第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點精講精練）命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較中等偏上，分值為10-12分【備考策略】1會利用基本不等式和相關函數性質解決三角形中的最值及范圍問題2會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預測】本節內容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結合基本不等式和相關函數性質等知識點求解范圍及最值，需重點復習。知識講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關聯知識點1.基本不等式，當且僅當時取等號，其中叫做正數，的算術平均數，叫做正數，的幾何平均數，通常表達為：（積定和最小），應用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當且僅當時取等號當且僅當時取等號2.輔助角公式及三角函數值域形如，，其中，對于，類函數，叫做振幅，決定函數的值域，值域為，有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍3.三角形中的邊角關系（1）構成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊（2）在三角形中，大邊對大角，小邊對小角（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數值存在等價關系:即注意：在銳角中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如。事實上，由，即得。由此對任意銳角，總有。考點一、面積類最值及范圍問題1．（2023·福建漳州·統考模擬預測）在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.

2．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知、、分別為的三個內角、、的對邊長，，且．(1)求角的值；(2)求面積的取值范圍．1．（2023·全國·模擬預測）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知．(1)求的取值范圍；(2)若是邊上的一點，且，，求面積的最大值．2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍．考點二、周長類最值及范圍問題1．（2023·江西贛州·統考模擬預測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·云南·校聯考模擬預測）的內角的對邊分別為，且.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.1．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．2．（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）已知銳角中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.考點三、邊長和差類最值及范圍問題1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)設BC的中點為D，且，求的取值范圍．2．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)求的取值范圍．1．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學校考三模）已知在中，內角，，所對的邊分別為，，，．(1)若，求出的值；(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．2．（2023·新疆阿勒泰·統考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．考點四、邊長積商類最值及范圍問題1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）（多選）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．2．（2023·湖北恩施·校考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點．(1)從下面三個條件中任選一個作為已知條件，求的大小．①；②；③．(2)若，求的取值范圍．1．（2023·江蘇·金陵中學校聯考三模）已知，，其中，函數的最小正周期為.(1)求函數的單調遞增區間；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.2．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．考點五、中線及高線類最值及范圍問題1．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州畢節·統考一模）已知的內角，，的對邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考一模）在銳角中，設邊所對的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．2．（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．3．（2023·重慶·校聯考三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大小；(2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．4．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求邊中線的取值范圍．考點六、外接圓及內切圓半徑類最值及范圍問題1．（2023·河北·校聯考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內切圓半徑的取值范圍.2．（2023·山東煙臺·統考二模）已知內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．(1)求角B的大小；(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．1．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）如圖，平面四邊形中，，，．的內角的對邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內切圓半徑的取值范圍．2．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學校考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內切圓半徑r的取值范圍．考點七、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南海口·校考模擬預測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2023春·上海寶山·高一校考期中）如果的三邊、、滿足，則角的取值范圍為．考點八、正余弦類最值及范圍問題1．（2023·甘肅武威·統考一模）在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．3．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考三模）在中，三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，.(1)證明：；(2)求的取值范圍.4．（2023·安徽宿州·統考一模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.5．（2023·陜西榆林·統考三模）已知分別為的內角所對的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．1．（2023·廣東·統考一模）在中，角的對邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范圍.2．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）記的內角的對邊分別為，已知為鈍角，.(1)若，求；(2)求的取值范圍.3．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江第一中學校考模擬預測）已知的三個角所對的邊分別為，，.(1)若，，，求；(2)若為銳角三角形，且三個角依次成等差數列，求的取值范圍.4．（2023·浙江金華·統考模擬預測）在銳角中，內角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.