更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學函數奇偶性，單調性等12類問題匯總TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一求解析式題型二求定義域題型二值域問題題型三奇函數與偶函數混合求值，求解析題型四由函數單調性求參數范圍（分式型，復雜根式型）題型五由單調性解函數不等式題型六解奇函數不等式（移項，結合圖像）題型七解偶函數不等式（加絕對值）題型八解分段函數不等式（畫圖）題型九利用單調性，奇偶性比大小題型十利用函數的奇偶性、單調性求函數的最值題型十一函數圖像的識別題型十二畫函數圖像求函數解析式常用方法有：待定系數法，換元法，方程組法，還有一類題型是結合奇偶性已知半邊解析式求另一半二．函數的定義域：一般要注意分母和偶次根號的限制等等，由幾個式子構成的函數，則定義域是各部分定義域的交集．容易忽略的還有分數型指數冪盡量化成根式來觀察，比如求函數的定義域三．函數的值域：（1）本章主要探討復雜根式型函數和分式型函數兩種，指數型和對數型復合函數放在后面章節遇到復雜根式型函數一般考慮換元，遇到分式型函數一般分離常數，（2）若求某區間上的值域，需要先分析函數在該區間上的單調性，而不是比較區間兩端函數值本號資料全部來源于微信公眾號：數學#第六感(3)若函數在某區間上不單調，那么需要比較區間兩端的函數值從而得出最終的值域四．求函數單調區間：（1）先考慮函數的定義域，注意作答時寫單調區間不能用“∪”并集，而是用“，”逗號隔開（2）解答題求函數單調性用作差法，注意提公因式，比如（3）選填一般不用作差法而是通過邏輯上的關系直接判斷，比如：增函數+增函數=增函數，增函數－減函數=增函數等五．已知單調性求參數范圍：利用集合間的包含關系處理，在上單調，則區間是相應單調區間的子集，且需要注意端點的取舍六．解函數不等式：（1）先考慮函數的定義域，再結合奇偶性單調性脫掉“f”若是奇函數一般需要移項再脫“f”，若是偶函數一般脫“f”后加絕對值，再平方去絕對值（2）數形結合法，畫出函數的大致圖像七、函數圖象的平移，對稱，翻折（1）平移變換：左加右減，上加下減①進行上下平移a個單位； ②進行左右平移a個單位（2）對稱變換①關于y軸對稱； ②關于x軸對稱③關于原點軸對稱； ③關于直線x＝a對稱⑤關于y＝x對稱（3）的翻折變換①把x軸下方部分翻折到上方，x軸及上方部分不變②把y軸左側部分去掉，再把y軸右側部分翻折到左側，右側不變【練習熟練】要得到的圖像：第①步：；第②步：；第③步：本號*資料全部來源于微信公眾號*：數學第六感要得到的圖像：①；②；③要得到的圖像：①②要得到的圖像：①②七、復合函數問題：同增異減單調性：先看定義域，再拆分為內層函數和外層函數，利用同增異減來判斷復合函數的單調性復合函數的奇偶性：先看定義域是否關于原點對稱，再拆分為內層函數和外層函數，利用“內偶則偶，內奇同外”進行判斷，即若內層函數為偶函數，則復合函數為偶函數，若內層函數為奇函數，則復合函數的奇偶性取決于外層函數的奇偶性，若外層函數為奇函數，則復合函數為奇函數，若外層函數為偶函數，則復合函數為偶函數.八、函數圖象的識別對于函數圖象的識別，要抓住函數的性質,定性分析，一般有以下方法:(1)根據函數的定義域判斷圖象的左右位置;根據函數的值域判斷圖象的上下位置;(2)根據函數的單調性判斷圖象的變化趨勢;(3)根據函數的周期性判斷圖象的循環往復﹔(4)根據函數的奇偶性判斷圖象的對稱性;(5)根據函數的特殊點排除不符合要求的圖象九、函數圖象的畫法及應用華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征1．利用函數的圖象可以直觀觀察求函數值域、最值、單調性、奇偶性，漸近線等，重點是一次函數、二次函數、反比例函數及冪函數圖象．2．掌握簡單的基本函數圖象，提升直觀想象和數據分析素養．畫函數圖象的主要方法有描點法和先研究函數性質再根據性質畫圖，一旦有了函數圖象，可以使問題變得直觀，但仍要結合代數運算才能獲得精確結果．本號資料全部來*源于微信公眾號：數學第六*感題型一求解析式建立方程組求解析式（2023上·浙江杭州·高一校聯考）已知定義在上的函數滿足，則函數的解析式.【答案】【思路點撥】根據已知把換成，建立方程組求解.【詳解】因為，把換成有：，聯立，解得.（2023上·廣東廣州·高一廣東廣雅中學校考）已知，則.【答案】【思路點撥】令，得到，進而求得函數的解析式.【詳解】令，則且，所以，所以函數的解析式為（2023上·廣東深圳·高一校考）已知函數滿足，且，則.【答案】【思路點撥】用替換,再解方程組可得答案.【詳解】由①，用替換，得②，①×2－②，得，得.待定系數法求解析式已知二次函數滿足，且.求的解析式【答案】【思路點撥】設，利用建立恒等式求解即可；【詳解】設二次函數（），因為，所以.由，得，得，所以，得，故.若二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區間[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，實數m的取值范圍.