高級中學名校試卷PAGEPAGE2黑龍江省九校聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯合考試數學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小顆選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，.故選：D.2.已知數列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C3.函數的單調遞增區間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，函數的定義域為，則，令，解得，所以，函數的單調遞增區間為.故選：B.4.已知等比數列的前項和為，若，則（）A.16 B.17 C.18 D.20〖答案〗C〖解析〗因為為等比數列，所以，且，所以，則.故選:C.5.設函數，若，則實數m的值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以即，解得，所以，由，得.故選：A6.第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，二十大報告提出：尊重自然、順應自然、保護自然，是全面建設社會主義現代化國家的內在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發展．某市為了改善當地生態環境，計劃通過五年時間治理市區湖泊污染，并將其建造成環湖風光帶，預計第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A.781萬元，60萬元 B.525萬元，200萬元C.781萬元，200萬元 D.1122萬元，270萬元〖答案〗C〖解析〗由題意知這五年投入的資金構成首項為81，公比為，項數為5的等比數列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年的旅游收入構成首項為20，公差為10，項數為5的等差數列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．7.已知定義在上的函數，其導函數為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，且定義域為，所以可構造函數，則，所以為增函數，則，則，故B正確.故選：B.8.已知等差數列和等差數列的前項和分別為和，且，則使得為整數的正整數的個數為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因為等差數列和等差數列的前項和分別為和，所以，又，所以，因此要為整數，當且僅當是正整數，又，則是36的大于1的約數，又36的非1的正約數有2，3，4，6，9，12，18，36，共8個，則的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8個，所以使得為整數的正整數的個數為8.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知定義域為的函數的導函數為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調遞減 B.有極小值C.有3個極值點 D.在處取得最大值〖答案〗ABC〖解析〗由的圖象可知時，，則單調遞減，故A正確；又時，，則單調遞增，所以當時，有極小值，故B正確；由的圖象可知時，有極值，所以有3個極值點，故C正確；當時，，則單調遞增，所以，則在處不能取得最大值，故D錯誤．故選：ABC．10.已知等比數列前項積為，公比，則（）A. B.C.當時，最小 D.當時，最大〖答案〗BC〖解析〗對于選項A，B：由題意知，由，得，所以，得，所以，且，所以，故A錯誤，B正確.對于選項C，D：因為，，所以數列為遞增數列，且當時，，當時，，所以當時，最小，故C正確，D錯誤.故選：BC11.已知，若關于x的方程恰好有6個不同的實數解，則a的取值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗當時，，.，為增函數,，為減函數,且.其簡圖如下，設，由圖可知當時，方程有三個根，因為方程恰好有6個不同的實數解，所以在上有兩個不等的實數根，則，解得.故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的圖象在點處的切線為，則直線的傾斜角為___________．〖答案〗〖解析〗因為，其中，則，則，設直線的傾斜角為，則，所以．故〖答案〗為：.13.記為數列的前項和，為數列的前項積，若，且，則____，當取得最小值時，___.〖答案〗①②6〖解析〗由題意知，因為，所以，故為公比為的等比數列，由得，，解得，所以，則，當取得最小值時，則為奇數，且取得最小值，所以或（舍）.故〖答案〗為：；14.在各項均為正數的等差數列中，，，，成等比數列，保持數列中各項先后順序不變，在與（）之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前項和為，則______.〖答案〗348〖解析〗設公差為，由題意得，即，解得，解得或（舍去），故，，則，，，，，，，，，，，，故故〖答案〗為：348四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，且.（1）求的值；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切點為，又切線的斜率為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即.16.已知數列是單調遞增的等比數列，數列是等差數列，且．（1）求數列與數列的通項公式；（2）求數列前項和．解：（1）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，由得即即，解得或．當時，，不滿足單調遞增，當時，，滿足單調遞增，故，所以．又，所以，所以，即數列與數列的通項公式為，（2）利用等比數列前項和公式可得，數列的前項和為，數列的前項和為，所以數列的前項和，即17.已知函數在處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若存在，使得成立，求實數t的取值范圍．解：（1），因為函數在處取到極值，所以，即，解得．經檢驗，當，時，在處取到極值，所以，．（2）因為存在，使得成立，所以，由（1）知，，令，得或，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．所以．又，所以，所以．所以實數t的取值范圍是．18.已知數列的首項且滿足．（1）證明：是等比數列；（2）數列滿足，，記，求數列的前n項和．解：（1）由題意，得，所以，又，所以，所以，所以是首項為3，公比為3的等比數列．（2）由（1），得，所以，由，得，所以，，…，，當時，；當時，，滿足上式，所以，，所以，①，②①-②得，所以．19.給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱為函數的.“固點”.經研究發現所有的三次函數都有“固點”，且該“固點”也是函數的圖象的對稱中心.