考點九、向量類最值及范圍問題1．（2023·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學校考二模）已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江金華·模擬預測）在中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點，求的取值范圍．A1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為．2．（2023·江蘇鹽城·統考三模）在中，，，，則的取值范圍是.3．（2023·安徽黃山·統考三模）記的內角的對邊分別為，已知，.(1)求角的大小和邊的取值范圍；(2)如圖，若是的外心，求的最大值.考點十、參數類最值及范圍問題1．（2023·陜西榆林·統考一模）的內角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實數的取值范圍.1．（2023·河北張家口·統考二模）在銳角中，角所對的邊分別為，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.2．（2023·山西大同·統考模擬預測）記銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．【基礎過關】一、單選題1．（2022·上海黃浦·統考模擬預測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（

）.A． B． C． D．二、填空題2．（2023·青海西寧·統考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為．三、解答題3．（2022·山東煙臺·統考三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.4．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范圍.5．（2023·甘肅張掖·統考模擬預測）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，求c的取值范圍．6．（2023·廣東汕頭·統考三模）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．7．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預測）若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周長的取值范圍.8．（2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小．(2)若，求的周長的取值范圍．9．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中校考二模）已知內角所對的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.10．（2023·廣東佛山·統考二模）已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點在邊上，且，求的取值范圍．【能力提升】1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.2．（2023·河北·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實數的取值范圍.3．（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實數的取值范圍.4．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數列.(1)若，的面積為2，求的周長；(2)求的取值范圍.5．（2023·重慶·統考模擬預測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．(1)證明：；(2)求的取值范圍．6．（2023·浙江·校聯考模擬預測）在中，角的對邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長的取值范圍．7．（2023·浙江·校聯考模擬預測）記銳角內角的對邊分別為.已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考一模）已知在中，角，，的對邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并根據這個條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點是邊的中點，求線段長的取值范圍．9．（2023·廣東佛山·校聯考模擬預測）記銳角的內角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點，求的取值范圍．

10．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.11．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小；(2)求的取值范圍．12．（2023·山東泰安·校考模擬預測）在銳角中，內角所對的邊分別為，滿足，且．(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．【真題感知】一、單選題1．（四川·高考真題）在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）二、雙空題2．（北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=；的取值范圍是.三、解答題3．（全國·高考真題）設銳角三角形的內角，，的對邊分別為（1）求B的大小；（2）求的取值范圍.4．（全國·統考高考真題）的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．5．（江西·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．6．（浙江·統考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．

第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點精講精練）命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較中等偏上，分值為10-12分【備考策略】1會利用基本不等式和相關函數性質解決三角形中的最值及范圍問題2會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預測】本節內容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結合基本不等式和相關函數性質等知識點求解范圍及最值，需重點復習。知識講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關聯知識點1.基本不等式，當且僅當時取等號，其中叫做正數，的算術平均數，叫做正數，的幾何平均數，通常表達為：（積定和最小），應用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當且僅當時取等號當且僅當時取等號2.輔助角公式及三角函數值域形如，，其中，對于，類函數，叫做振幅，決定函數的值域，值域為，有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍3.三角形中的邊角關系（1）構成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊（2）在三角形中，大邊對大角，小邊對小角（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數值存在等價關系:即注意：在銳角中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如。事實上，由，即得。由此對任意銳角，總有。考點一、面積類最值及范圍問題1．（2023·福建漳州·統考模擬預測）在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由正弦定理可得，從而求得.（2）解法一：由（1）求得，，從而，再利用，即可求得面積的取值范圍；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分別求出，，利用即可求得范圍.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，又，所以.（2）解法一：由（1）可知，，因為為銳角，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，，因為，且為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以的面積的取值范圍為.

