人教A版

數學

選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時用空間向量研究直線、平面的垂直關系自主預習新知導學空間中直線、平面的垂直1.空間中直線、平面的垂直

2.(1)若直線l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(

)A.l∥α B.l⊥αC.l?α

D.l與α斜交(2)若平面α,β的法向量分別為m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,則x的值為(

)解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,∴n∥a.∴l⊥α.(2)∵α⊥β,∴它們的法向量互相垂直.∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故選B.答案:(1)B

(2)B合作探究釋疑解惑探究一利用向量證明線線垂直【例1】

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1,M是底面上BC邊的中點,N是側棱CC1上的點,且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.則{a,b,c}構成空間的一個基底.由已知條件和正三棱柱的性質,得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0.證法二:設線段AB的中點為O,連接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于點O1.由題意知,可以以O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.反思感悟

利用空間向量證明兩條直線垂直的常用方法及步驟:(1)基向量法①選取三個不共線的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個基底;②把兩條直線的方向向量用基底表示;③利用向量的數量積運算,計算出兩直線的方向向量的數量積為0;④由方向向量垂直得到兩條直線垂直.(2)坐標法①根據已知條件和圖形特征,建立適當的空間直角坐標系,正確地寫出各點的坐標;②根據所求出點的坐標求出兩條直線方向向量的坐標;③計算兩條直線方向向量的數量積為0;④由方向向量垂直得到兩直線垂直.【變式訓練1】

如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中點.在DD1上是否存在一點N,使MN⊥DC1?并說明理由.

解:存在點N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),C1(0,2,3),M.假設在DD1上存在一點N,使MN⊥DC1.設N(0,0,h),0≤h≤3,探究二利用向量證明線面垂直【例2】如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為棱CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.證明:如圖所示,取BC的中點O,連接AO.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.又因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.又因為BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.(方法二)設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),本例中增加條件:E,F分別是BC,BB1的中點,求證:EF⊥平面ADE.證明:建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz,所以EF⊥EA,EF⊥ED.又因為EA∩ED=E,所以EF⊥平面ADE.反思感悟

1.坐標法證明線面垂直的兩種思路思路一:(1)建立空間直角坐標系;(2)將直線的方向向量用坐標表示;(3)找出平面內兩條相交直線,并用坐標表示它們的方向向量;(4)分別計算兩組向量的數量積,得到數量積為0.思路二:(1)建立空間直角坐標系;(2)將直線的方向向量用坐標表示;(3)求出平面的法向量;(4)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.2.使用坐標法證明時,如果平面的法向量很明顯,可以用思路二,否則常常選用思路一解決.【變式訓練2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1B,DC的中點,求證:AE⊥平面A1D1F.證明:建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設正方體的棱長為1,取z=1,則y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一個法向量.探究三利用向量證明面面垂直【例3】

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC中點.證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明:建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1.因為BC?平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.因為n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.反思感悟

1.利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得證面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優越性主要體現在不必考慮圖形的位置關系,恰當建系或用基向量表示后,只需經過向量運算就可得到要證明的結果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.【變式訓練3】

在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點,求證:平面BEF⊥平面ABC.證明:建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz.∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,且CD?平面BCD,∴AB⊥CD.又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.設n=(x,y,z)是平面BEF的法向量,【規范解答】

【典例】

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,C1B1的中點,G為CC1上任一點,tan∠ECD=4.(1)求證:AG⊥EF;(2)確定點G的位置,使AG⊥平面CEF,并說明理由.審題策略:(1)建立空間直角坐標系,利用向量法證明;(2)假設存在,設出點G的坐標,利用線面垂直這個條件求解.規范展示:因為ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以四邊形ABCD是正方形,設其邊長為2a.∠ECD是EC與底面所成的角,而∠ECD=∠CEC1,已知tan∠ECD=4,所以CC1=4EC1=4a.以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),C(2a,2a,0),C1(2a,2a,4a),E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),答題模板:第1步:設出正方形的邊長,計算棱柱的高?第2步:建立空間直角坐標系?第3步:求相關點的坐標?第4步:求出直線的方向向量的坐標,利用方向向量垂直,證明線線垂直?第5步:根據點G在CC1上,設出點G的坐標?第6步:利用AG⊥CE,對應向量的數量積為0,列出等式,得到點G