根據以上信息和相關知識回答下列問題：已知函數.（1）當時，試求的對稱中心.（2）討論的單調性；（3）當時，有三個不相等實數根，當取得最大值時，求的值.解：（1），，，令，，，故的對稱中心為.（2），令，則，，當時，，恒成立，所以函數在上單調遞增；當時，，在，上，，函數在，上單調遞增，在上，，所以函數在上單調遞減；當時，，在，上，，函數在，上單調遞增，在上，，函數在上單調遞減.綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.（3），，令，，，所以對稱中心為，當和時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；；，要使得有三個解，故，，且，，是方程的根，由于對稱性，為了簡化研究，只研究的情況，，根據常數項知：，根據對稱性知：，，且，故，即，.當時，取得最大值，此時.黑龍江省九校聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯合考試數學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小顆選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，.故選：D.2.已知數列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C3.函數的單調遞增區間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，函數的定義域為，則，令，解得，所以，函數的單調遞增區間為.故選：B.4.已知等比數列的前項和為，若，則（）A.16 B.17 C.18 D.20〖答案〗C〖解析〗因為為等比數列，所以，且，所以，則.故選:C.5.設函數，若，則實數m的值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以即，解得，所以，由，得.故選：A6.第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，二十大報告提出：尊重自然、順應自然、保護自然，是全面建設社會主義現代化國家的內在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發展．某市為了改善當地生態環境，計劃通過五年時間治理市區湖泊污染，并將其建造成環湖風光帶，預計第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A.781萬元，60萬元 B.525萬元，200萬元C.781萬元，200萬元 D.1122萬元，270萬元〖答案〗C〖解析〗由題意知這五年投入的資金構成首項為81，公比為，項數為5的等比數列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年的旅游收入構成首項為20，公差為10，項數為5的等差數列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．7.已知定義在上的函數，其導函數為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，且定義域為，所以可構造函數，則，所以為增函數，則，則，故B正確.故選：B.8.已知等差數列和等差數列的前項和分別為和，且，則使得為整數的正整數的個數為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因為等差數列和等差數列的前項和分別為和，所以，又，所以，因此要為整數，當且僅當是正整數，又，則是36的大于1的約數，又36的非1的正約數有2，3，4，6，9，12，18，36，共8個，則的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8個，所以使得為整數的正整數的個數為8.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知定義域為的函數的導函數為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調遞減 B.有極小值C.有3個極值點 D.在處取得最大值〖答案〗ABC〖解析〗由的圖象可知時，，則單調遞減，故A正確；又時，，則單調遞增，所以當時，有極小值，故B正確；由的圖象可知時，有極值，所以有3個極值點，故C正確；當時，，則單調遞增，所以，則在處不能取得最大值，故D錯誤．故選：ABC．10.已知等比數列前項積為，公比，則（）A. B.C.當時，最小 D.當時，最大〖答案〗BC〖解析〗對于選項A，B：由題意知，由，得，所以，得，所以，且，所以，故A錯誤，B正確.對于選項C，D：因為，，所以數列為遞增數列，且當時，，當時，，所以當時，最小，故C正確，D錯誤.故選：BC11.已知，若關于x的方程恰好有6個不同的實數解，則a的取值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗當時，，.，為增函數,，為減函數,且.其簡圖如下，設，由圖可知當時，方程有三個根，因為方程恰好有6個不同的實數解，所以在上有兩個不等的實數根，則，解得.故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的圖象在點處的切線為，則直線的傾斜角為___________．〖答案〗〖解析〗因為，其中，則，則，設直線的傾斜角為，則，所以．故〖答案〗為：.13.記為數列的前項和，為數列的前項積，若，且，則____，當取得最小值時，___.〖答案〗①②6〖解析〗由題意知，因為，所以，故為公比為的等比數列，由得，，解得，所以，則，當取得最小值時，則為奇數，且取得最小值，所以或（舍）.故〖答案〗為：；14.在各項均為正數的等差數列中，，，，成等比數列，保持數列中各項先后順序不變，在與（）之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前項和為，則______.〖答案〗348〖解析〗設公差為，由題意得，即，解得，解得或（舍去），故，，則，，，，，，，，，，，，故故〖答案〗為：348四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，且.（1）求的值；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切點為，又切線的斜率為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即.16.已知數列是單調遞增的等比數列，數列是等差數列，且．（1）求數列與數列的通項公式；（2）求數列前項和．解：（1）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，由得即即，解得或．當時，，不滿足單調遞增，當時，，滿足單調遞增，故，所以．又，所以，所以，即數列與數列的通項公式為，（2）利用等比數列前項和公式可得，數列的前項和為，數列的前項和為，所以數列的前項和，即17.已知函數在處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若存在，使得成立，求實數t的取值范圍．解：（1），因為函數在處取到極值，所以，即，解