解法二：由（1）可知，，因為為銳角，所以，，如圖，作于，作于，交于，

所以，，所以，又，所以.由圖可知，僅當在線段上（不含端點）時，為銳角三角形，所以，即.所以面積的取值范圍為.2．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知、、分別為的三個內角、、的對邊長，，且．(1)求角的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據條件，用正弦定理進行化簡，再結合余弦定理即可得到結果；（2）由正弦定理，結合三角形的面積公式可得，再結合三角函數的性質即可得到結果.【詳解】（1）由條件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因為，所以．（2）由正弦定理，可知，，∵，∴，∴.1．（2023·全國·模擬預測）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知．(1)求的取值范圍；(2)若是邊上的一點，且，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正余弦定理對已知等式化簡可得，則可求出角，再利用三角函數恒等變換公式可得，然后求出角的范圍，再利用余弦函數的性質可得結果；（2）根據題意可得，兩邊平方化簡后再利用基本不等式可求出的最大值，從而可求出面積的最大值．【詳解】（1）因為，故，整理得到：即，故，而為三角形內角，故，所以，故，而為銳角三角形內角，故.，因為三角形為銳角三角形，故，故，故，故，故.（2）由題設可得，故，整理得到：，故，即，整理得到：，當且僅當時等號成立，故.故三角形面積的最大值為.2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理和三角恒等變換化簡等式，可以得到角.（2）根據勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.【詳解】（1）由正弦定理知，，∵，∴，∴，化簡得，，（其中舍去），即．（2）由（1）知，則，那么的面積（當且僅當時等號成立），則面積的取值范圍為．考點二、周長類最值及范圍問題1．（2023·江西贛州·統考模擬預測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將表示為角的形式，結合三角恒等變換以及三角函數的值域等知識確定正確答案.【詳解】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，則，函數的開口向上，對稱軸為，所以.故選：A2．（2023·云南·校聯考模擬預測）的內角的對邊分別為，且.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導公式結合正弦定理得，再根據的范圍即可得到答案；（2）利用正弦定理得，再利用三角恒等變換得，再根據的范圍，結合三角函數的值域即可得到范圍.【詳解】（1）因為，可得，所以由正弦定理可得，又為三角形內角，，所以，因為，所以，可得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得，則，，1．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）應用正弦定理及余弦定理解三角形即可；（2）先應用正弦定理用角表示邊長，再根據銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數的值域即得.【詳解】（1）在中，由射影定理得，則題述條件化簡為，由余弦定理得．可得

所以.（2）在中，由正弦定理得，則周長，因為，則，因為為銳角三角形，，則得，故．2．（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）已知銳角中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知及正弦定理角化邊，再利用余弦定理，可求出，由已知條件得出角的范圍，進而求出角即可以求出的值.（2）由，的值，利用正弦定理求出，進而表示出三角函數的周長，利用三角形的內角和定理及兩角和與差的正弦公式化為一個角的正弦函數，利用正弦函數的性質確定出周長的取值范圍.【詳解】（1）由及正弦定理，得即.所以，由為銳角，得，所以.（2）由得.∴得周長.，因為，，所以，，所以，即.所以周長的取值范圍為.考點三、邊長和差類最值及范圍問題1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)設BC的中點為D，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式，由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角C；（2）設，由正弦定理，把表示成的三角函數，利用三角函數的性質求取值范圍.【詳解】（1）中，，由正弦定理得．所以，即，所以；又，則，所以，則有，又因為，則，即；（2）設，則中，由可知，由正弦定理及可得，所以，，所以，由可知，，，所以．即的取值范圍.2．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)先利用余弦定理得到，根據邊的關系得到AB⊥DB，進而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；(2)設∠ADB=θ，利用余弦定理分別求出,相加后整理變形得到關于角的三角函數，利用正弦函數的圖象和性質即可求解.【詳解】（1）在△ABD中，因為，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此時Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．（2）設∠ADB=θ，由題意可知，在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因為，所以，所以，因為，所以，，所以的取值范圍是．1．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學校考三模）已知在中，內角，，所對的邊分別為，，，．(1)若，求出的值；(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由立方差公式及余弦定理求出，由將弦化切，利用兩角和的正弦公式求出，從而求出，最后根據兩角差的余弦公式計算可得；（2）由正弦定理得到，再轉化為角的三角函數，結合正切函數的性質求出的取值范圍.【詳解】（1）因為由正弦定理可得，即，因為，所以，所以，因為，所以，由，所以，所以，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以.（2）因為為銳角三角形，且，所以，所以，解得，又，由正弦定理，所以，因為，所以，所以，所以，即邊長的取值范圍為.2．（2023·新疆阿勒泰·統考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據題意利用可得，結合數量積的運算律整理得，設，代入結合一元二次方程求的取值范圍.