本號資料全部來源*于微信公眾號：#數學第六感【答案】（1）；（2）m＜0【分析】（2）轉化為在[-1,1]上恒成立問題，找其在[-1,1]上的最小值讓其大于0即【解答】解：（1），由f(0)＝1得c＝2，故．因為f(x＋1)－f(x)＝2x，所以即2ax＋a＋b＝2x，所以EQ\B\lc\{(\a\al(2a＝2,a＋b＝0))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(a＝1,b＝－1))，所以（2）由題意得在[－1,1]上恒成立．即EQx\S\UP6(2)－3x＋1－m＞0在[－1,1]上恒成立．設g(x)＝其圖象的對稱軸為直線x＝EQ\F(3,2),所以g(x)在[－1,1]上遞減．故只需最小值g(1)＞0,即解得m＜0．已知一半求另一半解析式（2023上·湖南長沙·高一雅禮中學校考）設f(x)是奇函數，當x＞0時，f(x)＝log2x，則當x＜0時，f(x)的表達式為．【答案】f(x)＝－log2(－x)【思路點撥】由題意結合奇函數的性質確定函數的表達式即可.【詳解】設，則，結合奇函數的定義可知：若是定義在上的奇函數，當時，，則當時，.【答案】【思路點撥】根據奇函數的定義進行求解即可.【詳解】因為是定義在上的奇函數，所以當時，題型二求定義域抽象函數定義域已知定義域為，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為定義域為，所以函數的定義域為，所以，的定義域為需滿足，解得.所以，的定義域為，故選：A已知函數的定義域是，則函數的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以．故選：D已知的定義域為，則的定義域為________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.即的定義域為.函數的定義域是，則函數的定義域是______．【答案】.【解析】因為函數的定義域是，所以，解得或，則函數的定義域是.復雜根式型函數定義域函數的定義域為()A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2).已知函數的定義域為，則函數的定義域為______【答案】【解析】由函數的定義域是，得到，故即，解得:；所以原函數的定義域是：.函數的定義域為________【答案】【解析】題型二值域問題換元法求值域（2023上·湖南長沙·高一長郡中學校考）函數的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】設，化簡函數為，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】設，則，且，則函數可化為，所以函數的值域為（2023上·河北滄州·高一校聯考）函數的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據換元法以及二次函數的性質求解結果.【詳解】令，則．設函數，當時，取最大值9．因為，所以．函數的值域為.函數的值域是．【答案】【思路點撥】通過變量代換將函數轉化為二次函數，利用二次函數的圖象與性質分析運算即可得解.【詳解】解：由題意，函數的定義域為，令，則，，函數轉化為，，∵，對稱軸為，最大值為，∴當時，，即值域為，∴函數的值域是.求函數的值域.【答案】．【思路點撥】令，（），從而把求值域問題轉化為求的值域問題，利用二次函數性質求解值域即可.【詳解】函數，令，（），那么，則函數轉化為，整理得：（），根據二次函數的性質可知：的開口向上，對稱軸，故當時，函數取得最小值為，無最大值，即，所以函數的值域為.（2023·蘇州中學高一校考）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】令，，可得，利用函數單調性求值域.【詳解】令，，則，所以函數，函數在上單調遞增，時，有最小值，所以函數的值域為.分離常數求值域（2023上·廣西南寧·高一南寧三中校考）若，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】將函數變現為，結合反比例函數的性質計算可得.【詳解】因為，又因為，所以，所以，所以，所以函數，的值域為．已知值域求參數范圍（2023·襄陽市第一中月考）已知函數的值域為，求實數k的取值范圍．【答案】【思路點撥】根據函數的值域為，可得是函數的值域的子集，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因為函數的值域為，所以是函數的值域的子集，當時，，符合題意，當時，則，解得，綜上所述，.若函數的值域為，則實數m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據題意由二次函數值域利用判別式即可求得實數m的取值范圍.【詳解】因為函數的值域為，所以能取遍所有大于或等于零的實數，本號資料全部來源#于微信公眾號：數學第六感即方程在實數范圍內有解．所以，解得．（2023·山東省實驗中學高一校考）已知函數的定義域與值域均為，則實數的取值為（

