第七章三角函數正切函數的性質與圖象人教B版

數學

必修第三冊課程標準1.能畫出正切函數的圖象.2.會利用y=tanx的性質確定與正切函數有關的函數性質.3.會利用正切函數的單調性比較函數值大小.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1正切函數的性質與圖象1.對于任意一個角x,只要

,就有

的正切值tanx與之對應,因此y=tanx是一個函數,稱為

.

2.正切函數的性質函數y=tanx定義域

值域

周期周期為

奇偶性

單調性在每一個開區間

上都是單調遞增的

零點

(k∈Z)

唯一確定

正切函數

Rπ奇函數

kπ3.正切函數的圖象(1)正切函數的圖象:(2)正切曲線:y=tanx的函數圖象稱為

.正切曲線是中心對稱圖形,其對稱中心為(,0)(k∈Z).

注意正切函數的對稱中心不僅僅是圖象與x軸的交點

正切曲線

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數y=tanx在其定義域上是增函數.(

)(2)函數y=tanx的圖象的對稱中心是(kπ,0)(k∈Z).(

)(3)函數y=tan2x的周期為π.(

)×××2.[人教A版教材習題]求函數y=tan3x的定義域.知識點2正切型函數y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性質

1.定義域:將ωx+φ視為一個整體,令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.2.值域:

.

3.周期性:周期

.

4.奇偶性:當

(k∈Z)時為奇函數,否則,不具備奇偶性.

5.單調性:將

視為一個整體,若ω<0,一般先用誘導公式化為ω>0,使x的系數為正值,然后求單調區間.

Rωx+φ過關自診

重難探究·能力素養全提升探究點一正切函數的定義域、周期性、對稱中心【例1】

[北師大版教材習題]求下列函數的定義域、周期:(2)y=tan4x;C變式訓練1(1)[2023河北桃城校級一模]已知f(x)=2tan(ωx+φ)(ω>0,

DA探究點二正切函數單調性問題【例3】

(1)求函數y=tan的單調區間.分析

由于x的系數小于零,故應將其進行變形,化為系數為正,再根據正切函數單調性求解.(2)[北師大版教材例題]比較下列各組中三角函數值的大小:分析

可利用正切函數單調性進行比較.規律方法

求正切型函數單調區間的方法求y=Atan(ωx+φ)的單調區間,只需令kπ-<ωx+φ<kπ+

(k∈Z)解出x即可,但ω<0時,應用誘導公式化為正的,還要注意A的正負對單調性的影響.B(2)若函數y=tanωx在

上單調遞減,則實數ω的取值范圍是

.

(-2,0)探究點三求函數的值域分析利用換元法,將原函數化為二次函數的形式來解決.規律方法

換元法求值域的關注點使用換元法求函數值域時,一定要注意換元后自變量的取值范圍.成果驗收·課堂達標檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎練A12345678910111213141516D12345678910111213141516C12345678910111213141516BC1234567891011121314151612345678910111213141516BC123456789101112131415166.[探究點一·2023陜西寶雞期末]已知函數f(x)=2tan()-1,則f(x)圖象的對稱中心為

.

12345678910111213141516

(填“>”或“<”).

>123456789101112131415168.[探究點一、二·2023北京通州期末]已知函數

.(1)求函數f(x)的定義域;(2)求函數f(x)的最小正周期;(3)求函數f(x)的單調區間.123456789101112131415169.[探究點三]求函數y=-tan2x+2tanx+5,x∈[-)的值域.12345678910111213141516B級關鍵能力提升練10.函數f(x)=sinxtanx(

)A.是奇函數B.是偶函數C.是非奇非偶函數D.既是奇函數又是偶函數B由f(-x)=sin(-x)tan(-x)=(-sin

x)(-tan

x)=sin

xtan

x=f(x),則f(x)是偶函數.故選B.12345678910111213141516A12345678910111213141516BD1234567891011121314151613.下列6個函數:①y=|sinx|,②y=sin|x|,③y=|cosx|,④y=cos|x|,⑤y=|tanx|,⑥y=tan|x|,其中周期為π的偶函數的編號為

.

①③⑤解析

①y=|sin

x|,②y=sin|x|,③y=|cos

x|,④y=cos|x|,⑤y=|tan

x|,⑥y=tan|x|都是偶函數,由函數的圖象(圖略),可知y=|sin

x|,y=|cos

x|,y=|tan

x|的周期都是π,y=sin|x|,y=tan|x|不是周期函數,y=cos|x|=cos

x,周期為2π.1234567891011121314151614.已知f(x)=atan-bsinx+4(其中a,b為常數,且ab≠0),若f(3)=5,則f(2018π-3)