【詳解】設，因為為邊上的中線，則，可得，即，整理得，設，則，可得，整理得，關于的方程有正根，則有：①當，即時，則，解得；②當，即時，則，解得或（舍去），符合題意；③當，即時，則，解得；綜上所述：，即的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：有關三角形中線長度問題的求解，可考慮利用向量運算來建立關系式.有關三角形邊長的和、差的取值范圍，可考慮余弦定理（或正弦定理），結合基本不等式（或三角函數的取值范圍）等知識來求解.考點四、邊長積商類最值及范圍問題1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）（多選）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉化為關于的三角函數，最后由三角函數的性質計算可得.【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結合選項，的可能取值為，，.故選：ACD2．（2023·湖北恩施·校考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點．(1)從下面三個條件中任選一個作為已知條件，求的大小．①；②；③．(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)三個條件任選其一都有(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再對等式進行化簡，進而根據的取值范圍求出其大小．（2）運用角平分線的條件求出，然后利用面積公式求出的取值范圍．【詳解】（1）選①，因為，所以．由正弦定理得．即，故，因為，，所以，所以，所以．選②，由及正弦定理，得，即，，所以．因為，所以，所以，即．又，所以，所以．選③，由及正弦定理，得，即．因為，所以，所以．又，所以．（2）因為BD平分，所以，在中，，即，在中，，即，因為，所以，所以，所以，故．因為，，，所以，又，所以．又，所以，所以，所以，，即的取值范圍為．1．（2023·江蘇·金陵中學校聯考三模）已知，，其中，函數的最小正周期為.(1)求函數的單調遞增區間；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)單調遞增區間為，(2)【分析】（1）根據向量數量積的坐標表示可知，由最小正周期為可得，即可知，再利用三角函數單調性即可求得的單調遞增區間為，；（2）根據三角形形狀可得，再由正弦定理得，又，所以.【詳解】（1）因為，，則，，故，因為最小正周期為，所以，所以，故，由，，解得，，所以的單調遞增區間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.2．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據同角三角函數關系得出，再應用兩角和差公式計算求解即可；（2）先應用正弦定理邊角互化，再結合二倍角公式及輔助角公式化簡，最后根據余弦型函數求值域可得.【詳解】（1）因為，所以，即，所以或（舍去）．所以，結合，得．（2）由（1）得:．因為是銳角三角形，所以B，C均為銳角，即，，所以，所以，，所以的取值范圍是．考點五、中線及高線類最值及范圍問題1．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊化角，結合已知求出邊b長的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長，求出函數值域作答.【詳解】令的內角所對邊分別為，由正弦定理及得，即，銳角中，，即，同理，于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，因此，當時，，，所以中線的取值范圍是.故選：D2．（2023·貴州畢節·統考一模）已知的內角，，的對邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.（2）由（1）可得，再利用三角形面積公式計算作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，而，，即，，因此，，所以．（2）令邊上的高為，由，得，由（1）知，，即，則，所以邊上的高的取值范圍是.1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考一模）在銳角中，設邊所對的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據正余弦定理及三角恒等變換結合條件可得，然后根據三角形為銳角三角形進而即得；（2）根據三角形面積公式及正弦定理可得，然后根據三角恒等變換及正切函數的性質結合條件即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，，又，所以，整理可得，所以或(舍去)，所以，又為銳角三角形，所以，所以；（2）由題可知，即，又，所以，所以，由，可得，所以，所以，即中邊上的高的取值范圍是.2．（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角形的內角和定理結合正弦定理化角為邊，再根據余弦定理即可得解；（2）設邊上的高為，則，再利用正弦定理及三角函數求出的范圍，即可得解，注意三角形為銳角三角形.【詳解】（1）設的內角，，的對邊分別為，，，因為，，所以，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，又，所以；（2）設邊上的高為，則，由正弦定理，得，由為銳角三角形，得，得，則，所以，從而，故邊上的高的取值范圍是．3．（2023·重慶·校聯考三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大小；(2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結果；（2）由余弦定理結合數量積運算得，由正弦定理可得，，所以，結合角的范圍，利用三角函數性質可求得的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）已知，由正弦定理可得，即，所以，因為，所以．（2）由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以中線CD長的取值范圍為．4．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求邊中線的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據余弦定理求解即可得角；（2）根據中線性質可得，在左右兩側平方，應用向量的數量積公式求值即可.【詳解】（1）由已知可得，由余弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，所以．（2）因為M為的中點，所以，則，即．