）A．-4 B．-2 C．1 D．1【答案】A【思路點撥】依題意知的值域為，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當時，取得最大值為，進而解得.【詳解】依題意，的值域為，且的解集為，故函數的開口向下，，則方程的兩根為或，則，，即，則，當時，取得最大值為，即，解得：.（2023上·寧波·余姚中學高一校考）已知函數的值域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】首先求出函數的定義域，再利用抽象函數的定義域求解【詳解】由值域為，得，故，即的定義域為，令得，故的定義域為（2023·江蘇·高一假期作業）已知函數y＝的定義域為（－∞,＋∞），值域為[1，9]，則m的值為，n的值為．【答案】55【思路點撥】可將整理為,因為,由，則，即，則關于y的一元二次方程的兩根為1和9，利用韋達定理求解；同時,時也成立.【詳解】由,得,由，得若，則,即,由知，關于y的一元二次方程的兩根為1和9,故有，解得.當時,也符合題意,∴.題型三奇函數與偶函數混合求值，求解析已知分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【思路點撥】根據函數的奇偶性可知，代入解析式中即可.【詳解】已知分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且，則【答案】【思路點撥】由已知，根據的奇偶性可得，進而求．【詳解】由題意，，∴，即，∴（2023上·廣東深圳·高一深圳中學校考）已知和分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】根據奇函數與偶函數的性質即可代入和求解.【詳解】因為為奇函數，為偶函數，所以由有，又，所以，，所以．已知為R上的偶函數，為R上的奇函數，且，則f（2）=.【答案】【思路點撥】根據奇偶性構造方程組，解方程組即可求出結果.【詳解】由題意知，因為函數為R上的偶函數，為R上的奇函數，所以，所以，因此，兩式相加得，即.所以（2023上·湖南長沙·高一湖南師大附中校考）已知是奇函數，是偶函數，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】利用函數奇偶性的定義可得出、的方程組，解出函數的解析式，分析函數的單調性，結合可得出關于的不等式，即可得出原不等式解集.#本號資料全部來源于微信公眾號*：數學第六感【詳解】因為①，且是奇函數，是偶函數，則，即②，由①②可得，因為函數、均為上的增函數，所以，函數為上的增函數，由，可得，解得.因此，不等式的解集是.（2023上·江蘇宿遷·高一統考期末）已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足．若恒成立，則實數的取值范圍為（

）本#號資料全部來源于微信公眾號：數學第六感A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】首先利用方程組法求出、的解析式，再判斷的單調性，則問題轉化為恒成立，參變分離求出，即可得解.【詳解】因為，分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，，因為，①所以，所以，②①②得，，因為在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，所以在上單調遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以（當且僅當，即時取等號），所以（當且僅當時，取等號），所以，所以的取值范圍為題型四由函數單調性求參數范圍（分式型，復雜根式型）（2023上·湖南衡陽·高一衡陽市八中校考期末）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A．，， B．C．，， D．，，【答案】C【思路點撥】先用分離常數法得到，由單調性列不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】解：根據題意，函數，若在區間上單調遞減，必有，解可得：或，即的取值范圍為，，函數在區間上單調遞減，則的取值范圍為.【答案】【思路點撥】根據復合函數單調性同增異減求得的取值范圍.【詳解】依題意，在區間上單調遞減，所以，即，解得，所以的取值范圍是.若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為．【答案】【思路點撥】由題設，結合二次函數性質確定開口和對稱軸，討論、，應用復合函數單調性判斷的增區間，結合已知求參數范圍.