值，即最小值，且，此時，即時，取得最小值.19.已知函數．（1）若關于的不等式對于恒成立，求的最大值；（2）已知，證明：．解：（1）由不等式對于恒成立，知不等式對于恒成立，設，則，設，則，所以函數上單調遞增，又，故，使得即成立，所以，即，，即，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，令，則，所以函數在上單調遞減，則，即，所以，又，所以k的最大值為.（2）設，則，得單調遞增，單調遞減，所以，即，即.得，即，即，令，則，所以，即，所以.設，則，所以函數在上單調遞增，故，即，所以，所以.廣東省佛山市S6高質量發展聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知函數的圖象上一點及附近一點，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題有：.故選：D.2.在數列中，若，則（）A.17 B.23 C.25 D.41〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D3.已知函數，則的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，函數的定義域為，由，排除選項A、D；當時，，所以，故排除選項B.故選：C4.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2，反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈，這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．若取正整數，根據上述運算法則得出，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），則當時，需要（）步“雹程”？A.13 B.16 C.19 D.21〖答案〗B〖解析〗時，根據上述運算法則得出：共需經過16個步驟變成1.故選：B5.已知函數，則經過點且與曲線在該點切線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，又，所以所求直線方程為，即.故選：B6.用半徑為的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，當容器的容積最大時（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，那么，因此，，令得，當時，，當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，時，取得極大值，并且這個極大值即是最大值．把代入，得（負值舍去），由，解得，即圓心角為弧度時，容器的容積最大.故選：A.7.已知函數的定義域為，且恒成立，則不等式的解集為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因為即，則，所以在上單調遞增，故若，即，即，由單調性可得，，所以不等式的解集為.故選：B.8.經過曲線與的公共點，且與曲線和的公切線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，消去整理得，令，則，所以在上單調遞增，又，所以方程組的解為，即曲線與的公共點的坐標為，設與和分別相切于，，而，，，，，解得，，即公切線的斜率為，故與垂直的直線的斜率為，所以所求直線方程為，整理得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知首項為正數的等差數列的前項和為，公差為，若則（）A. B.若，則C.時，的最小值為27 D.最大時，〖答案〗ABC〖解析〗對于A，首項為正數的等差數列的前項和為，所以，若，則一定大于零，不符合題意，所以，，故A正確；對于B，由，，可得，即，解得，故B正確；對于C，，，所以時，的最小值為27，故C正確；對于D，由A可知，因為，，可知，即當時，，當時，，所以時，取最大值，故D錯誤.故選：ABC.10.數列1，1，2，3，5，8，13…是意大利數學家萊昂納多·斐波那契在他寫的《算盤全數》中提出的，所以它常被稱作斐波那契數列．該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它的前面兩個數的和．記斐波那契數列為，其前項和為，則（）A. B.是偶數C. D.〖答案〗AB〖解析〗依題意可得，，，，，，，，，，可得A正確；由上述計算，觀察分析發現，這個數列的數字是按照奇數、奇數、偶數這三個一組循環排列的，而，可得是偶數，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB．11.已知定義在實數集上的函數的導函數為，且滿足，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗易知，故，故，則，而對于，兩側同時求導得，故可視為以為首項，以1為公差的等差數列，故，其前項和為，對于A，顯然，故A正確，對于B，顯然，故B正確，對于C，顯然，故C錯誤，對于D，顯然，故D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則_________．〖答案〗〖解析〗由題，所以，則.故〖答案〗為：.13.已知函數在處取得極小值，且，若值域為，則其定義域可以為_____________．（寫出一個符合條件的即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗由題意知，，因為函數在處取得極小值，且，所以，解得，所以，令或，所以函數在上單調遞減，在、上單調遞增，故函數在處取得極小值，在處取得極大值，且，令，則，解得，若滿足的值域為，則定義域可以為.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一)14.若數列滿足，若，抽去數列的第3項、第6項、第9項、、第項、，余下的項的順序不變，構成一個新數列，則數列的前100項的和為_________________．〖答案〗〖解析〗由，得，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以，設數列的前項的和為，則.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）當的圖象與軸相切時，求實數的值；（2）若關于的方程有兩個不同的實數根，求的取值范圍．解：（1）由題意設切點為，，則，解得，所以；（2）函數的定義域為，關于的方程有兩個不同的實數根，即方程有兩個不同的實數根，即函數的圖象有兩個不同的交點，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又當時，，當時，且，作出函數的大致圖象，如圖所示，由圖可知，所以.16.已知數列的首項，前項和為，且，．（1）證明：數列為等差