因為，所以．所以，所以．考點六、外接圓及內切圓半徑類最值及范圍問題1．（2023·河北·校聯考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內切圓半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因為，所以.（2）由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則，又，所以，所以，，所以.2．（2023·山東煙臺·統考二模）已知內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．(1)求角B的大小；(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結合條件，進行邊角轉化即可得出結果；（2）利用正弦定理，將邊轉角，再結合條件得到，再利用角的范圍即可得出結果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，得到，又，所以，故，即，所以，又，所以，得到.（2）由正弦定理，得到，，所以，所以，又因為為鈍角三角形，且，又由（1）知，所以，所以，由的圖像與性質知，所以1．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）如圖，平面四邊形中，，，．的內角的對邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內切圓半徑的取值范圍．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結合條件得，所以，，所以四點共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡得，因為，所以，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍．【詳解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因為，所以，所以四點共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．又，所以．（2）由（1）可知：，則，，則．在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，即，因為，所以．2．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學校考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦邊角關系可得，應用余弦定理即可求，進而確定其大小；（2）由正弦定理有，，根據余弦定理有，結合（1）及，應用三角恒等變換有，由三角形內角性質、正弦函數性質求范圍即可.【詳解】（1）因為，由正弦邊角關系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.考點七、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南海口·校考模擬預測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由成等比數列，可得，然后利用余弦定理表示出，進行化簡后利用基本不等式求出的最小值，根據的范圍以及余弦函數的單調性，即可求解.【詳解】因為成等比數列，可得，則，（當且僅當時取等號），由于在三角形中，且在上為減函數，所以角的取值范圍是：.故選：B.1．（2023春·上海寶山·高一校考期中）如果的三邊、、滿足，則角的取值范圍為．【答案】【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范圍，進而可求角的取值范圍.【詳解】因為，所以由余弦定理得，當且僅當時取等號，又，所以.故答案為：考點八、正余弦類最值及范圍問題1．（2023·甘肅武威·統考一模）在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得表達式，結合可得答案.【詳解】，因為，所以.又，所以的范圍是.故選：B2．（2023·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，三角恒等變換解決即可；（2）由條件求的范圍，結合正弦函數性質求的范圍，利用三角恒等變換得，由此可求其范圍.【詳解】（1）∵．∴，∴，因為為銳角三角形內角，所以，，所以，所以，即；（2）由題意得，解得，所以，由正弦定理得，因為函數在上單調遞減，所以當時，，所以當時，，所以，∴的取值范圍為．3．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考三模）在中，三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件，結合三角恒等變換的知識證得.（2）轉化為只含的三角函數的形式，利用換元法、構造函數法，結合導數求得的取值范圍【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，，由正弦定理得，，，，由于，所以，則由于，所以，則，所以或（舍去），所以.（2）由于，所以為銳角，即，而，即.，令，，，所以在區間上，遞增；在區間上遞減.，所以，所以的取值范圍是.4．（2023·安徽宿州·統考一模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，將角化邊，再根據余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，，則，根據正弦型三角函數的圖象和性質，求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的變形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因為，從而，所以，從而.即的取值范圍為.5．（2023·陜西榆林·統考三模）已知分別為的內角所對的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的數量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；（2）根據（1）的結論及三角形的內角和定理，利用誘導公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結合輔助角公式及三角函數的性質即可解.【詳解】（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因為，所以．（2）由（1）知，所以.所以，因為,所以，所以，所以，故的取值范圍是.1．（2023·廣東·統考一模）在中，角的對邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角恒等變換和正弦定理的得到，進而由余弦定理得到，求出；（2）由三角函數和差公式求出，由求出取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因為，所以.