【詳解】由題設，對于，開口向上且對稱軸為，而對于在定義域上遞增，當，則定義域為，故在上遞減，在上遞增，此時在上遞增，結合題設遞增區間，有，顯然恒成立；本號資料全部#來源于微信公眾號：數學第六感當，則定義域為，故在上遞減，在上遞增，此時在上遞增，結合題設遞增區間，有，綜上，實數的取值范圍為.已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是．【答案】.【詳解】當時，在區間上單調遞減，符合題意；當時，函數圖象的對稱軸為直線，因為f（x）在區間上單調遞減，所以，得，所以；當時，函數在區間上單調遞減，符合題意．綜上，實數的取值范圍為.（2023上·江蘇無錫·高一校聯考）已知函數在上具有單調性，則實數的取值范圍是.【答案】【思路點撥】利用二次函數單調性，比較對稱軸與區間的位置關系即可解得實數的取值范圍是.【詳解】由題意可知，二次函數的對稱軸為，若在上單調遞增可知，解得；若在上單調遞減可知，解得；所以實數的取值范圍是.（2023上·陜西安康·高一統考）已知函數對任意兩個不相等的實數，都有不等式成立，則實數的取值范圍是.【答案】【思路點撥】根據題意可知在上為增函數，令，那么問題轉化為函數在上為增函數，且在上恒成立，討論是否為零，列出不等式求解即可.【詳解】因為對任意兩個不相等的實數，都有不等式成立，所以函數在上為單調遞增函數，令，則函數在上為單調遞增函數，且在上恒成立，當時，，因為在時，，不合題意，舍去；當時，則，解得：，所以實數的取值范圍是.題型五由單調性解函數不等式（2023上·寧夏育才中學高一校考）函數的定義域為，且在定義域內是增函數，若，則的取值范圍是．【答案】【思路點撥】根據函數的單調性逆用解抽象不等式.【詳解】由得，因為函數的定義域為，且在定義域內是增函數，所以，解得，所以的取值范圍是.已知函數，若，則實數的取值范圍是．【答案】【思路點撥】由函數定義域及單調性建立不等式組求解即得.【詳解】由題意知，在其定義域上單調遞增，由，得，又，簡化不等式組為,解得，或.即實數的取值范圍是.（2023上·湖南常德·高一常德市一中校考）函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點撥】方法一：不妨設，解即可得出答案.方法二：取，則有，又因為，所以與矛盾，即可得出答案.方法三：根據題意，由函數的奇偶性可得，利用函數的單調性可得，解不等式即可求出答案.【詳解】［方法一］：特殊函數法由題意，不妨設，因為，所以，化簡得．故選：D.［方法二］：【最優解】特殊值法假設可取，則有，又因為，所以與矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故選：D.［方法三］：直接法根據題意，為奇函數，若，則，因為在單調遞減，且，所以，即有：，解可得：（2023上·長郡中學校高一期末）（多選）已知函數是奇函數，下列選項正確的是（

）A．B．函數在上的值域為C．，且，恒有D．若，恒有充分不必要條件為【答案】ACD【思路點撥】對于A，根據可求的值，驗證即可；對于B，由，可得為增函數，從而可求值域；對于C，根據函數的單調性即可判斷；對于D，根據函數的單調性可轉化為對于恒成立，求出其成立的充要條件，根據集合間的包含關系及充分不必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為函數是奇函數，且定義域為，所以，解得.當時，，則，故函數是奇函數，故A正確；因為在上單調遞增，且，所以函數在上的值域為，故B錯誤；因為單調遞增，所以，且，恒有，故C正確；因為單調遞增，所以可轉化為，即對于恒成立.當時，不恒成立，不符合題意；當時，可得，解得.故，恒有的充要條件為.因為，所以，恒有充分不必要條件為，故D正確.已知函數是定義在上的單調函數，且對任意的實數，有，則不等式的解集是.【答案】【思路點撥】由題意可知，存在唯一實數，使得，則，可得出，利用函數單調性求出的值，令，分析函數的單調性，結合單調性可得出不等式的解集.【詳解】因為函數是定義在上的單調函數，則存在唯一實數，使得，又因為，則，則，所以，，因為函數、均為上的增函數，所以，函數在上為增函數，且，故，所以，，因為函數在上為增函數，設，其中，則函數在上為增函數，且，當時，由可得，則，當時，，，則恒成立，所以，不等式的解集為題型六解奇函數不等式（移項，結合圖像）（2023上·廣東深圳·高一深圳外國語學校校考）設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為奇函數在上為增函數,所以在上也是增函數,且,從而在定義域上的大致圖象為：所以的解為:,或設函數f(x)為奇函數，且在(－∞，0)上是減函數，若f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)【答案】C【解析】利用函數的性質畫出函數f(x)的簡圖如圖，所以不等式xf(x)<0可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0，))由圖可知x>2或x<－2，故選C. 