（2）在中，因為，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.2．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）記的內角的對邊分別為，已知為鈍角，.(1)若，求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意及正弦定理得到，即，結合角的范圍可得，又，即可求得；（2），令，化簡得到，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】（1）由，根據正弦定理得：，由于，可知，即，因為為鈍角，則為銳角，即，則，則.由，得.（2）.因為為銳角，所以，即，則，設，則，.因為，則，從而.由此可知，的取值范圍是.3．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江第一中學校考模擬預測）已知的三個角所對的邊分別為，，.(1)若，，，求；(2)若為銳角三角形，且三個角依次成等差數列，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用余弦定理求，進而可求及三角形面積.（2）根據題意可得，結合銳角三角形可得角的取值范圍，利用正弦定理和三角恒等變換整理得，結合正切函數運算求解即可.【詳解】（1）由余弦定理可得：，可知角為銳角，則,所以的面積.（2）因為角依次成等差數列，則，則，可得，又因為為銳角三角形，則，解得，則，因為，則，可得，所以，故的取值范圍為.4．（2023·浙江金華·統考模擬預測）在銳角中，內角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由和差角公式化簡得，由正弦定理邊角化即可求解，（2）由銳角三角形滿足，根據基本不等式即可求解.【詳解】（1），，，由正弦定理得：.（2）銳角，，當且僅當時等號成立，當時，，當時，，所以.考點九、向量類最值及范圍問題1．（2023·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，利用余弦定理可求得，根據向量數量積定義可得，利用三角形三邊關系可求得的范圍，結合二次函數性質可求得結果.【詳解】設，則，由余弦定理得：，；，，，即的取值范圍為.故選：D.2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學校考二模）已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設的外接圓的半徑為，根據向量線性運算和數量積運算公式化簡可得，根據正弦定理可求，再求出的范圍，結合三角函數性質可求的范圍.【詳解】因為，所以所以，設的外接圓的半徑為，則所以，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，又，所以，故，所以，所以，又在上都為增函數，所以，故，又，，，，故，所以，其中當時，即點與點重合時左側等號成立，所以的取值范圍為.故選：B.3．（2023·浙江金華·模擬預測）在中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)由三角形面積公式求得，已知等式由正弦定理邊化角，化簡得，可解得；（2）由（1）得，則，建立平面直角坐標系，設，利用向量的坐標運算求，由三角函數的值域求取值范圍.【詳解】（1）由，得，，由正弦定理，，則，由，得，化簡得，由，，解得，因此.（2）由（1）得，若A為鈍角，則，則，如圖建立平面直角坐標系，則，設．則，，，有，，，則．由，則，所以的取值范圍為.1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用平面向量的數量積公式結合余弦定理可得，再根據三角形兩邊之和大于第三邊結合基本不等式求出，然后利用二次函數的性質求解即可.【詳解】因為周長為4的，分別是的對邊，且，所以，令，∴，∴，解得，又∵，∴，∴故，又在上遞減，∴，故答案為：.2．（2023·江蘇鹽城·統考三模）在中，，，，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦定理和向量數量積的定義得，再根據的范圍和正切函數的值域即可求出其范圍.【詳解】根據正弦定理得，即，，，，即的取值范圍.故答案為：.3．（2023·安徽黃山·統考三模）記的內角的對邊分別為，已知，.(1)求角的大小和邊的取值范圍；(2)如圖，若是的外心，求的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據題意利用正弦定理結合三角恒等變換可得，再根據正弦定理求邊的取值范圍；（2）解法一：根據數量積結合圓的性質整理可得，進而可求取值范圍；解法二：根據數量積結合余弦定理整理可得，進而可求取值范圍.【詳解】（1）在中，由結合正弦定理可得：，因為，則，化簡得，即，又因為，則，所以，解得，由正弦定理，化簡得，因為，所以，所以.（2）解法1：由正弦定理得，且，因為，當點O不在外部時（如圖），；當點O在外部時（如圖），，；由（1）可知，即當時，則的最大值為.解法2：由題可知：，如圖，分別取線段的中點，由于O是的外心，則，則，所以，由余弦定理得，即，整理得，所以，由（1）可知，即當時，則的最大值為.考點十、參數類最值及范圍問題1．（2023·陜西榆林·統考一模）的內角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正弦、余弦定理可得，結合即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得.又，所以.因為，所以，故.故選：A.2．（2023·全國·模擬預測）已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡題給條件，再利用正弦定理即可求得的值；（2）先化簡題給條件求得，代入題干條件進而求得，從而得到的最小值，再結合條件求出實數的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，因為，所以.由正弦定理，得，故上式可化為.因為，所以，由正弦定理，得.（2）因為，由正弦定理，，因為，故，則，故，因為，故，又，故，代入中，得，即.由余弦定理，，故，則，當且僅當時等號成立，故，又，所以實數的取值范圍為.1．（2023·河北張家口·統考二模）在銳角中，角所對的邊分別為，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角函數的誘導公式以及兩角和的正切公式，化簡整理可得，可得，進而即得；（2）由余弦定理可推得，變形即可得出，根據已知條件，得出的范圍，即可得出，然后根據不等式的性質得出，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）由，得，整理可得.又，所以.因為，所以.（2）由余弦定理可得，于是，，所以，則，由正弦定理得.在銳角中，，則.又，故，所以，所以，所以，，因此，.由題意可得恒成立，于是，.所以，實數的取值范圍是.2．（2023·山西大同·統考模擬預測）記銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用三角恒等變換，將已知條件化為，根據正余弦邊角關系證明結論；（2）設，，則，根據（1）結論有，利用余弦定理及銳角三角形的性質求范圍，進而求范圍.【詳解】（1）由題意得，即，由正弦定理得.（2）設，，則，由（1）知：，∴，由，又，對于函數且，有，則在上，遞減；在上，遞增，所以，故，則.【基礎過關】一、單選題1．（2022·上海黃浦·統考模擬預測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】設邊上的高為，根據題意得，再結合條件得，再分析求值域即可.【詳解】因為為銳角三角形，，設邊上的高為，所以，解得由正弦定理可得，，所以，，，因為，所以因為，所以，所以，所以，所以高的取值范圍為.故選：C.二、填空題2．（2023·青海西寧·統考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據正弦定理得到關于的等式，根據銳角，求得角的范圍，進而求得的取值范圍即可.【詳解】解：在中，由正弦定理得，所以，即，因為銳角，所以，即，解得，所以，所以，故，即.故答案為：三、解答題3．（2022·山東煙臺·統考三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導公式計算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式及余弦函數的性質計算可得；【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，即，即，因為，所以，所以.因為，所以，所以，因為，所以.（2）解：由正弦定理得，所以，所以.因為，所以，所以，所以.4．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及正弦的兩角和公式將，變形為，再化簡可求解；（2）由，即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理得，所以，因為，所以，所以，從而.因為，所以，所以.（2）由正弦定理得，所以.因為是銳角三角形，所以，解得.因為在上單調遞增，所以.從而，所以，即c的取值范圍是.5．（2023·甘肅張掖·統考模擬預測）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，求c的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再用余弦定理可求出角；（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式及正弦三角函數的性質可解．【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．6．（2023·廣東汕頭·統考三模）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據正弦定理，結合正弦函數的單調性進行求解即可；（2）根據正弦定理和三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理得又，所以因為為銳角三角形，所以，，又在上單調遞增，所以，即；（2）由（1）可知，，所以在中，，由正弦定理得：，所以，所以．又因為為銳角三角形，所以，，，解得，所以，即面積的取值范圍為．7．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預測）若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根據正弦定理得，由內角和關系以及和差角公式可得，進而由三角函數的性質即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因為，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長因為，則，所以故求周長的取值范圍為.8．（2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小．(2)若，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可；（2）根據余弦定理，結合基本不等式、三角形兩邊之和大于第三邊進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為因為，所以，所以因此有．又因為，所以．（2）由，及余弦定理，得，所以，當且僅當時取等號．又因為，所以，故的周長的取值范圍為．9．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中校考二模）已知內角所對的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，結合三角形內角性質求角的大小；（2）法一：由已知可得，應用正弦邊角關系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據三角形為銳角三角形，應用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，則.（2）法一：為銳角三角形，，則，所以，可得，又，則，故由，即而，所以，故面積的取值范圍為.法二：由，畫出如圖所示三角形，為銳角三角形，點落在線段（端點除外）上，當時，，當時，，.10．（2023·廣東佛山·統考二模）已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點在邊上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數的性質結合條件即得；（2）利用正弦定理結合條件可得，然后根據條件及三角函數的性質即可求得其范圍.【詳解】（1）因為，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；（2）因為，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因為為銳角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.【能力提升】1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理結合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，結合正弦定理應用輔助角公式，根據銳角三角形中角的范圍，即可應用三角函數值域求出范圍【詳解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，則.由正弦定理得所以，因為是銳角三角形，所以，即，則.中線長的取值范圍是.2．