奇函數f(x)是定義在(－1,1)上的減函數，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求實數m的取值范圍．【答案】(1,2)【詳解】原不等式化為f(m－1)<－f(3－2m)．因為f(x)是奇函數，所以f(m－1)<f(2m－3)．因為f(x)是減函數，所以m－1>2m－3，所以m<2.又f(x)的定義域為(－1,1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2.綜上得1<m<2.故實數m的取值范圍是(1,2)．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）已知是定義在R上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】根據函數的奇偶性以及當時，，判斷函數單調性，作出其大致圖像，數形結合，結合對數函數性質，解不等式，即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的奇函數，故，當時，，此時在上單調遞增，且過點，則當時，在上單調遞增，且過點，作出函數的大致圖像如圖：則由可得或，解得或，即的解集為（2023·江蘇徐州·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是.【答案】【思路點撥】利用奇偶性求出函數的解析式，分類討論即可求解.【詳解】當時，，所以，因為函數是定義在R上的奇函數，所以，所以當時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考）已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據題意結合奇函數的性質分析的符號，進而解不等式.【詳解】當時，令，可知：當時，；當時，；又因為是奇函數，可知：當時，；當時，；對于不等式，則或，可得或，所以不等式的解集為已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據函數的奇偶性求出函數的表達式，分段討論解不等式即可得到結論．【詳解】解：∵是定義在上的奇函數，，當，，此時，∵是奇函數，，即，當，即時，不等式不成立；當，即時，，解得：當，即時，，解得，綜合得：不等式的解集為設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）＝x2，若對于任意的，不等式恒成立，則實數t的取值范圍是．【答案】【解析】解：當x≥0時，f（x）＝x2，∵函數是奇函數，∴當x＜0時，f（x）＝﹣x2∴f（x）＝∴f（x）在R上是單調遞增函數，#本號*資料全部來源于微信公眾號：數學第六感且滿足，∵不等式在恒成立，∴x＋t≥x在恒成立，即：在恒成立，∴，解得：，故答案為：．已知函數是定義在上的函數．(1)用定義法證明函數在上是增函數；(2)解不等式．【答案】(1)證明見解析(2)【思路點撥】（1）對于任意的，且，利用作差法判斷的大小關系即可得證；（2）先判斷函數的奇偶性，再根據函數的奇偶性結合函數的單調性即可得解.本號資料全部來源于微信公眾號#：數學第六感【詳解】（1）對于任意的，且，則：，∵，∴，，∴，∴，即，∴函數在上是增函數；（2）因為，所以是奇函數，則，即，所以，解得（浙江·高一期末）已知函數是定義域為的奇函數，且(1)求實數a，b的值．(2)判斷在上的單調性，并用定義法證明．(3)解不等式：.【答案】(1)；(2)在上為增函數，證明見解析(3)【思路點撥】（1）根據題意列出方程組，求出；（2）利用定義法求解函數單調性步驟：取點，作差，變形判號，下結論；（3）根據函數奇偶性和單調性，結合函數定義域得到不等式組，求出解集.【詳解】（1）由題意得，解得，經驗證滿足題設；（2）在上是增函數，證明如下：在上任取兩數且，則，因為，所以，，故，即，所以在上為增函數；（3）為奇函數，定義域為，由得，∵在上為增函數，∴，解得.（2022上·江西上饒·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．(1)求在上的解析式；(2)判斷在的單調性，并給出證明．(3)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調遞減，證明見解析(3)【思路點撥】（1）根據奇函數的性質進行轉化求解即可；（2）根據函數單調性的定義進行判斷、證明即可；（3）首先得到函數在上的單調性，即可得到函數的取值特征，依題意可得，再分、、三種情況討論，結合函數的單調性計算可得.【詳解】（1）是定義在上的奇函數，，當時，．當時，則，則，則，，所以．（2）函數在上單調遞減，證明：設，則，，，，，則，即，即函數在上單調遞減．