（2023·河北·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意利用利用正弦定理邊化角，再結合三角恒等變換運算求解；（2）根據題意利用利用正弦定理邊化角，再結合三角恒等變換運算化簡得，分類討論的符號，結合輔助角公式分析運算.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，因為，則，可得，則，又因為，則，整理得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，因為，則，則，①若，即時，則，其中，當，即時，取到最大值，符合題意；②若，即時，則在上單調遞減，無最值，不符合題意；③若，即時，則，其中，當，即時，取到最大值注意到，則，可得，解得；綜上所述：實數的取值范圍為.3．（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理結合角的范圍求出角，再應用正弦定理求出外接圓半徑即可；（2）把已知恒成立，參數分離轉化為恒成立，再求出的最大值可得范圍.【詳解】（1）由，得，由正弦定理得:，化簡得.因為，所以.又，所以，所以外接圓的半徑為.（2）要使恒成立，即恒成立，即求的最大值.由余弦定理得，所以因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以實數的取值范圍為.4．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數列.(1)若，的面積為2，求的周長；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比中項公式與三角形面積公式求得，再利用余弦定理與完全平方公式求得，從而得解；（2）結合題意，先化簡所求得求公式q的取值范圍即可，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到關于q的不等式組，從而得解.【詳解】（1）因為a，b，c成等比數列，則，又，，所以，所以的面積為，故，則，由余弦定理，即，則，所以，故的周長為.（2）設a，b，c的公比為q，則，，而，因此，只需求的取值范圍即可.因a，b，c成等比數列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構成三角形的三邊，必需且只需且.故有不等式組，即，解得，從而，因此所求范圍為.5．（2023·重慶·統考模擬預測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．(1)證明：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用兩角和與差的余弦公式化簡得，再根據范圍即可證明；（2）根據三角恒等變換結合（1）中的結論化簡得，再求出的范圍，從而得到的范圍，最后利用對勾函數的單調性即可得到答案.【詳解】（1）由及得,.由正弦定理得,又,,,,都是銳角,則,（2）令，由（1）得.在銳角三角形中,，即，,令,根據對勾函數的性質知在上單調遞增，,即的取值范圍是.6．（2023·浙江·校聯考模擬預測）在中，角的對邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長的取值范圍．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根據題意利用正弦定理進行邊角轉化，分析運算即可；（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根據，結合向量的相關運算求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，且，則，可得，即，且，則，由正弦定理，其中為的外接圓半徑，可得，又因為，所以.（2）在中，由余弦定理，即，則，當且僅當時，等號成立，可得，即設邊上的中點為D，因為，則，即，所以邊上中線長的取值范圍為.7．（2023·浙江·校聯考模擬預測）記銳角內角的對邊分別為.已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形內角和定理，兩角和的余弦公式的得到，進而求解；（2）利用正弦定理和三角函數的性質即可求解.【詳解】（1）由，故，故，，故，因是銳角三角形，故，.故，故，所以.（2）由正弦定理可知，故，..由是銳角三角形，可知，故，故.8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考一模）已知在中，角，，的對邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并根據這個條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點是邊的中點，求線段長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，根據三角形面積公式和數量積公式，化簡求角；若選②，根據二倍角公式，以及，化簡求角；若選③利用正弦定理，將邊化角，再結合輔助就公式，即可求解；（2）利用向量公式，兩邊平方后，結合條件，轉化為二次函數求值域.【詳解】（1）若選，因為，所以，可得，又因為，所以．若選，因為，所以，整理可得，解得或，又因為，可得，所以,所以．若選，因為，所以由正弦定理可得，又因為為三角形內角，，所以，可得，又因為，，所以，可得．（2）因為，所以，因為是的中點，所以，平方得，所以因為，所以時，，可得，所以，可得，故線段長的取值范田為9．（2023·廣東佛山·校聯考模擬預測）記銳角的內角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）由面積公式可得，再由正弦定理轉化為關于的三角函數，再結合的范圍計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，所以，又，所以.（2）因為，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為.

10．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由結合正弦定理，可得，由，可得，從而證明△ABC是等邊三角形；（2）由正弦定理和三角形內角和定理，可得，根據的范圍，即可得的取值范圍.【詳解】（1）證明：∵，∴由正弦定理，得，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．由，得，∴，∴△ABC為等邊三角形．（2）由（1）知，∴．由△ABC為銳角三角形，可得，解得，∴．由正弦定理，得，由，可得，∴，即，∴的取值范圍為.11．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）根據（1）的結論及三角的內角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結合銳角三角形求出角的范圍及正切函數的性質即可求解.【詳解】（1）由及余弦定理，得，由銳角，知，所以．（2）由（1）知，得，故，由正弦定理，得，由為銳角三角形得解得，∴，∴．故