（3）由（2）同理可證在上單調遞增，又為上的奇函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，，因為，則，即，若，即時，，，恒成立，若，即時，，，不等式顯然不成立，當時，，，要使，則，解得，綜上可得，或，即實數的取值范圍為.題型七解偶函數不等式（加絕對值）（2023·深圳市高級中學高一校考）已知是定義在上的偶函數，且在上遞減，則不等式的解集是．【答案】【思路點撥】根據是定義在上的偶函數，將不等式轉化為，再利用其單調性求解.【詳解】解：因為是定義在上的偶函數，且在上遞減，所以在上遞增，不等式等價于，所以，解得，所以不等式的解集是.故答案為：（2023上·廣東深圳·高一校考）已知是定義在上的偶函數，且在區間上單調遞增，則不等式的解集為【答案】【思路點撥】由函數為偶函數可將原不等化為，再根據函數在上單調遞增，可得，從而可求得結果.【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以可化為，因為在上單調遞增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集為已知是定義在上的偶函數，且在上為增函數，則不等式的解集為．本號資料全部來源于微信公眾號#：數學*第六感【答案】【思路點撥】根據函數為偶函數得到，根據函數的單調性和奇偶性結合定義域得到或，解得答案.【詳解】是定義在上的偶函數，則，，在上為增函數，，故或，解得.（2023上·常德市一中高一校考）已知偶函數在單調遞增，解不等式．【答案】不等式解集為【詳解】在單調遞增，又在R上為偶函數，故在上單調遞減，，∴，解得或，∴不等式解集為.已知函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞增，則的解集為．【答案】【分析】由偶函數定義域的對稱性可求，從而可得在上為增函數，在上為減函數，距離對稱軸越遠，函數值越小，將不等式轉化為，結合定義域列不等式組，即可得結論．【詳解】解：∵是定義在上的偶函數，∴，解得，∴函數的定義域為，∵在上單調遞增，∴在上單調遞減，距離對稱軸越遠，函數值越小，由，可得，解得，故不等式的解集為．題型八解分段函數不等式（畫圖）（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖：根據函數圖象，及可知：，得或（2023蘇州中學高一校考）設函數，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據題意，分和，兩種情況討論，分類列出不等式，即可求解.【詳解】由函數，當時，令，即，可得，解得，所以解集為；當時，令，即，可得，所以解集為，綜上可得，不等式的解集為.已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點撥】對進行分類討論，通過解不等式求得的取值范圍.【詳解】當時，不成立.當時，，所以，解得.當時，，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.（2023上·廣東深圳·高一校考）已知函數，則不等式的解集為．【答案】【思路點撥】根據題意，分與兩種情況，解不等式，即可得到結果.【詳解】當時，，解得，則；當時，，即，解得，則，綜上，不等式的解集為.已知函數,若，則的取值范圍是.【答案】【思路點撥】討論的范圍，把不等式具體化，解出不等式即可.【詳解】根據分段函數的定義可知，當時，不等式可化為，解得；當時，不等式可化為，解得；當，不等式可化為，無解.綜上知，的取值范圍為題型九利用單調性，奇偶性比大小本號資料全#部來源*于微信公眾號：數學第六感已知函數在上是偶函數，且在上是單調函數，若，則下列不等式一定成立的是（

）本號#資料全部來源于微信公眾號：數學第六感A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數在上是偶函數，且在上是單調函數，所以函數在，上也是單調函數，根據，可得函數在，上是單調增函數，故函數在，上是單調減函數，故（1）已知函數為偶函數，當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，函數為偶函數，由于時，恒成立，所以在上單調遞減，，由于，所以，所以.已知函數是定義域為的偶函數，且在上單調遞減，設，若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵函數是定義域為的偶函數，∴，，，，∵函數在上單調遞減，，∴，即.定義在R上的偶函數對都有，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，任意，，所以函數在區間單調遞增，因為函數為偶函數，所以在區間上單調遞減，，，所以，所以，再根據函數是偶函數，可得.已知函數的圖象關于直線對稱，當且時，恒成立，設，，，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由當且時，恒成立，得函數在上單調遞減，又函數的圖象關于直線對稱，則，，而，因此，所以.已知函數是定義在R上的偶函數，當時，是減函數，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定當時，是增函數，從而可得，再利用偶函數的定義，即可得到結論．【詳解】∵函數是定義在R上的偶函數，當時，是減函數，∴當時，是增函數，∵，∴，∵函數是定義在R上的偶函數，∴∴∴設函數，且，則．【答案】【分析】構造函數，可判斷該函數為奇函數且為增函數，故可求.【詳解】由于，于是函數是一個單調遞增的奇函數，而．函數在區間上的最大值為10，則函數在區間上的最小值為．【答案】-26【分析】構造，易知為奇函數，根據已知條件確定的最大值，再由奇函數的性質判斷在的最小值，即可求在的最小值.【詳解】由題設，令，易知：且，∴為奇函數，又在上的最大值為10，∴在上的最大值為18，由奇函數對稱區間上單調性相同：在上的最小值為-18，∴在上的最小值為-26.設函數在區間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【答案】8【分析】化簡函數，設，，可得函數在上為奇函數，進而得到，進而求解即可.【詳解】由，設，，則，所以函數在上為奇函數，所以，由題意，得，所以.已知函數的最大值為，最小值為.【答案】18【分析】注意到，而為奇函數，據此可得答案.【詳解】，令，因，則為奇函數.由題可得，又奇函數圖像關于原點對稱，則，得.題型十利用函數的奇偶性、單調性求函數的最值若奇函數在區間上單調遞增且有最大值，則函數在區間上（

）A．單調遞增且最小值為 B．單調遞增且最大值為C．單調遞減且最小值為 D．單調遞減且最大值為【答案】A【詳解】因為是奇函數，所以的圖象關于原點對稱，又在區間上單調遞增且有最大值，所以在區間上單調遞增且最小值為.已知函數f(x)為奇函數，當x>0時，，若f(x)在上的最大值為m，最小值為n，求m＋n.解如圖，畫出f(x)在(0，＋∞)上的圖象，由圖知，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))時，f(x)min＝f(1)＝－1，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝2，f(4)＝5，所以f(x)max＝f(4)＝5.又f(x)為奇函數，所以當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(1,4)))時，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.本號資料全部來源于微信*公眾號：數學第六*感所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.題型十一函數圖像的識別函數的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】求出函數的定義域，然后判斷函數的奇偶性，再根據函數的單調性進行分析判斷即可.【詳解】函數的定義域為，因為，所以為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除C，當時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B函數的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數奇偶性和特殊區間的正負即可判斷求解.【詳解】因為定義域，且，所以是奇函數，則的圖象關于原點對稱，排除A，D；當時，，排除B.函數的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數的定義域與奇偶性，結合基本不等式以及排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的，，則函數的定義域為，又因為，故函數為奇函數，當時，，當且僅當時，等號成立，排除ABC選項.函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當時，函數的定義域為，當時，函數的定義域為，其定義域都關于原點對稱，，即函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，故AC錯誤；由選項圖可知，都是討論的情況，當時，，對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，若，則在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，，故B正確；對于D選項，由圖可知，.函數在和上單調遞增，若，在和上單調遞減，若，在和上單調遞增，故D錯誤函數，的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為的定義域為，又，則為奇函數，排除選項A，而，排除選項B，當時，，則，排除選項D.函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】，函數定義域為，，函數為奇函數，排除CD，，排除B我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征，如函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】記，函數定義域為，則，所以函數為奇函數，排除BC，又當時，，排除D函數的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】由已知，，則，故是奇函數，圖象關于原點對稱，故C項錯誤；當時，，則，故AD項錯誤，應選B.又設，且，則，故，則有，即，故在上單調遞減.綜上，函數圖象的性質與選項B中圖象表示函數的性質基本一致.本號資料全部來源于微信公眾號：#數學第六感函數的圖象大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】當時，可判斷C，D錯誤，當時可判斷A，B.【詳解】當時，，其在單調遞增，C，D錯誤；當時，，在單調遞減，B錯誤，A正確.函數的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數的定義域為，且，函數為奇函數，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數單調遞增，故B選項錯誤題型十二畫函數圖像已知函數f(x)＝|－x2＋2x＋3|.(1)畫出函數圖象并寫出函數的單調區間；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}．解(1)當－x2＋2x＋3≥0時，得－1≤x≤3，函數y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，當－x2＋2x＋3<0時，得x<－1或x>3，函數y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋4，－1≤x≤3，,x－12－4，x<－1或x>3))的圖象如圖所示，單調遞增區間為[－1,1]和[3，＋∞)，單調遞減區間為(－∞，－1)和(1,3)．(2)由題意可知，函數y＝f(x)與y＝m的圖象有四個不同的交點，則0＜m＜4.故集合M＝{m|0<m<4}．已知函數.

(1)求的值；(2)畫出函數的圖象，根據圖象寫出函數的單調區間；(3)若，求的取值范圍.【答案】(1)8(2)圖象見解析，減區間為，增區間為(3)【分析】（1）先得出，進而即可得出答案；（2）根據函數的圖象，直接寫出單調區間；（3）分別求出當時以及時，不等式的解，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，所以，.（2）如圖，作出函數的圖象

由圖象可知，函數的單調減區間為，單調增區間為（3）當時，由可得，，解得，所以；當時，由可得，，根據指數函數的性質解得，所以.綜上所得，的取值范圍.函數是定義在R上的奇函數，當時，．(1)求函數在R上的解析式；(2)在坐標系里畫出函數的圖象，并寫出函數的單調遞減區間．

【答案】(1)(2)圖象見解析，函數的單調遞減區間為：，．【分析】（1）根據奇函數的性質，求解得出時，的解析式，即可得出答案；（2）根據函數圖象，即可得出函數的單調遞減區間.【詳解】（1）∵函數是定義在R上的奇函數，當時，有，，∴，∴.（2）函數的圖象為：

由圖象可得，函數的單調遞減區間為：，．已知定義在上的奇函數滿足：當時，，當時，.(1)在平面直角坐標系中畫出函數在上的圖象，并寫出單調遞減區間；

(2)求出的解析式.【答案】(1)圖象詳見解析，單調遞減區間為(2)【分析】（1）根據函數的奇偶性畫出圖象，并求得單調遞減區間.（2）根據函數的奇偶性求得的解析式.【詳解】（1）依題意可知，是奇函數，圖象關于原點對稱，由此畫出的圖象如下圖所示，

由圖可知，的單調遞減區間為.（2）當時，，所以，所以.已知函數（xR）.(1)判斷函數的奇偶性并證明；(2)畫出函數圖象，寫出函數的值域.【答案】(1)函數為偶函數，證明見解析(2)圖象答案見解析，值域為【分析】（1）根據偶函數的定義可得答案；（2）畫出圖象，利用圖象可得答案.【詳解】（1）函數為偶函數，因為xR，所以，所以函數為偶函數.（2）畫出圖象為·函數的值域為.已知函數．

(1)的值；(2)記，畫出函數的圖象，寫出其單調遞減區間（無需證明）；【答案】(1)(2)圖象見解析；單調遞減區間，【分析】（1）根據題意，由函數解析式，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，求得函數的解析式，即可得到其單調減區間，以及其函數圖象.【詳解】（1）因為，則，所以.（2）